Theorem xmettri 23043

Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. Definition 14-1.1(d) of [Gleason] p. 223. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmettri	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))

Proof of Theorem xmettri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		simpr3 1194	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐶 ∈ 𝑋)
3		simpr1 1192	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
4		simpr2 1193	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
5		xmettri2 23032	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl13anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))
7		xmetsym 23039	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐶𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐶))
8	1, 2, 3, 7	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐶𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐶))
9	8	oveq1d 7163	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)) = ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))
10	6, 9	breqtrd 5056	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5030  ‘cfv 6333  (class class class)co 7148   ≤ cle 10704   +_𝑒 cxad 12536  ∞Metcxmet 20141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7457  ax-cnex 10621  ax-resscn 10622  ax-1cn 10623  ax-icn 10624  ax-addcl 10625  ax-addrcl 10626  ax-mulcl 10627  ax-mulrcl 10628  ax-mulcom 10629  ax-addass 10630  ax-mulass 10631  ax-distr 10632  ax-i2m1 10633  ax-1ne0 10634  ax-1rid 10635  ax-rnegex 10636  ax-rrecex 10637  ax-cnre 10638  ax-pre-lttri 10639  ax-pre-lttrn 10640  ax-pre-ltadd 10641

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-nul 4227  df-if 4419  df-pw 4494  df-sn 4521  df-pr 4523  df-op 4527  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5428  df-po 5441  df-so 5442  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-iota 6292  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8297  df-map 8416  df-en 8526  df-dom 8527  df-sdom 8528  df-pnf 10705  df-mnf 10706  df-xr 10707  df-ltxr 10708  df-le 10709  df-xadd 12539  df-xmet 20149

This theorem is referenced by:  xmettri3  23045  xmetrtri  23047  imasdsf1olem  23065  xmeter  23125  xmstri  23160  metdcnlem  23527  iscau3  23968  heicant  35362