| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | xblss2.1 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) |
| 2 | | xblss2.2 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋) |
| 3 | | xblss2.4 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈
ℝ*) |
| 4 | | elbl 24398 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))) |
| 5 | 1, 2, 3, 4 | syl3anc 1373 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))) |
| 6 | 5 | simprbda 498 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝑋) |
| 7 | 1 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) |
| 8 | | xblss2.3 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑋) |
| 9 | 8 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 𝑄 ∈ 𝑋) |
| 10 | | xmetcl 24341 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑄𝐷𝑥) ∈
ℝ*) |
| 11 | 7, 9, 6, 10 | syl3anc 1373 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑄𝐷𝑥) ∈
ℝ*) |
| 12 | 11 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑄𝐷𝑥) ∈
ℝ*) |
| 13 | | xblss2.6 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ) |
| 14 | 13 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ) |
| 15 | 14 | rexrd 11311 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑃𝐷𝑄) ∈
ℝ*) |
| 16 | 3 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 𝑅 ∈
ℝ*) |
| 17 | 15, 16 | xaddcld 13343 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ∈
ℝ*) |
| 18 | 17 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ∈
ℝ*) |
| 19 | | xblss2.5 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈
ℝ*) |
| 20 | 19 | ad2antrr 726 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈
ℝ*) |
| 21 | 2 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 𝑃 ∈ 𝑋) |
| 22 | | xmetcl 24341 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈
ℝ*) |
| 23 | 7, 21, 6, 22 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑃𝐷𝑥) ∈
ℝ*) |
| 24 | 15, 23 | xaddcld 13343 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷𝑥)) ∈
ℝ*) |
| 25 | | xmettri2 24350 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → (𝑄𝐷𝑥) ≤ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷𝑥))) |
| 26 | 7, 21, 9, 6, 25 | syl13anc 1374 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑄𝐷𝑥) ≤ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷𝑥))) |
| 27 | 5 | simplbda 499 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) |
| 28 | | xltadd2 13299 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*
∧ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ) → ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ↔ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷𝑥)) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅))) |
| 29 | 23, 16, 14, 28 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ↔ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷𝑥)) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅))) |
| 30 | 27, 29 | mpbid 232 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷𝑥)) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅)) |
| 31 | 11, 24, 17, 26, 30 | xrlelttrd 13202 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑄𝐷𝑥) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅)) |
| 32 | 31 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑄𝐷𝑥) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅)) |
| 33 | 19 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 𝑆 ∈
ℝ*) |
| 34 | 16 | xnegcld 13342 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → -𝑒𝑅 ∈
ℝ*) |
| 35 | 33, 34 | xaddcld 13343 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅)
∈ ℝ*) |
| 36 | | xblss2.7 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅)) |
| 37 | 36 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅)) |
| 38 | | xleadd1a 13295 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ* ∧ (𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅)
∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅))
→ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ≤ ((𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅)
+𝑒 𝑅)) |
| 39 | 15, 35, 16, 37, 38 | syl31anc 1375 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ≤ ((𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅)
+𝑒 𝑅)) |
| 40 | 39 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ≤ ((𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅)
+𝑒 𝑅)) |
| 41 | | xnpcan 13294 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑆 ∈ ℝ*
∧ 𝑅 ∈ ℝ)
→ ((𝑆
+𝑒 -𝑒𝑅) +𝑒 𝑅) = 𝑆) |
| 42 | 33, 41 | sylan 580 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅)
+𝑒 𝑅) =
𝑆) |
| 43 | 40, 42 | breqtrd 5169 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ≤ 𝑆) |
| 44 | 12, 18, 20, 32, 43 | xrltletrd 13203 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆) |
| 45 | 27 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) |
| 46 | 36 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑃𝐷𝑄) ≤ (𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅)) |
| 47 | | 0xr 11308 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 0 ∈
ℝ* |
| 48 | 47 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 0 ∈
ℝ*) |
| 49 | | xmetge0 24354 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝑄)) |
| 50 | 7, 21, 9, 49 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝑄)) |
| 51 | 48, 15, 35, 50, 37 | xrletrd 13204 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 0 ≤ (𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅)) |
| 52 | | ge0nemnf 13215 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅)
∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅))
→ (𝑆
+𝑒 -𝑒𝑅) ≠ -∞) |
| 53 | 35, 51, 52 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅)
≠ -∞) |
| 54 | 53 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅)
≠ -∞) |
| 55 | 19 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝑆 ∈
ℝ*) |
| 56 | | xaddmnf1 13270 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑆 ∈ ℝ*
∧ 𝑆 ≠ +∞)
→ (𝑆
+𝑒 -∞) = -∞) |
| 57 | 56 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑆 ∈ ℝ*
→ (𝑆 ≠ +∞
→ (𝑆
+𝑒 -∞) = -∞)) |
| 58 | 55, 57 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑆 ≠ +∞ → (𝑆 +𝑒 -∞) =
-∞)) |
| 59 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝑅 = +∞) |
| 60 | | xnegeq 13249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑅 = +∞ →
-𝑒𝑅 =
-𝑒+∞) |
| 61 | 59, 60 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) →
-𝑒𝑅 =
-𝑒+∞) |
| 62 | | xnegpnf 13251 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
-𝑒+∞ = -∞ |
| 63 | 61, 62 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) →
-𝑒𝑅 =
-∞) |
| 64 | 63 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅) =
(𝑆 +𝑒
-∞)) |
| 65 | 64 | eqeq1d 2739 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → ((𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅) =
-∞ ↔ (𝑆
+𝑒 -∞) = -∞)) |
| 66 | 58, 65 | sylibrd 259 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑆 ≠ +∞ → (𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅) =
-∞)) |
| 67 | 66 | necon1d 2962 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → ((𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅)
≠ -∞ → 𝑆 =
+∞)) |
| 68 | 54, 67 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝑆 = +∞) |
| 69 | 68, 63 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅) =
(+∞ +𝑒 -∞)) |
| 70 | | pnfaddmnf 13272 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (+∞
+𝑒 -∞) = 0 |
| 71 | 69, 70 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑆 +𝑒
-𝑒𝑅) =
0) |
| 72 | 46, 71 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑃𝐷𝑄) ≤ 0) |
| 73 | 50 | biantrud 531 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → ((𝑃𝐷𝑄) ≤ 0 ↔ ((𝑃𝐷𝑄) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑃𝐷𝑄)))) |
| 74 | | xrletri3 13196 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈
ℝ*) → ((𝑃𝐷𝑄) = 0 ↔ ((𝑃𝐷𝑄) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑃𝐷𝑄)))) |
| 75 | 15, 47, 74 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → ((𝑃𝐷𝑄) = 0 ↔ ((𝑃𝐷𝑄) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑃𝐷𝑄)))) |
| 76 | | xmeteq0 24348 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝑄) = 0 ↔ 𝑃 = 𝑄)) |
| 77 | 7, 21, 9, 76 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → ((𝑃𝐷𝑄) = 0 ↔ 𝑃 = 𝑄)) |
| 78 | 73, 75, 77 | 3bitr2d 307 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → ((𝑃𝐷𝑄) ≤ 0 ↔ 𝑃 = 𝑄)) |
| 79 | 78 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → ((𝑃𝐷𝑄) ≤ 0 ↔ 𝑃 = 𝑄)) |
| 80 | 72, 79 | mpbid 232 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝑃 = 𝑄) |
| 81 | 80 | oveq1d 7446 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑃𝐷𝑥) = (𝑄𝐷𝑥)) |
| 82 | 59, 68 | eqtr4d 2780 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → 𝑅 = 𝑆) |
| 83 | 45, 81, 82 | 3brtr3d 5174 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) → (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆) |
| 84 | | xmetge0 24354 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥)) |
| 85 | 7, 21, 6, 84 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥)) |
| 86 | 48, 23, 16, 85, 27 | xrlelttrd 13202 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 0 < 𝑅) |
| 87 | 48, 16, 86 | xrltled 13192 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 0 ≤ 𝑅) |
| 88 | | ge0nemnf 13215 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑅 ∈ ℝ*
∧ 0 ≤ 𝑅) →
𝑅 ≠
-∞) |
| 89 | 16, 87, 88 | syl2anc 584 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 𝑅 ≠ -∞) |
| 90 | 16, 89 | jca 511 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ≠
-∞)) |
| 91 | | xrnemnf 13159 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑅 ∈ ℝ*
∧ 𝑅 ≠ -∞)
↔ (𝑅 ∈ ℝ
∨ 𝑅 =
+∞)) |
| 92 | 90, 91 | sylib 218 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑅 ∈ ℝ ∨ 𝑅 = +∞)) |
| 93 | 44, 83, 92 | mpjaodan 961 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆) |
| 94 | | elbl 24398 |
. . . . 5
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆))) |
| 95 | 7, 9, 33, 94 | syl3anc 1373 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑥 ∈ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆))) |
| 96 | 6, 93, 95 | mpbir2and 713 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → 𝑥 ∈ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆)) |
| 97 | 96 | ex 412 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) → 𝑥 ∈ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆))) |
| 98 | 97 | ssrdv 3989 |
1
⊢ (𝜑 → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆)) |