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Theorem xblss2 24259
Description: One ball is contained in another if the center-to-center distance is less than the difference of the radii. In this version of blss2 24261 for extended metrics, we have to assume the balls are a finite distance apart, or else 𝑃 will not even be in the infinity ball around 𝑄. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xblss2.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
xblss2.2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
xblss2.3 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑋)
xblss2.4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
xblss2.5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
xblss2.6 (πœ‘ β†’ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
xblss2.7 (πœ‘ β†’ (𝑃𝐷𝑄) ≀ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅))
Assertion
Ref Expression
xblss2 (πœ‘ β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) βŠ† (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆))
Proof of Theorem xblss2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xblss2.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2 xblss2.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
3 xblss2.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
4 elbl 24245 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅)))
65simprbda 498 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
71adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
8 xblss2.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑋)
98adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 𝑄 ∈ 𝑋)
10 xmetcl 24188 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
117, 9, 6, 10syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
1211adantr 480 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
13 xblss2.6 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
1413adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
1514rexrd 11265 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ*)
163adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
1715, 16xaddcld 13283 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ∈ ℝ*)
1817adantr 480 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ∈ ℝ*)
19 xblss2.5 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
2019ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
212adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
22 xmetcl 24188 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
237, 21, 6, 22syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
2415, 23xaddcld 13283 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷π‘₯)) ∈ ℝ*)
25 xmettri2 24197 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷π‘₯)))
267, 21, 9, 6, 25syl13anc 1369 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷π‘₯)))
275simplbda 499 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅)
28 xltadd2 13239 . . . . . . . . . 10 (((𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ) β†’ ((𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅 ↔ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷π‘₯)) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅)))
2923, 16, 14, 28syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ ((𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅 ↔ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷π‘₯)) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅)))
3027, 29mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 (𝑃𝐷π‘₯)) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅))
3111, 24, 17, 26, 30xrlelttrd 13142 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅))
3231adantr 480 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) < ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅))
3319adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
3416xnegcld 13282 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ -𝑒𝑅 ∈ ℝ*)
3533, 34xaddcld 13283 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) ∈ ℝ*)
36 xblss2.7 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑃𝐷𝑄) ≀ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅))
3736adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑃𝐷𝑄) ≀ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅))
38 xleadd1a 13235 . . . . . . . . 9 ((((𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ* ∧ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃𝐷𝑄) ≀ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅)) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ≀ ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) +𝑒 𝑅))
3915, 35, 16, 37, 38syl31anc 1370 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ≀ ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) +𝑒 𝑅))
4039adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ≀ ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) +𝑒 𝑅))
41 xnpcan 13234 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) +𝑒 𝑅) = 𝑆)
4233, 41sylan 579 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) +𝑒 𝑅) = 𝑆)
4340, 42breqtrd 5167 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) +𝑒 𝑅) ≀ 𝑆)
4412, 18, 20, 32, 43xrltletrd 13143 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆)
4527adantr 480 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅)
4636ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑃𝐷𝑄) ≀ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅))
47 0xr 11262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ*
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 0 ∈ ℝ*)
49 xmetge0 24201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑃𝐷𝑄))
507, 21, 9, 49syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 0 ≀ (𝑃𝐷𝑄))
5148, 15, 35, 50, 37xrletrd 13144 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 0 ≀ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅))
52 ge0nemnf 13155 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅)) β†’ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) β‰  -∞)
5335, 51, 52syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) β‰  -∞)
5453adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) β‰  -∞)
5519ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
56 xaddmnf1 13210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 β‰  +∞) β†’ (𝑆 +𝑒 -∞) = -∞)
5756ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 ∈ ℝ* β†’ (𝑆 β‰  +∞ β†’ (𝑆 +𝑒 -∞) = -∞))
5855, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑆 β‰  +∞ β†’ (𝑆 +𝑒 -∞) = -∞))
59 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ 𝑅 = +∞)
60 xnegeq 13189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 = +∞ β†’ -𝑒𝑅 = -𝑒+∞)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ -𝑒𝑅 = -𝑒+∞)
62 xnegpnf 13191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -𝑒+∞ = -∞
6361, 62eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ -𝑒𝑅 = -∞)
6463oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) = (𝑆 +𝑒 -∞))
6564eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) = -∞ ↔ (𝑆 +𝑒 -∞) = -∞))
6658, 65sylibrd 259 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑆 β‰  +∞ β†’ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) = -∞))
6766necon1d 2956 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ ((𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) β‰  -∞ β†’ 𝑆 = +∞))
6854, 67mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ 𝑆 = +∞)
6968, 63oveq12d 7422 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) = (+∞ +𝑒 -∞))
70 pnfaddmnf 13212 . . . . . . . . . 10 (+∞ +𝑒 -∞) = 0
7169, 70eqtrdi 2782 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) = 0)
7246, 71breqtrd 5167 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑃𝐷𝑄) ≀ 0)
7350biantrud 531 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) ≀ 0 ↔ ((𝑃𝐷𝑄) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (𝑃𝐷𝑄))))
74 xrletri3 13136 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) = 0 ↔ ((𝑃𝐷𝑄) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (𝑃𝐷𝑄))))
7515, 47, 74sylancl 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) = 0 ↔ ((𝑃𝐷𝑄) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (𝑃𝐷𝑄))))
76 xmeteq0 24195 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) = 0 ↔ 𝑃 = 𝑄))
777, 21, 9, 76syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) = 0 ↔ 𝑃 = 𝑄))
7873, 75, 773bitr2d 307 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) ≀ 0 ↔ 𝑃 = 𝑄))
7978adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ ((𝑃𝐷𝑄) ≀ 0 ↔ 𝑃 = 𝑄))
8072, 79mpbid 231 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ 𝑃 = 𝑄)
8180oveq1d 7419 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑃𝐷π‘₯) = (𝑄𝐷π‘₯))
8259, 68eqtr4d 2769 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ 𝑅 = 𝑆)
8345, 81, 823brtr3d 5172 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) ∧ 𝑅 = +∞) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆)
84 xmetge0 24201 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑃𝐷π‘₯))
857, 21, 6, 84syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 0 ≀ (𝑃𝐷π‘₯))
8648, 23, 16, 85, 27xrlelttrd 13142 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 0 < 𝑅)
8748, 16, 86xrltled 13132 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 0 ≀ 𝑅)
88 ge0nemnf 13155 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ 𝑅 β‰  -∞)
8916, 87, 88syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ 𝑅 β‰  -∞)
9016, 89jca 511 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 β‰  -∞))
91 xrnemnf 13100 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 β‰  -∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∨ 𝑅 = +∞))
9290, 91sylib 217 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑅 ∈ ℝ ∨ 𝑅 = +∞))
9344, 83, 92mpjaodan 955 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆)
94 elbl 24245 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆)))
957, 9, 33, 94syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆)))
966, 93, 95mpbir2and 710 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆))
9796ex 412 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) β†’ π‘₯ ∈ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆)))
9897ssrdv 3983 1 (πœ‘ β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) βŠ† (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„cr 11108  0cc0 11109  +∞cpnf 11246  -∞cmnf 11247  β„*cxr 11248   < clt 11249   ≀ cle 11250  -𝑒cxne 13092   +𝑒 cxad 13093  βˆžMetcxmet 21221  ballcbl 21223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-2 12276  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-bl 21231
This theorem is referenced by:  blss2  24261  ssbl  24280
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