Theorem xmul01 13306

Description: Extended real version of mul01 11438. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmul01	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 0) = 0)

Proof of Theorem xmul01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11306	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		xmulval 13264	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 0) = if((𝐴 = 0 ∨ 0 = 0), 0, if((((0 < 0 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (0 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 0 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 0 = -∞))), +∞, if((((0 < 0 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (0 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 0 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 0 = +∞))), -∞, (𝐴 · 0)))))
3	1, 2	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 0) = if((𝐴 = 0 ∨ 0 = 0), 0, if((((0 < 0 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (0 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 0 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 0 = -∞))), +∞, if((((0 < 0 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (0 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 0 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 0 = +∞))), -∞, (𝐴 · 0)))))
4		eqid 2735	. . . 4 ⊢ 0 = 0
5	4	olci 866	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 ∨ 0 = 0)
6	5	iftruei 4538	. 2 ⊢ if((𝐴 = 0 ∨ 0 = 0), 0, if((((0 < 0 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (0 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 0 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 0 = -∞))), +∞, if((((0 < 0 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (0 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 0 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 0 = +∞))), -∞, (𝐴 · 0)))) = 0
7	3, 6	eqtrdi 2791	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ifcif 4531   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  0cc0 11153   · cmul 11158  +∞cpnf 11290  -∞cmnf 11291  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ·_e cxmu 13151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-i2m1 11221  ax-rnegex 11224  ax-cnre 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-xmul 13154

This theorem is referenced by:  xmul02  13307  xmulge0  13323  xmulass  13326  xlemul1a  13327  xadddilem  13333  xadddi2  13336  psmetge0  24338  xmetge0  24370  nmoix  24766  hashxpe  32817  xrge0mulc1cn  33902  esumcst  34044