Theorem xmul01 13289

Description: Extended real version of mul01 11385. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmul01	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 0) = 0)

Proof of Theorem xmul01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11252	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		xmulval 13247	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 0) = if((𝐴 = 0 ∨ 0 = 0), 0, if((((0 < 0 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (0 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 0 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 0 = -∞))), +∞, if((((0 < 0 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (0 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 0 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 0 = +∞))), -∞, (𝐴 · 0)))))
3	1, 2	mpan2 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 0) = if((𝐴 = 0 ∨ 0 = 0), 0, if((((0 < 0 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (0 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 0 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 0 = -∞))), +∞, if((((0 < 0 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (0 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 0 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 0 = +∞))), -∞, (𝐴 · 0)))))
4		eqid 2769	. . . 4 ⊢ 0 = 0
5	4	olci 879	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 ∨ 0 = 0)
6	5	iftruei 4496	. 2 ⊢ if((𝐴 = 0 ∨ 0 = 0), 0, if((((0 < 0 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (0 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 0 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 0 = -∞))), +∞, if((((0 < 0 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (0 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 0 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 0 = +∞))), -∞, (𝐴 · 0)))) = 0
7	3, 6	eqtrdi 2820	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ifcif 4489   class class class wbr 5110  (class class class)co 7408  0cc0 11096   · cmul 11101  +∞cpnf 11236  -∞cmnf 11237  ℝ^*cxr 11238   < clt 11239   ·_e cxmu 13132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-i2m1 11164  ax-rnegex 11167  ax-cnre 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-xmul 13135

This theorem is referenced by:  xmul02  13290  xmulge0  13306  xmulass  13309  xlemul1a  13310  xadddilem  13316  xadddi2  13319  psmetge0  24434  xmetge0  24466  nmoix  24851  hashxpe  33089  xrge0mulc1cn  34272  esumcst  34394