MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmul01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmul01 13195
Description: Extended real version of mul01 11342. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmul01 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (๐ด ยทe 0) = 0)

Proof of Theorem xmul01
StepHypRef Expression
1 0xr 11210 . . 3 0 โˆˆ โ„*
2 xmulval 13153 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe 0) = if((๐ด = 0 โˆจ 0 = 0), 0, if((((0 < 0 โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (0 < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง 0 = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง 0 = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < 0 โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (0 < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง 0 = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง 0 = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท 0)))))
31, 2mpan2 690 . 2 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (๐ด ยทe 0) = if((๐ด = 0 โˆจ 0 = 0), 0, if((((0 < 0 โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (0 < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง 0 = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง 0 = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < 0 โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (0 < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง 0 = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง 0 = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท 0)))))
4 eqid 2733 . . . 4 0 = 0
54olci 865 . . 3 (๐ด = 0 โˆจ 0 = 0)
65iftruei 4497 . 2 if((๐ด = 0 โˆจ 0 = 0), 0, if((((0 < 0 โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (0 < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง 0 = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง 0 = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < 0 โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (0 < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง 0 = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง 0 = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท 0)))) = 0
73, 6eqtrdi 2789 1 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (๐ด ยทe 0) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  ifcif 4490   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  0cc0 11059   ยท cmul 11064  +โˆžcpnf 11194  -โˆžcmnf 11195  โ„*cxr 11196   < clt 11197   ยทe cxmu 13040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-i2m1 11127  ax-rnegex 11130  ax-cnre 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-xmul 13043
This theorem is referenced by:  xmul02  13196  xmulge0  13212  xmulass  13215  xlemul1a  13216  xadddilem  13222  xadddi2  13225  psmetge0  23688  xmetge0  23720  nmoix  24116  hashxpe  31765  xrge0mulc1cn  32586  esumcst  32726
  Copyright terms: Public domain W3C validator