MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmul01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmul01 12409
Description: Extended real version of mul01 10555. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmul01 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 0) = 0)

Proof of Theorem xmul01
StepHypRef Expression
1 0xr 10423 . . 3 0 ∈ ℝ*
2 xmulval 12368 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 0) = if((𝐴 = 0 ∨ 0 = 0), 0, if((((0 < 0 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (0 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 0 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 0 = -∞))), +∞, if((((0 < 0 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (0 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 0 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 0 = +∞))), -∞, (𝐴 · 0)))))
31, 2mpan2 681 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 0) = if((𝐴 = 0 ∨ 0 = 0), 0, if((((0 < 0 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (0 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 0 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 0 = -∞))), +∞, if((((0 < 0 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (0 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 0 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 0 = +∞))), -∞, (𝐴 · 0)))))
4 eqid 2777 . . . 4 0 = 0
54olci 855 . . 3 (𝐴 = 0 ∨ 0 = 0)
65iftruei 4313 . 2 if((𝐴 = 0 ∨ 0 = 0), 0, if((((0 < 0 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (0 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 0 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 0 = -∞))), +∞, if((((0 < 0 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (0 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 0 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 0 = +∞))), -∞, (𝐴 · 0)))) = 0
73, 6syl6eq 2829 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 0) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  wo 836   = wceq 1601  wcel 2106  ifcif 4306   class class class wbr 4886  (class class class)co 6922  0cc0 10272   · cmul 10277  +∞cpnf 10408  -∞cmnf 10409  *cxr 10410   < clt 10411   ·e cxmu 12256
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-i2m1 10340  ax-rnegex 10343  ax-cnre 10345
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-xmul 12259
This theorem is referenced by:  xmul02  12410  xmulge0  12426  xmulass  12429  xlemul1a  12430  xadddilem  12436  xadddi2  12439  psmetge0  22525  xmetge0  22557  nmoix  22941  xrge0mulc1cn  30585  esumcst  30723
  Copyright terms: Public domain W3C validator