Theorem xmul01 12930

Description: Extended real version of mul01 11084. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmul01	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 0) = 0)

Proof of Theorem xmul01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 10953	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		xmulval 12888	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 0) = if((𝐴 = 0 ∨ 0 = 0), 0, if((((0 < 0 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (0 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 0 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 0 = -∞))), +∞, if((((0 < 0 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (0 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 0 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 0 = +∞))), -∞, (𝐴 · 0)))))
3	1, 2	mpan2 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 0) = if((𝐴 = 0 ∨ 0 = 0), 0, if((((0 < 0 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (0 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 0 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 0 = -∞))), +∞, if((((0 < 0 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (0 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 0 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 0 = +∞))), -∞, (𝐴 · 0)))))
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ 0 = 0
5	4	olci 862	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 ∨ 0 = 0)
6	5	iftruei 4463	. 2 ⊢ if((𝐴 = 0 ∨ 0 = 0), 0, if((((0 < 0 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (0 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 0 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 0 = -∞))), +∞, if((((0 < 0 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (0 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 0 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 0 = +∞))), -∞, (𝐴 · 0)))) = 0
7	3, 6	eqtrdi 2795	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ifcif 4456   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  0cc0 10802   · cmul 10807  +∞cpnf 10937  -∞cmnf 10938  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ·_e cxmu 12776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-i2m1 10870  ax-rnegex 10873  ax-cnre 10875

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-xmul 12779

This theorem is referenced by:  xmul02  12931  xmulge0  12947  xmulass  12950  xlemul1a  12951  xadddilem  12957  xadddi2  12960  psmetge0  23373  xmetge0  23405  nmoix  23799  hashxpe  31029  xrge0mulc1cn  31793  esumcst  31931