![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > xmul01 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Extended real version of mul01 11392. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
xmul01 | โข (๐ด โ โ* โ (๐ด ยทe 0) = 0) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 0xr 11260 | . . 3 โข 0 โ โ* | |
2 | xmulval 13203 | . . 3 โข ((๐ด โ โ* โง 0 โ โ*) โ (๐ด ยทe 0) = if((๐ด = 0 โจ 0 = 0), 0, if((((0 < 0 โง ๐ด = +โ) โจ (0 < 0 โง ๐ด = -โ)) โจ ((0 < ๐ด โง 0 = +โ) โจ (๐ด < 0 โง 0 = -โ))), +โ, if((((0 < 0 โง ๐ด = -โ) โจ (0 < 0 โง ๐ด = +โ)) โจ ((0 < ๐ด โง 0 = -โ) โจ (๐ด < 0 โง 0 = +โ))), -โ, (๐ด ยท 0))))) | |
3 | 1, 2 | mpan2 689 | . 2 โข (๐ด โ โ* โ (๐ด ยทe 0) = if((๐ด = 0 โจ 0 = 0), 0, if((((0 < 0 โง ๐ด = +โ) โจ (0 < 0 โง ๐ด = -โ)) โจ ((0 < ๐ด โง 0 = +โ) โจ (๐ด < 0 โง 0 = -โ))), +โ, if((((0 < 0 โง ๐ด = -โ) โจ (0 < 0 โง ๐ด = +โ)) โจ ((0 < ๐ด โง 0 = -โ) โจ (๐ด < 0 โง 0 = +โ))), -โ, (๐ด ยท 0))))) |
4 | eqid 2732 | . . . 4 โข 0 = 0 | |
5 | 4 | olci 864 | . . 3 โข (๐ด = 0 โจ 0 = 0) |
6 | 5 | iftruei 4535 | . 2 โข if((๐ด = 0 โจ 0 = 0), 0, if((((0 < 0 โง ๐ด = +โ) โจ (0 < 0 โง ๐ด = -โ)) โจ ((0 < ๐ด โง 0 = +โ) โจ (๐ด < 0 โง 0 = -โ))), +โ, if((((0 < 0 โง ๐ด = -โ) โจ (0 < 0 โง ๐ด = +โ)) โจ ((0 < ๐ด โง 0 = -โ) โจ (๐ด < 0 โง 0 = +โ))), -โ, (๐ด ยท 0)))) = 0 |
7 | 3, 6 | eqtrdi 2788 | 1 โข (๐ด โ โ* โ (๐ด ยทe 0) = 0) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 396 โจ wo 845 = wceq 1541 โ wcel 2106 ifcif 4528 class class class wbr 5148 (class class class)co 7408 0cc0 11109 ยท cmul 11114 +โcpnf 11244 -โcmnf 11245 โ*cxr 11246 < clt 11247 ยทe cxmu 13090 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7724 ax-cnex 11165 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-i2m1 11177 ax-rnegex 11180 ax-cnre 11182 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-br 5149 df-opab 5211 df-id 5574 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fv 6551 df-ov 7411 df-oprab 7412 df-mpo 7413 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-xmul 13093 |
This theorem is referenced by: xmul02 13246 xmulge0 13262 xmulass 13265 xlemul1a 13266 xadddilem 13272 xadddi2 13275 psmetge0 23817 xmetge0 23849 nmoix 24245 hashxpe 32014 xrge0mulc1cn 32916 esumcst 33056 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |