![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > xmul01 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Extended real version of mul01 11342. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
xmul01 | โข (๐ด โ โ* โ (๐ด ยทe 0) = 0) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 0xr 11210 | . . 3 โข 0 โ โ* | |
2 | xmulval 13153 | . . 3 โข ((๐ด โ โ* โง 0 โ โ*) โ (๐ด ยทe 0) = if((๐ด = 0 โจ 0 = 0), 0, if((((0 < 0 โง ๐ด = +โ) โจ (0 < 0 โง ๐ด = -โ)) โจ ((0 < ๐ด โง 0 = +โ) โจ (๐ด < 0 โง 0 = -โ))), +โ, if((((0 < 0 โง ๐ด = -โ) โจ (0 < 0 โง ๐ด = +โ)) โจ ((0 < ๐ด โง 0 = -โ) โจ (๐ด < 0 โง 0 = +โ))), -โ, (๐ด ยท 0))))) | |
3 | 1, 2 | mpan2 690 | . 2 โข (๐ด โ โ* โ (๐ด ยทe 0) = if((๐ด = 0 โจ 0 = 0), 0, if((((0 < 0 โง ๐ด = +โ) โจ (0 < 0 โง ๐ด = -โ)) โจ ((0 < ๐ด โง 0 = +โ) โจ (๐ด < 0 โง 0 = -โ))), +โ, if((((0 < 0 โง ๐ด = -โ) โจ (0 < 0 โง ๐ด = +โ)) โจ ((0 < ๐ด โง 0 = -โ) โจ (๐ด < 0 โง 0 = +โ))), -โ, (๐ด ยท 0))))) |
4 | eqid 2733 | . . . 4 โข 0 = 0 | |
5 | 4 | olci 865 | . . 3 โข (๐ด = 0 โจ 0 = 0) |
6 | 5 | iftruei 4497 | . 2 โข if((๐ด = 0 โจ 0 = 0), 0, if((((0 < 0 โง ๐ด = +โ) โจ (0 < 0 โง ๐ด = -โ)) โจ ((0 < ๐ด โง 0 = +โ) โจ (๐ด < 0 โง 0 = -โ))), +โ, if((((0 < 0 โง ๐ด = -โ) โจ (0 < 0 โง ๐ด = +โ)) โจ ((0 < ๐ด โง 0 = -โ) โจ (๐ด < 0 โง 0 = +โ))), -โ, (๐ด ยท 0)))) = 0 |
7 | 3, 6 | eqtrdi 2789 | 1 โข (๐ด โ โ* โ (๐ด ยทe 0) = 0) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 โจ wo 846 = wceq 1542 โ wcel 2107 ifcif 4490 class class class wbr 5109 (class class class)co 7361 0cc0 11059 ยท cmul 11064 +โcpnf 11194 -โcmnf 11195 โ*cxr 11196 < clt 11197 ยทe cxmu 13040 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5260 ax-nul 5267 ax-pow 5324 ax-pr 5388 ax-un 7676 ax-cnex 11115 ax-1cn 11117 ax-icn 11118 ax-addcl 11119 ax-addrcl 11120 ax-mulcl 11121 ax-i2m1 11127 ax-rnegex 11130 ax-cnre 11132 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-nul 4287 df-if 4491 df-pw 4566 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4870 df-br 5110 df-opab 5172 df-id 5535 df-xp 5643 df-rel 5644 df-cnv 5645 df-co 5646 df-dm 5647 df-iota 6452 df-fun 6502 df-fv 6508 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-pnf 11199 df-mnf 11200 df-xr 11201 df-xmul 13043 |
This theorem is referenced by: xmul02 13196 xmulge0 13212 xmulass 13215 xlemul1a 13216 xadddilem 13222 xadddi2 13225 psmetge0 23688 xmetge0 23720 nmoix 24116 hashxpe 31765 xrge0mulc1cn 32586 esumcst 32726 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |