Theorem xmul01 13437

Description: Extended real version of mul01 11528. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmul01	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 0) = 0)

Proof of Theorem xmul01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11395	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		xmulval 13395	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 0) = if((𝐴 = 0 ∨ 0 = 0), 0, if((((0 < 0 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (0 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 0 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 0 = -∞))), +∞, if((((0 < 0 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (0 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 0 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 0 = +∞))), -∞, (𝐴 · 0)))))
3	1, 2	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 0) = if((𝐴 = 0 ∨ 0 = 0), 0, if((((0 < 0 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (0 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 0 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 0 = -∞))), +∞, if((((0 < 0 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (0 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 0 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 0 = +∞))), -∞, (𝐴 · 0)))))
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ 0 = 0
5	4	olci 880	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 ∨ 0 = 0)
6	5	iftruei 4492	. 2 ⊢ if((𝐴 = 0 ∨ 0 = 0), 0, if((((0 < 0 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (0 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 0 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 0 = -∞))), +∞, if((((0 < 0 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (0 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 0 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 0 = +∞))), -∞, (𝐴 · 0)))) = 0
7	3, 6	eqtrdi 2814	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 0) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ifcif 4485   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  0cc0 11239   · cmul 11244  +∞cpnf 11379  -∞cmnf 11380  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   ·_e cxmu 13280

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-i2m1 11307  ax-rnegex 11310  ax-cnre 11312

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-xmul 13283

This theorem is used by:  xmul02  13438  xmulge0  13454  xmulass  13457  xlemul1a  13458  xadddilem  13464  xadddi2  13467  psmetge0  24686  xmetge0  24718  nmoix  25103  hashxpe  33495  xrge0mulc1cn  34684  esumcst  34806