MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmul01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmul01 13245
Description: Extended real version of mul01 11392. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmul01 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (๐ด ยทe 0) = 0)

Proof of Theorem xmul01
StepHypRef Expression
1 0xr 11260 . . 3 0 โˆˆ โ„*
2 xmulval 13203 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe 0) = if((๐ด = 0 โˆจ 0 = 0), 0, if((((0 < 0 โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (0 < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง 0 = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง 0 = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < 0 โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (0 < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง 0 = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง 0 = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท 0)))))
31, 2mpan2 689 . 2 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (๐ด ยทe 0) = if((๐ด = 0 โˆจ 0 = 0), 0, if((((0 < 0 โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (0 < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง 0 = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง 0 = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < 0 โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (0 < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง 0 = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง 0 = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท 0)))))
4 eqid 2732 . . . 4 0 = 0
54olci 864 . . 3 (๐ด = 0 โˆจ 0 = 0)
65iftruei 4535 . 2 if((๐ด = 0 โˆจ 0 = 0), 0, if((((0 < 0 โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (0 < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง 0 = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง 0 = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < 0 โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (0 < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง 0 = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง 0 = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท 0)))) = 0
73, 6eqtrdi 2788 1 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (๐ด ยทe 0) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  ifcif 4528   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  0cc0 11109   ยท cmul 11114  +โˆžcpnf 11244  -โˆžcmnf 11245  โ„*cxr 11246   < clt 11247   ยทe cxmu 13090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-i2m1 11177  ax-rnegex 11180  ax-cnre 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-xmul 13093
This theorem is referenced by:  xmul02  13246  xmulge0  13262  xmulass  13265  xlemul1a  13266  xadddilem  13272  xadddi2  13275  psmetge0  23817  xmetge0  23849  nmoix  24245  hashxpe  32014  xrge0mulc1cn  32916  esumcst  33056
  Copyright terms: Public domain W3C validator