Theorem xmulcom 13193

Description: Extended real multiplication is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmulcom	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐵 ·e 𝐴))

Proof of Theorem xmulcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmullem 13191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)) ∧ ¬ (((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞)))) ∧ ¬ (((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11172	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)) ∧ ¬ (((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞)))) ∧ ¬ (((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		ancom 460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*))
4		orcom 871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0) ↔ (𝐵 = 0 ∨ 𝐴 = 0))
5	4	notbii 320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0) ↔ ¬ (𝐵 = 0 ∨ 𝐴 = 0))
6	3, 5	anbi12i 629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ ¬ (𝐵 = 0 ∨ 𝐴 = 0)))
7		orcom 871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞))) ↔ (((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞))))
8	7	notbii 320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞))) ↔ ¬ (((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞))))
9	6, 8	anbi12i 629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)) ∧ ¬ (((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞)))) ↔ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ ¬ (𝐵 = 0 ∨ 𝐴 = 0)) ∧ ¬ (((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)))))
10		orcom 871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞))) ↔ (((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞))))
11	10	notbii 320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞))) ↔ ¬ (((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞))))
12		xmullem 13191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ ¬ (𝐵 = 0 ∨ 𝐴 = 0)) ∧ ¬ (((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)))) ∧ ¬ (((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
13	9, 11, 12	syl2anb 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)) ∧ ¬ (((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞)))) ∧ ¬ (((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
14	13	recnd 11172	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)) ∧ ¬ (((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞)))) ∧ ¬ (((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞)))) → 𝐵 ∈ ℂ)
15	2, 14	mulcomd 11165	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)) ∧ ¬ (((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞)))) ∧ ¬ (((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞)))) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
16	15	ifeq2da 4514	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)) ∧ ¬ (((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞)))) → if((((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞))), -∞, (𝐴 · 𝐵)) = if((((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞))), -∞, (𝐵 · 𝐴)))
17	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)) ∧ ¬ (((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞)))) → ((((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞))) ↔ (((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)))))
18	17	ifbid 4505	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)) ∧ ¬ (((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞)))) → if((((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞))), -∞, (𝐵 · 𝐴)) = if((((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞))), -∞, (𝐵 · 𝐴)))
19	16, 18	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)) ∧ ¬ (((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞)))) → if((((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞))), -∞, (𝐴 · 𝐵)) = if((((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞))), -∞, (𝐵 · 𝐴)))
20	19	ifeq2da 4514	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)) → if((((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞))), +∞, if((((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞))), -∞, (𝐴 · 𝐵))) = if((((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞))), +∞, if((((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞))), -∞, (𝐵 · 𝐴))))
21	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)) → ((((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞))) ↔ (((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)))))
22	21	ifbid 4505	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)) → if((((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞))), +∞, if((((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞))), -∞, (𝐵 · 𝐴))) = if((((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞))), +∞, if((((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞))), -∞, (𝐵 · 𝐴))))
23	20, 22	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)) → if((((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞))), +∞, if((((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞))), -∞, (𝐴 · 𝐵))) = if((((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞))), +∞, if((((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞))), -∞, (𝐵 · 𝐴))))
24	23	ifeq2da 4514	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → if((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0), 0, if((((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞))), +∞, if((((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞))), -∞, (𝐴 · 𝐵)))) = if((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0), 0, if((((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞))), +∞, if((((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞))), -∞, (𝐵 · 𝐴)))))
25	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0) ↔ (𝐵 = 0 ∨ 𝐴 = 0)))
26	25	ifbid 4505	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → if((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0), 0, if((((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞))), +∞, if((((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞))), -∞, (𝐵 · 𝐴)))) = if((𝐵 = 0 ∨ 𝐴 = 0), 0, if((((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞))), +∞, if((((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞))), -∞, (𝐵 · 𝐴)))))
27	24, 26	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → if((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0), 0, if((((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞))), +∞, if((((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞))), -∞, (𝐴 · 𝐵)))) = if((𝐵 = 0 ∨ 𝐴 = 0), 0, if((((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞))), +∞, if((((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞))), -∞, (𝐵 · 𝐴)))))
28		xmulval 13152	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐵) = if((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0), 0, if((((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞))), +∞, if((((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞))), -∞, (𝐴 · 𝐵)))))
29		xmulval 13152	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e 𝐴) = if((𝐵 = 0 ∨ 𝐴 = 0), 0, if((((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞))), +∞, if((((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞))), -∞, (𝐵 · 𝐴)))))
30	29	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e 𝐴) = if((𝐵 = 0 ∨ 𝐴 = 0), 0, if((((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞))), +∞, if((((0 < 𝐴 ∧ 𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐵 ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞))), -∞, (𝐵 · 𝐴)))))
31	27, 28, 30	3eqtr4d 2782	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐵 ·e 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4481   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038   · cmul 11043  +∞cpnf 11175  -∞cmnf 11176  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178   ·_e cxmu 13037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulcom 11102  ax-i2m1 11106  ax-rnegex 11109  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-xmul 13040

This theorem is referenced by:  xmul02  13195  xmulneg2  13197  xmulpnf2  13202  xmulmnf2  13204  xmullid  13207  xlemul2a  13216  xlemul2  13218  xltmul2  13220  xadddir  13223  xadddi2r  13225  xrsmcmn  21358  xmulcand  33013  xdivrec  33019  xrge0adddi  33112  fldextrspundglemul  33857  constrext2chnlem  33928  xrmulc1cn  34108  esummulc2  34260