Theorem nmoix 25010

Description: The operator norm is a bound on the size of an operator, even when it is infinite (using extended real multiplication). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmofval.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoi.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoi.3	⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoi.4	⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nmoix	⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)))

Proof of Theorem nmoix

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmofval.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2	1	isnghm2 25005	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ))
3	2	biimpar 483	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
4		nmoi.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
5		nmoi.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
6		nmoi.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
7	1, 4, 5, 6	nmoi 25009	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋)))
8	3, 7	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋)))
9	8	an32s 665	. . 3 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋)))
10		id 23	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)
11	4, 5	nmcl 24897	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ)
12	11	3ad2antl1 1204	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ)
13		rexmul 13371	. . . 4 ⊢ (((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ) → ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) = ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋)))
14	10, 12, 13	syl2anr 609	. . 3 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ) → ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) = ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋)))
15	9, 14	breqtrrd 5132	. 2 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)))
16		fveq2 6873	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑆) → (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘(0g‘𝑆)))
17	16	fveq2d 6877	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑆) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) = (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))))
18		fveq2 6873	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑆) → (𝐿‘𝑋) = (𝐿‘(0g‘𝑆)))
19	18	oveq2d 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑆) → (+∞ ·e (𝐿‘𝑋)) = (+∞ ·e (𝐿‘(0g‘𝑆))))
20	17, 19	breq12d 5115	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑆) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (+∞ ·e (𝐿‘𝑋)) ↔ (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) ≤ (+∞ ·e (𝐿‘(0g‘𝑆)))))
21		simpl2 1211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
22		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
23	4, 22	ghmf 19396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
24	23	ffvelcdmda 7072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑇))
25	24	3ad2antl3 1206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑇))
26	22, 6	nmcl 24897	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
27	21, 25, 26	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
28	27	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
29	28	rexrd 11331	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ*)
30		pnfge 13229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ* → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ +∞)
31	29, 30	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ +∞)
32		simp1 1154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
33		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
34	4, 5, 33	nmrpcl 24901	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+)
35	34	3expa 1136	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+)
36	32, 35	sylanl1 693	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+)
37		rpxr 13100	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+ → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ*)
38		rpgt0 13103	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+ → 0 < (𝐿‘𝑋))
39		xmulpnf2 13375	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿‘𝑋) ∈ ℝ* ∧ 0 < (𝐿‘𝑋)) → (+∞ ·e (𝐿‘𝑋)) = +∞)
40	37, 38, 39	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+ → (+∞ ·e (𝐿‘𝑋)) = +∞)
41	36, 40	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (+∞ ·e (𝐿‘𝑋)) = +∞)
42	31, 41	breqtrrd 5132	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (+∞ ·e (𝐿‘𝑋)))
43		0le0 12414	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 0
44		simpl3 1212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
45		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
46	33, 45	ghmid 19398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇))
47	44, 46	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇))
48	47	fveq2d 6877	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) = (𝑀‘(0g‘𝑇)))
49	6, 45	nm0 24910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑀‘(0g‘𝑇)) = 0)
50	21, 49	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(0g‘𝑇)) = 0)
51	48, 50	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) = 0)
52		simpl1 1210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
53	5, 33	nm0 24910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → (𝐿‘(0g‘𝑆)) = 0)
54	52, 53	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐿‘(0g‘𝑆)) = 0)
55	54	oveq2d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (+∞ ·e (𝐿‘(0g‘𝑆))) = (+∞ ·e 0))
56		pnfxr 11335	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
57		xmul01 13367	. . . . . . . . 9 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → (+∞ ·e 0) = 0)
58	56, 57	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞ ·e 0) = 0
59	55, 58	eqtrdi 2811	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (+∞ ·e (𝐿‘(0g‘𝑆))) = 0)
60	51, 59	breq12d 5115	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) ≤ (+∞ ·e (𝐿‘(0g‘𝑆))) ↔ 0 ≤ 0))
61	43, 60	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) ≤ (+∞ ·e (𝐿‘(0g‘𝑆))))
62	20, 42, 61	pm2.61ne 3040	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (+∞ ·e (𝐿‘𝑋)))
63	62	adantr 486	. . 3 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁‘𝐹) = +∞) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (+∞ ·e (𝐿‘𝑋)))
64		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁‘𝐹) = +∞) → (𝑁‘𝐹) = +∞)
65	64	oveq1d 7423	. . 3 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁‘𝐹) = +∞) → ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) = (+∞ ·e (𝐿‘𝑋)))
66	63, 65	breqtrrd 5132	. 2 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁‘𝐹) = +∞) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)))
67	1	nmocl 25001	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
68	1	nmoge0 25002	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 0 ≤ (𝑁‘𝐹))
69		ge0nemnf 13273	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁‘𝐹)) → (𝑁‘𝐹) ≠ -∞)
70	67, 68, 69	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁‘𝐹) ≠ -∞)
71	67, 70	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝑁‘𝐹) ≠ -∞))
72		xrnemnf 13216	. . . 4 ⊢ (((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝑁‘𝐹) ≠ -∞) ↔ ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ ∨ (𝑁‘𝐹) = +∞))
73	71, 72	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ ∨ (𝑁‘𝐹) = +∞))
74	73	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ ∨ (𝑁‘𝐹) = +∞))
75	15, 66, 74	mpjaodan 973	1 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℝcr 11171  0cc0 11172   · cmul 11177  +∞cpnf 11312  -∞cmnf 11313  ℝ^*cxr 11314   < clt 11315   ≤ cle 11316  ℝ⁺crp 13090   ·_e cxmu 13210  Basecbs 17349  0_gc0g 17572   GrpHom cghm 19389  normcnm 24857  NrmGrpcngp 24858   normOp cnmo 24986   NGHom cnghm 24987

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249  ax-pre-sup 11250

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-div 11944  df-nn 12306  df-2 12375  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-q 13046  df-rp 13091  df-xneg 13211  df-xadd 13212  df-xmul 13213  df-ico 13452  df-0g 17574  df-topgen 17576  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-grp 19109  df-ghm 19390  df-psmet 21632  df-xmet 21633  df-met 21634  df-bl 21635  df-mopn 21636  df-top 23174  df-topon 23191  df-topsp 23213  df-bases 23226  df-xms 24601  df-ms 24602  df-nm 24863  df-ngp 24864  df-nmo 24989  df-nghm 24990

This theorem is used by:  nmoi2  25011  nmoleub2lem  25397