MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoix Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoix 24246
Description: The operator norm is a bound on the size of an operator, even when it is infinite (using extended real multiplication). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoi.2 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
nmoi.3 𝐿 = (normβ€˜π‘†)
nmoi.4 𝑀 = (normβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
nmoix (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β·e (πΏβ€˜π‘‹)))

Proof of Theorem nmoix
StepHypRef Expression
1 nmofval.1 . . . . . . 7 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
21isnghm2 24241 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ))
32biimpar 479 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
4 nmoi.2 . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
5 nmoi.3 . . . . . 6 𝐿 = (normβ€˜π‘†)
6 nmoi.4 . . . . . 6 𝑀 = (normβ€˜π‘‡)
71, 4, 5, 6nmoi 24245 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β· (πΏβ€˜π‘‹)))
83, 7sylan 581 . . . 4 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β· (πΏβ€˜π‘‹)))
98an32s 651 . . 3 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β· (πΏβ€˜π‘‹)))
10 id 22 . . . 4 ((π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ)
114, 5nmcl 24125 . . . . 5 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΏβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
12113ad2antl1 1186 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΏβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
13 rexmul 13250 . . . 4 (((π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ (πΏβ€˜π‘‹) ∈ ℝ) β†’ ((π‘β€˜πΉ) Β·e (πΏβ€˜π‘‹)) = ((π‘β€˜πΉ) Β· (πΏβ€˜π‘‹)))
1410, 12, 13syl2anr 598 . . 3 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ) β†’ ((π‘β€˜πΉ) Β·e (πΏβ€˜π‘‹)) = ((π‘β€˜πΉ) Β· (πΏβ€˜π‘‹)))
159, 14breqtrrd 5177 . 2 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β·e (πΏβ€˜π‘‹)))
16 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑋 = (0gβ€˜π‘†) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)))
1716fveq2d 6896 . . . . . 6 (𝑋 = (0gβ€˜π‘†) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) = (π‘€β€˜(πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))))
18 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑋 = (0gβ€˜π‘†) β†’ (πΏβ€˜π‘‹) = (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†)))
1918oveq2d 7425 . . . . . 6 (𝑋 = (0gβ€˜π‘†) β†’ (+∞ Β·e (πΏβ€˜π‘‹)) = (+∞ Β·e (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†))))
2017, 19breq12d 5162 . . . . 5 (𝑋 = (0gβ€˜π‘†) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (+∞ Β·e (πΏβ€˜π‘‹)) ↔ (π‘€β€˜(πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))) ≀ (+∞ Β·e (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†)))))
21 simpl2 1193 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
22 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
234, 22ghmf 19096 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
2423ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
25243ad2antl3 1188 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
2622, 6nmcl 24125 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ)
2721, 25, 26syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ)
2827adantr 482 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ)
2928rexrd 11264 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ*)
30 pnfge 13110 . . . . . . 7 ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ* β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ +∞)
3129, 30syl 17 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ +∞)
32 simp1 1137 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
33 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
344, 5, 33nmrpcl 24129 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (πΏβ€˜π‘‹) ∈ ℝ+)
35343expa 1119 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (πΏβ€˜π‘‹) ∈ ℝ+)
3632, 35sylanl1 679 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (πΏβ€˜π‘‹) ∈ ℝ+)
37 rpxr 12983 . . . . . . . 8 ((πΏβ€˜π‘‹) ∈ ℝ+ β†’ (πΏβ€˜π‘‹) ∈ ℝ*)
38 rpgt0 12986 . . . . . . . 8 ((πΏβ€˜π‘‹) ∈ ℝ+ β†’ 0 < (πΏβ€˜π‘‹))
39 xmulpnf2 13254 . . . . . . . 8 (((πΏβ€˜π‘‹) ∈ ℝ* ∧ 0 < (πΏβ€˜π‘‹)) β†’ (+∞ Β·e (πΏβ€˜π‘‹)) = +∞)
4037, 38, 39syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πΏβ€˜π‘‹) ∈ ℝ+ β†’ (+∞ Β·e (πΏβ€˜π‘‹)) = +∞)
4136, 40syl 17 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (+∞ Β·e (πΏβ€˜π‘‹)) = +∞)
4231, 41breqtrrd 5177 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (+∞ Β·e (πΏβ€˜π‘‹)))
43 0le0 12313 . . . . . 6 0 ≀ 0
44 simpl3 1194 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
45 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜π‘‡) = (0gβ€˜π‘‡)
4633, 45ghmid 19098 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))
4744, 46syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))
4847fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))) = (π‘€β€˜(0gβ€˜π‘‡)))
496, 45nm0 24138 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ NrmGrp β†’ (π‘€β€˜(0gβ€˜π‘‡)) = 0)
5021, 49syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(0gβ€˜π‘‡)) = 0)
5148, 50eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))) = 0)
52 simpl1 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
535, 33nm0 24138 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ NrmGrp β†’ (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = 0)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = 0)
5554oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (+∞ Β·e (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†))) = (+∞ Β·e 0))
56 pnfxr 11268 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
57 xmul01 13246 . . . . . . . . 9 (+∞ ∈ ℝ* β†’ (+∞ Β·e 0) = 0)
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . 8 (+∞ Β·e 0) = 0
5955, 58eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (+∞ Β·e (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†))) = 0)
6051, 59breq12d 5162 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))) ≀ (+∞ Β·e (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†))) ↔ 0 ≀ 0))
6143, 60mpbiri 258 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))) ≀ (+∞ Β·e (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†))))
6220, 42, 61pm2.61ne 3028 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (+∞ Β·e (πΏβ€˜π‘‹)))
6362adantr 482 . . 3 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘β€˜πΉ) = +∞) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (+∞ Β·e (πΏβ€˜π‘‹)))
64 simpr 486 . . . 4 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘β€˜πΉ) = +∞) β†’ (π‘β€˜πΉ) = +∞)
6564oveq1d 7424 . . 3 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘β€˜πΉ) = +∞) β†’ ((π‘β€˜πΉ) Β·e (πΏβ€˜π‘‹)) = (+∞ Β·e (πΏβ€˜π‘‹)))
6663, 65breqtrrd 5177 . 2 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘β€˜πΉ) = +∞) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β·e (πΏβ€˜π‘‹)))
671nmocl 24237 . . . . 5 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
681nmoge0 24238 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜πΉ))
69 ge0nemnf 13152 . . . . . 6 (((π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘β€˜πΉ)) β†’ (π‘β€˜πΉ) β‰  -∞)
7067, 68, 69syl2anc 585 . . . . 5 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ (π‘β€˜πΉ) β‰  -∞)
7167, 70jca 513 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ (π‘β€˜πΉ) β‰  -∞))
72 xrnemnf 13097 . . . 4 (((π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ (π‘β€˜πΉ) β‰  -∞) ↔ ((π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ ∨ (π‘β€˜πΉ) = +∞))
7371, 72sylib 217 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ ∨ (π‘β€˜πΉ) = +∞))
7473adantr 482 . 2 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ ∨ (π‘β€˜πΉ) = +∞))
7515, 66, 74mpjaodan 958 1 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β·e (πΏβ€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  0cc0 11110   Β· cmul 11115  +∞cpnf 11245  -∞cmnf 11246  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  β„+crp 12974   Β·e cxmu 13091  Basecbs 17144  0gc0g 17385   GrpHom cghm 19089  normcnm 24085  NrmGrpcngp 24086   normOp cnmo 24222   NGHom cnghm 24223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ico 13330  df-0g 17387  df-topgen 17389  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-ghm 19090  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-xms 23826  df-ms 23827  df-nm 24091  df-ngp 24092  df-nmo 24225  df-nghm 24226
This theorem is referenced by:  nmoi2  24247  nmoleub2lem  24630
  Copyright terms: Public domain W3C validator