Theorem nmoix 24897

Description: The operator norm is a bound on the size of an operator, even when it is infinite (using extended real multiplication). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmofval.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoi.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoi.3	⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoi.4	⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nmoix	⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)))

Proof of Theorem nmoix

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmofval.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2	1	isnghm2 24892	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ))
3	2	biimpar 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
4		nmoi.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
5		nmoi.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
6		nmoi.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
7	1, 4, 5, 6	nmoi 24896	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋)))
8	3, 7	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋)))
9	8	an32s 664	. . 3 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋)))
10		id 23	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)
11	4, 5	nmcl 24784	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ)
12	11	3ad2antl1 1203	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ)
13		rexmul 13303	. . . 4 ⊢ (((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ) → ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) = ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋)))
14	10, 12, 13	syl2anr 608	. . 3 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ) → ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) = ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋)))
15	9, 14	breqtrrd 5138	. 2 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)))
16		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑆) → (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘(0g‘𝑆)))
17	16	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑆) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) = (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))))
18		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑆) → (𝐿‘𝑋) = (𝐿‘(0g‘𝑆)))
19	18	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑆) → (+∞ ·e (𝐿‘𝑋)) = (+∞ ·e (𝐿‘(0g‘𝑆))))
20	17, 19	breq12d 5121	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑆) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (+∞ ·e (𝐿‘𝑋)) ↔ (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) ≤ (+∞ ·e (𝐿‘(0g‘𝑆)))))
21		simpl2 1210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
22		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
23	4, 22	ghmf 19296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
24	23	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑇))
25	24	3ad2antl3 1205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑇))
26	22, 6	nmcl 24784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
27	21, 25, 26	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
28	27	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
29	28	rexrd 11265	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ*)
30		pnfge 13161	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ* → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ +∞)
31	29, 30	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ +∞)
32		simp1 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
33		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
34	4, 5, 33	nmrpcl 24788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+)
35	34	3expa 1135	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+)
36	32, 35	sylanl1 692	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+)
37		rpxr 13032	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+ → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ*)
38		rpgt0 13035	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+ → 0 < (𝐿‘𝑋))
39		xmulpnf2 13307	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿‘𝑋) ∈ ℝ* ∧ 0 < (𝐿‘𝑋)) → (+∞ ·e (𝐿‘𝑋)) = +∞)
40	37, 38, 39	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+ → (+∞ ·e (𝐿‘𝑋)) = +∞)
41	36, 40	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (+∞ ·e (𝐿‘𝑋)) = +∞)
42	31, 41	breqtrrd 5138	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (+∞ ·e (𝐿‘𝑋)))
43		0le0 12348	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 0
44		simpl3 1211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
45		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
46	33, 45	ghmid 19298	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇))
47	44, 46	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇))
48	47	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) = (𝑀‘(0g‘𝑇)))
49	6, 45	nm0 24797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑀‘(0g‘𝑇)) = 0)
50	21, 49	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(0g‘𝑇)) = 0)
51	48, 50	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) = 0)
52		simpl1 1209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
53	5, 33	nm0 24797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → (𝐿‘(0g‘𝑆)) = 0)
54	52, 53	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐿‘(0g‘𝑆)) = 0)
55	54	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (+∞ ·e (𝐿‘(0g‘𝑆))) = (+∞ ·e 0))
56		pnfxr 11269	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
57		xmul01 13299	. . . . . . . . 9 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → (+∞ ·e 0) = 0)
58	56, 57	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞ ·e 0) = 0
59	55, 58	eqtrdi 2813	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (+∞ ·e (𝐿‘(0g‘𝑆))) = 0)
60	51, 59	breq12d 5121	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) ≤ (+∞ ·e (𝐿‘(0g‘𝑆))) ↔ 0 ≤ 0))
61	43, 60	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) ≤ (+∞ ·e (𝐿‘(0g‘𝑆))))
62	20, 42, 61	pm2.61ne 3042	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (+∞ ·e (𝐿‘𝑋)))
63	62	adantr 485	. . 3 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁‘𝐹) = +∞) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (+∞ ·e (𝐿‘𝑋)))
64		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁‘𝐹) = +∞) → (𝑁‘𝐹) = +∞)
65	64	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁‘𝐹) = +∞) → ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) = (+∞ ·e (𝐿‘𝑋)))
66	63, 65	breqtrrd 5138	. 2 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁‘𝐹) = +∞) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)))
67	1	nmocl 24888	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
68	1	nmoge0 24889	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 0 ≤ (𝑁‘𝐹))
69		ge0nemnf 13205	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁‘𝐹)) → (𝑁‘𝐹) ≠ -∞)
70	67, 68, 69	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁‘𝐹) ≠ -∞)
71	67, 70	jca 520	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝑁‘𝐹) ≠ -∞))
72		xrnemnf 13148	. . . 4 ⊢ (((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝑁‘𝐹) ≠ -∞) ↔ ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ ∨ (𝑁‘𝐹) = +∞))
73	71, 72	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ ∨ (𝑁‘𝐹) = +∞))
74	73	adantr 485	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ ∨ (𝑁‘𝐹) = +∞))
75	15, 66, 74	mpjaodan 972	1 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℝcr 11105  0cc0 11106   · cmul 11111  +∞cpnf 11246  -∞cmnf 11247  ℝ^*cxr 11248   < clt 11249   ≤ cle 11250  ℝ⁺crp 13022   ·_e cxmu 13142  Basecbs 17275  0_gc0g 17498   GrpHom cghm 19289  normcnm 24744  NrmGrpcngp 24745   normOp cnmo 24873   NGHom cnghm 24874

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13143  df-xadd 13144  df-xmul 13145  df-ico 13384  df-0g 17500  df-topgen 17502  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-grp 19009  df-ghm 19290  df-psmet 21525  df-xmet 21526  df-met 21527  df-bl 21528  df-mopn 21529  df-top 23062  df-topon 23079  df-topsp 23101  df-bases 23114  df-xms 24488  df-ms 24489  df-nm 24750  df-ngp 24751  df-nmo 24876  df-nghm 24877

This theorem is used by:  nmoi2  24898  nmoleub2lem  25284