MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoix Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoix 24765
Description: The operator norm is a bound on the size of an operator, even when it is infinite (using extended real multiplication). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoi.2 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoi.3 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoi.4 𝑀 = (norm‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
nmoix (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)))

Proof of Theorem nmoix
StepHypRef Expression
1 nmofval.1 . . . . . . 7 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
21isnghm2 24760 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ (𝑁𝐹) ∈ ℝ))
32biimpar 477 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
4 nmoi.2 . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑆)
5 nmoi.3 . . . . . 6 𝐿 = (norm‘𝑆)
6 nmoi.4 . . . . . 6 𝑀 = (norm‘𝑇)
71, 4, 5, 6nmoi 24764 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐿𝑋)))
83, 7sylan 580 . . . 4 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐿𝑋)))
98an32s 652 . . 3 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐿𝑋)))
10 id 22 . . . 4 ((𝑁𝐹) ∈ ℝ → (𝑁𝐹) ∈ ℝ)
114, 5nmcl 24644 . . . . 5 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝑉) → (𝐿𝑋) ∈ ℝ)
12113ad2antl1 1184 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐿𝑋) ∈ ℝ)
13 rexmul 13309 . . . 4 (((𝑁𝐹) ∈ ℝ ∧ (𝐿𝑋) ∈ ℝ) → ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)) = ((𝑁𝐹) · (𝐿𝑋)))
1410, 12, 13syl2anr 597 . . 3 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ) → ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)) = ((𝑁𝐹) · (𝐿𝑋)))
159, 14breqtrrd 5175 . 2 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)))
16 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑋 = (0g𝑆) → (𝐹𝑋) = (𝐹‘(0g𝑆)))
1716fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝑋 = (0g𝑆) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) = (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))))
18 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑋 = (0g𝑆) → (𝐿𝑋) = (𝐿‘(0g𝑆)))
1918oveq2d 7446 . . . . . 6 (𝑋 = (0g𝑆) → (+∞ ·e (𝐿𝑋)) = (+∞ ·e (𝐿‘(0g𝑆))))
2017, 19breq12d 5160 . . . . 5 (𝑋 = (0g𝑆) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ (+∞ ·e (𝐿𝑋)) ↔ (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) ≤ (+∞ ·e (𝐿‘(0g𝑆)))))
21 simpl2 1191 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
22 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
234, 22ghmf 19250 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
2423ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝑇))
25243ad2antl3 1186 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝑇))
2622, 6nmcl 24644 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
2721, 25, 26syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
2827adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
2928rexrd 11308 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ*)
30 pnfge 13169 . . . . . . 7 ((𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ* → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ +∞)
3129, 30syl 17 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ +∞)
32 simp1 1135 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
33 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (0g𝑆) = (0g𝑆)
344, 5, 33nmrpcl 24648 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝑉𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (𝐿𝑋) ∈ ℝ+)
35343expa 1117 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (𝐿𝑋) ∈ ℝ+)
3632, 35sylanl1 680 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (𝐿𝑋) ∈ ℝ+)
37 rpxr 13041 . . . . . . . 8 ((𝐿𝑋) ∈ ℝ+ → (𝐿𝑋) ∈ ℝ*)
38 rpgt0 13044 . . . . . . . 8 ((𝐿𝑋) ∈ ℝ+ → 0 < (𝐿𝑋))
39 xmulpnf2 13313 . . . . . . . 8 (((𝐿𝑋) ∈ ℝ* ∧ 0 < (𝐿𝑋)) → (+∞ ·e (𝐿𝑋)) = +∞)
4037, 38, 39syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐿𝑋) ∈ ℝ+ → (+∞ ·e (𝐿𝑋)) = +∞)
4136, 40syl 17 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (+∞ ·e (𝐿𝑋)) = +∞)
4231, 41breqtrrd 5175 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ (+∞ ·e (𝐿𝑋)))
43 0le0 12364 . . . . . 6 0 ≤ 0
44 simpl3 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
45 eqid 2734 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑇) = (0g𝑇)
4633, 45ghmid 19252 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))
4744, 46syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))
4847fveq2d 6910 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) = (𝑀‘(0g𝑇)))
496, 45nm0 24657 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑀‘(0g𝑇)) = 0)
5021, 49syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(0g𝑇)) = 0)
5148, 50eqtrd 2774 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) = 0)
52 simpl1 1190 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
535, 33nm0 24657 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ NrmGrp → (𝐿‘(0g𝑆)) = 0)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐿‘(0g𝑆)) = 0)
5554oveq2d 7446 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → (+∞ ·e (𝐿‘(0g𝑆))) = (+∞ ·e 0))
56 pnfxr 11312 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
57 xmul01 13305 . . . . . . . . 9 (+∞ ∈ ℝ* → (+∞ ·e 0) = 0)
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . 8 (+∞ ·e 0) = 0
5955, 58eqtrdi 2790 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → (+∞ ·e (𝐿‘(0g𝑆))) = 0)
6051, 59breq12d 5160 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) ≤ (+∞ ·e (𝐿‘(0g𝑆))) ↔ 0 ≤ 0))
6143, 60mpbiri 258 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) ≤ (+∞ ·e (𝐿‘(0g𝑆))))
6220, 42, 61pm2.61ne 3024 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ (+∞ ·e (𝐿𝑋)))
6362adantr 480 . . 3 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) ∧ (𝑁𝐹) = +∞) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ (+∞ ·e (𝐿𝑋)))
64 simpr 484 . . . 4 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) ∧ (𝑁𝐹) = +∞) → (𝑁𝐹) = +∞)
6564oveq1d 7445 . . 3 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) ∧ (𝑁𝐹) = +∞) → ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)) = (+∞ ·e (𝐿𝑋)))
6663, 65breqtrrd 5175 . 2 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) ∧ (𝑁𝐹) = +∞) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)))
671nmocl 24756 . . . . 5 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
681nmoge0 24757 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 0 ≤ (𝑁𝐹))
69 ge0nemnf 13211 . . . . . 6 (((𝑁𝐹) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁𝐹)) → (𝑁𝐹) ≠ -∞)
7067, 68, 69syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁𝐹) ≠ -∞)
7167, 70jca 511 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝑁𝐹) ≠ -∞))
72 xrnemnf 13156 . . . 4 (((𝑁𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝑁𝐹) ≠ -∞) ↔ ((𝑁𝐹) ∈ ℝ ∨ (𝑁𝐹) = +∞))
7371, 72sylib 218 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁𝐹) ∈ ℝ ∨ (𝑁𝐹) = +∞))
7473adantr 480 . 2 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑁𝐹) ∈ ℝ ∨ (𝑁𝐹) = +∞))
7515, 66, 74mpjaodan 960 1 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cr 11151  0cc0 11152   · cmul 11157  +∞cpnf 11289  -∞cmnf 11290  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  +crp 13031   ·e cxmu 13150  Basecbs 17244  0gc0g 17485   GrpHom cghm 19242  normcnm 24604  NrmGrpcngp 24605   normOp cnmo 24741   NGHom cnghm 24742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ico 13389  df-0g 17487  df-topgen 17489  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-ghm 19243  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-xms 24345  df-ms 24346  df-nm 24610  df-ngp 24611  df-nmo 24744  df-nghm 24745
This theorem is referenced by:  nmoi2  24766  nmoleub2lem  25160
  Copyright terms: Public domain W3C validator