Theorem nmoix 24703

Description: The operator norm is a bound on the size of an operator, even when it is infinite (using extended real multiplication). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmofval.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoi.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoi.3	⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoi.4	⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nmoix	⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)))

Proof of Theorem nmoix

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmofval.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2	1	isnghm2 24698	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ))
3	2	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
4		nmoi.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
5		nmoi.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
6		nmoi.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
7	1, 4, 5, 6	nmoi 24702	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋)))
8	3, 7	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋)))
9	8	an32s 653	. . 3 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋)))
10		id 22	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)
11	4, 5	nmcl 24590	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ)
12	11	3ad2antl1 1187	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ)
13		rexmul 13212	. . . 4 ⊢ (((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ) → ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) = ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋)))
14	10, 12, 13	syl2anr 598	. . 3 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ) → ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) = ((𝑁‘𝐹) · (𝐿‘𝑋)))
15	9, 14	breqtrrd 5114	. 2 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)))
16		fveq2 6832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑆) → (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘(0g‘𝑆)))
17	16	fveq2d 6836	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑆) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) = (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))))
18		fveq2 6832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑆) → (𝐿‘𝑋) = (𝐿‘(0g‘𝑆)))
19	18	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑆) → (+∞ ·e (𝐿‘𝑋)) = (+∞ ·e (𝐿‘(0g‘𝑆))))
20	17, 19	breq12d 5099	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑆) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (+∞ ·e (𝐿‘𝑋)) ↔ (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) ≤ (+∞ ·e (𝐿‘(0g‘𝑆)))))
21		simpl2 1194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
22		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
23	4, 22	ghmf 19184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
24	23	ffvelcdmda 7028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑇))
25	24	3ad2antl3 1189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑇))
26	22, 6	nmcl 24590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
27	21, 25, 26	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
28	27	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
29	28	rexrd 11184	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ*)
30		pnfge 13070	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ* → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ +∞)
31	29, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ +∞)
32		simp1 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
33		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
34	4, 5, 33	nmrpcl 24594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+)
35	34	3expa 1119	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+)
36	32, 35	sylanl1 681	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+)
37		rpxr 12941	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+ → (𝐿‘𝑋) ∈ ℝ*)
38		rpgt0 12944	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+ → 0 < (𝐿‘𝑋))
39		xmulpnf2 13216	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿‘𝑋) ∈ ℝ* ∧ 0 < (𝐿‘𝑋)) → (+∞ ·e (𝐿‘𝑋)) = +∞)
40	37, 38, 39	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿‘𝑋) ∈ ℝ+ → (+∞ ·e (𝐿‘𝑋)) = +∞)
41	36, 40	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (+∞ ·e (𝐿‘𝑋)) = +∞)
42	31, 41	breqtrrd 5114	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (+∞ ·e (𝐿‘𝑋)))
43		0le0 12271	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 0
44		simpl3 1195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
45		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
46	33, 45	ghmid 19186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇))
47	44, 46	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇))
48	47	fveq2d 6836	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) = (𝑀‘(0g‘𝑇)))
49	6, 45	nm0 24603	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑀‘(0g‘𝑇)) = 0)
50	21, 49	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(0g‘𝑇)) = 0)
51	48, 50	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) = 0)
52		simpl1 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
53	5, 33	nm0 24603	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → (𝐿‘(0g‘𝑆)) = 0)
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐿‘(0g‘𝑆)) = 0)
55	54	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (+∞ ·e (𝐿‘(0g‘𝑆))) = (+∞ ·e 0))
56		pnfxr 11188	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
57		xmul01 13208	. . . . . . . . 9 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → (+∞ ·e 0) = 0)
58	56, 57	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞ ·e 0) = 0
59	55, 58	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (+∞ ·e (𝐿‘(0g‘𝑆))) = 0)
60	51, 59	breq12d 5099	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) ≤ (+∞ ·e (𝐿‘(0g‘𝑆))) ↔ 0 ≤ 0))
61	43, 60	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) ≤ (+∞ ·e (𝐿‘(0g‘𝑆))))
62	20, 42, 61	pm2.61ne 3018	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (+∞ ·e (𝐿‘𝑋)))
63	62	adantr 480	. . 3 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁‘𝐹) = +∞) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ (+∞ ·e (𝐿‘𝑋)))
64		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁‘𝐹) = +∞) → (𝑁‘𝐹) = +∞)
65	64	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁‘𝐹) = +∞) → ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)) = (+∞ ·e (𝐿‘𝑋)))
66	63, 65	breqtrrd 5114	. 2 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁‘𝐹) = +∞) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)))
67	1	nmocl 24694	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
68	1	nmoge0 24695	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 0 ≤ (𝑁‘𝐹))
69		ge0nemnf 13114	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁‘𝐹)) → (𝑁‘𝐹) ≠ -∞)
70	67, 68, 69	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁‘𝐹) ≠ -∞)
71	67, 70	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝑁‘𝐹) ≠ -∞))
72		xrnemnf 13057	. . . 4 ⊢ (((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝑁‘𝐹) ≠ -∞) ↔ ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ ∨ (𝑁‘𝐹) = +∞))
73	71, 72	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ ∨ (𝑁‘𝐹) = +∞))
74	73	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ ∨ (𝑁‘𝐹) = +∞))
75	15, 66, 74	mpjaodan 961	1 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℝcr 11026  0cc0 11027   · cmul 11032  +∞cpnf 11165  -∞cmnf 11166  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169  ℝ⁺crp 12931   ·_e cxmu 13051  Basecbs 17168  0_gc0g 17391   GrpHom cghm 19176  normcnm 24550  NrmGrpcngp 24551   normOp cnmo 24679   NGHom cnghm 24680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-inf 9347  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-xneg 13052  df-xadd 13053  df-xmul 13054  df-ico 13293  df-0g 17393  df-topgen 17395  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18901  df-ghm 19177  df-psmet 21334  df-xmet 21335  df-met 21336  df-bl 21337  df-mopn 21338  df-top 22868  df-topon 22885  df-topsp 22907  df-bases 22920  df-xms 24294  df-ms 24295  df-nm 24556  df-ngp 24557  df-nmo 24682  df-nghm 24683

This theorem is referenced by:  nmoi2  24704  nmoleub2lem  25090