MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoix Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoix 24639
Description: The operator norm is a bound on the size of an operator, even when it is infinite (using extended real multiplication). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoi.2 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
nmoi.3 𝐿 = (normβ€˜π‘†)
nmoi.4 𝑀 = (normβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
nmoix (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β·e (πΏβ€˜π‘‹)))

Proof of Theorem nmoix
StepHypRef Expression
1 nmofval.1 . . . . . . 7 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
21isnghm2 24634 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ))
32biimpar 477 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
4 nmoi.2 . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
5 nmoi.3 . . . . . 6 𝐿 = (normβ€˜π‘†)
6 nmoi.4 . . . . . 6 𝑀 = (normβ€˜π‘‡)
71, 4, 5, 6nmoi 24638 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β· (πΏβ€˜π‘‹)))
83, 7sylan 579 . . . 4 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β· (πΏβ€˜π‘‹)))
98an32s 651 . . 3 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β· (πΏβ€˜π‘‹)))
10 id 22 . . . 4 ((π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ)
114, 5nmcl 24518 . . . . 5 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΏβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
12113ad2antl1 1183 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΏβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
13 rexmul 13276 . . . 4 (((π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ (πΏβ€˜π‘‹) ∈ ℝ) β†’ ((π‘β€˜πΉ) Β·e (πΏβ€˜π‘‹)) = ((π‘β€˜πΉ) Β· (πΏβ€˜π‘‹)))
1410, 12, 13syl2anr 596 . . 3 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ) β†’ ((π‘β€˜πΉ) Β·e (πΏβ€˜π‘‹)) = ((π‘β€˜πΉ) Β· (πΏβ€˜π‘‹)))
159, 14breqtrrd 5170 . 2 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β·e (πΏβ€˜π‘‹)))
16 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑋 = (0gβ€˜π‘†) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)))
1716fveq2d 6895 . . . . . 6 (𝑋 = (0gβ€˜π‘†) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) = (π‘€β€˜(πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))))
18 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑋 = (0gβ€˜π‘†) β†’ (πΏβ€˜π‘‹) = (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†)))
1918oveq2d 7430 . . . . . 6 (𝑋 = (0gβ€˜π‘†) β†’ (+∞ Β·e (πΏβ€˜π‘‹)) = (+∞ Β·e (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†))))
2017, 19breq12d 5155 . . . . 5 (𝑋 = (0gβ€˜π‘†) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (+∞ Β·e (πΏβ€˜π‘‹)) ↔ (π‘€β€˜(πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))) ≀ (+∞ Β·e (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†)))))
21 simpl2 1190 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
22 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
234, 22ghmf 19167 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
2423ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
25243ad2antl3 1185 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
2622, 6nmcl 24518 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ)
2721, 25, 26syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ)
2827adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ)
2928rexrd 11288 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ*)
30 pnfge 13136 . . . . . . 7 ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ* β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ +∞)
3129, 30syl 17 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ +∞)
32 simp1 1134 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
33 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
344, 5, 33nmrpcl 24522 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (πΏβ€˜π‘‹) ∈ ℝ+)
35343expa 1116 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (πΏβ€˜π‘‹) ∈ ℝ+)
3632, 35sylanl1 679 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (πΏβ€˜π‘‹) ∈ ℝ+)
37 rpxr 13009 . . . . . . . 8 ((πΏβ€˜π‘‹) ∈ ℝ+ β†’ (πΏβ€˜π‘‹) ∈ ℝ*)
38 rpgt0 13012 . . . . . . . 8 ((πΏβ€˜π‘‹) ∈ ℝ+ β†’ 0 < (πΏβ€˜π‘‹))
39 xmulpnf2 13280 . . . . . . . 8 (((πΏβ€˜π‘‹) ∈ ℝ* ∧ 0 < (πΏβ€˜π‘‹)) β†’ (+∞ Β·e (πΏβ€˜π‘‹)) = +∞)
4037, 38, 39syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πΏβ€˜π‘‹) ∈ ℝ+ β†’ (+∞ Β·e (πΏβ€˜π‘‹)) = +∞)
4136, 40syl 17 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (+∞ Β·e (πΏβ€˜π‘‹)) = +∞)
4231, 41breqtrrd 5170 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (+∞ Β·e (πΏβ€˜π‘‹)))
43 0le0 12337 . . . . . 6 0 ≀ 0
44 simpl3 1191 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
45 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜π‘‡) = (0gβ€˜π‘‡)
4633, 45ghmid 19169 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))
4744, 46syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))
4847fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))) = (π‘€β€˜(0gβ€˜π‘‡)))
496, 45nm0 24531 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ NrmGrp β†’ (π‘€β€˜(0gβ€˜π‘‡)) = 0)
5021, 49syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(0gβ€˜π‘‡)) = 0)
5148, 50eqtrd 2767 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))) = 0)
52 simpl1 1189 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
535, 33nm0 24531 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ NrmGrp β†’ (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = 0)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = 0)
5554oveq2d 7430 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (+∞ Β·e (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†))) = (+∞ Β·e 0))
56 pnfxr 11292 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
57 xmul01 13272 . . . . . . . . 9 (+∞ ∈ ℝ* β†’ (+∞ Β·e 0) = 0)
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . 8 (+∞ Β·e 0) = 0
5955, 58eqtrdi 2783 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (+∞ Β·e (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†))) = 0)
6051, 59breq12d 5155 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))) ≀ (+∞ Β·e (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†))) ↔ 0 ≀ 0))
6143, 60mpbiri 258 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))) ≀ (+∞ Β·e (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†))))
6220, 42, 61pm2.61ne 3022 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (+∞ Β·e (πΏβ€˜π‘‹)))
6362adantr 480 . . 3 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘β€˜πΉ) = +∞) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ (+∞ Β·e (πΏβ€˜π‘‹)))
64 simpr 484 . . . 4 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘β€˜πΉ) = +∞) β†’ (π‘β€˜πΉ) = +∞)
6564oveq1d 7429 . . 3 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘β€˜πΉ) = +∞) β†’ ((π‘β€˜πΉ) Β·e (πΏβ€˜π‘‹)) = (+∞ Β·e (πΏβ€˜π‘‹)))
6663, 65breqtrrd 5170 . 2 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘β€˜πΉ) = +∞) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β·e (πΏβ€˜π‘‹)))
671nmocl 24630 . . . . 5 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
681nmoge0 24631 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜πΉ))
69 ge0nemnf 13178 . . . . . 6 (((π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘β€˜πΉ)) β†’ (π‘β€˜πΉ) β‰  -∞)
7067, 68, 69syl2anc 583 . . . . 5 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ (π‘β€˜πΉ) β‰  -∞)
7167, 70jca 511 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ (π‘β€˜πΉ) β‰  -∞))
72 xrnemnf 13123 . . . 4 (((π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ (π‘β€˜πΉ) β‰  -∞) ↔ ((π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ ∨ (π‘β€˜πΉ) = +∞))
7371, 72sylib 217 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ ∨ (π‘β€˜πΉ) = +∞))
7473adantr 480 . 2 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ ∨ (π‘β€˜πΉ) = +∞))
7515, 66, 74mpjaodan 957 1 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β·e (πΏβ€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„cr 11131  0cc0 11132   Β· cmul 11137  +∞cpnf 11269  -∞cmnf 11270  β„*cxr 11271   < clt 11272   ≀ cle 11273  β„+crp 13000   Β·e cxmu 13117  Basecbs 17173  0gc0g 17414   GrpHom cghm 19160  normcnm 24478  NrmGrpcngp 24479   normOp cnmo 24615   NGHom cnghm 24616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13118  df-xadd 13119  df-xmul 13120  df-ico 13356  df-0g 17416  df-topgen 17418  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-grp 18886  df-ghm 19161  df-psmet 21264  df-xmet 21265  df-met 21266  df-bl 21267  df-mopn 21268  df-top 22789  df-topon 22806  df-topsp 22828  df-bases 22842  df-xms 24219  df-ms 24220  df-nm 24484  df-ngp 24485  df-nmo 24618  df-nghm 24619
This theorem is referenced by:  nmoi2  24640  nmoleub2lem  25034
  Copyright terms: Public domain W3C validator