MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmulge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmulge0 13263
Description: Extended real version of mulge0 11732. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmulge0 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยทe ๐ต))

Proof of Theorem xmulge0
StepHypRef Expression
1 xmulgt0 13262 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 < (๐ด ยทe ๐ต))
21an4s 659 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 < (๐ด ยทe ๐ต))
3 0xr 11261 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„*
4 xmulcl 13252 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„*)
54adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„*)
6 xrltle 13128 . . . . . . . 8 ((0 โˆˆ โ„* โˆง (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„*) โ†’ (0 < (๐ด ยทe ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยทe ๐ต)))
73, 5, 6sylancr 588 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (0 < (๐ด ยทe ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยทe ๐ต)))
82, 7mpd 15 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยทe ๐ต))
98ex 414 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ ((0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยทe ๐ต)))
109ad2ant2r 746 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยทe ๐ต)))
1110impl 457 . . 3 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โˆง 0 < ๐ด) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยทe ๐ต))
12 0le0 12313 . . . . 5 0 โ‰ค 0
13 oveq2 7417 . . . . . . 7 (0 = ๐ต โ†’ (๐ด ยทe 0) = (๐ด ยทe ๐ต))
1413eqcomd 2739 . . . . . 6 (0 = ๐ต โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = (๐ด ยทe 0))
15 xmul01 13246 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (๐ด ยทe 0) = 0)
1615ad2antrr 725 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด ยทe 0) = 0)
1714, 16sylan9eqr 2795 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โˆง 0 = ๐ต) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = 0)
1812, 17breqtrrid 5187 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โˆง 0 = ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยทe ๐ต))
1918adantlr 714 . . 3 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โˆง 0 < ๐ด) โˆง 0 = ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยทe ๐ต))
20 xrleloe 13123 . . . . . 6 ((0 โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” (0 < ๐ต โˆจ 0 = ๐ต)))
213, 20mpan 689 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„* โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” (0 < ๐ต โˆจ 0 = ๐ต)))
2221biimpa 478 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ (0 < ๐ต โˆจ 0 = ๐ต))
2322ad2antlr 726 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (0 < ๐ต โˆจ 0 = ๐ต))
2411, 19, 23mpjaodan 958 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยทe ๐ต))
25 oveq1 7416 . . . . 5 (0 = ๐ด โ†’ (0 ยทe ๐ต) = (๐ด ยทe ๐ต))
2625eqcomd 2739 . . . 4 (0 = ๐ด โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = (0 ยทe ๐ต))
27 xmul02 13247 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„* โ†’ (0 ยทe ๐ต) = 0)
2827ad2antrl 727 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (0 ยทe ๐ต) = 0)
2926, 28sylan9eqr 2795 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โˆง 0 = ๐ด) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = 0)
3012, 29breqtrrid 5187 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โˆง 0 = ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยทe ๐ต))
31 xrleloe 13123 . . . . 5 ((0 โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„*) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†” (0 < ๐ด โˆจ 0 = ๐ด)))
323, 31mpan 689 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†” (0 < ๐ด โˆจ 0 = ๐ด)))
3332biimpa 478 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (0 < ๐ด โˆจ 0 = ๐ด))
3433adantr 482 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (0 < ๐ด โˆจ 0 = ๐ด))
3524, 30, 34mpjaodan 958 1 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยทe ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  0cc0 11110  โ„*cxr 11247   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   ยทe cxmu 13091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-xmul 13094
This theorem is referenced by:  xadddi2  13276  ge0xmulcl  13440
  Copyright terms: Public domain W3C validator