Theorem xmulge0 13018

Description: Extended real version of mulge0 11493. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmulge0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))

Proof of Theorem xmulge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmulgt0 13017	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
2	1	an4s 657	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
3		0xr 11022	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
4		xmulcl 13007	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
5	4	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
6		xrltle 12883	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ*) → (0 < (𝐴 ·e 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵)))
7	3, 5, 6	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → (0 < (𝐴 ·e 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵)))
8	2, 7	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))
9	8	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵)))
10	9	ad2ant2r 744	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵)))
11	10	impl 456	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))
12		0le0 12074	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
13		oveq2 7283	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝐵 → (𝐴 ·e 0) = (𝐴 ·e 𝐵))
14	13	eqcomd 2744	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝐵 → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e 0))
15		xmul01 13001	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 0) = 0)
16	15	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 ·e 0) = 0)
17	14, 16	sylan9eqr 2800	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 = 𝐵) → (𝐴 ·e 𝐵) = 0)
18	12, 17	breqtrrid 5112	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 = 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))
19	18	adantlr 712	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))
20		xrleloe 12878	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
21	3, 20	mpan 687	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
22	21	biimpa 477	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))
23	22	ad2antlr 724	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))
24	11, 19, 23	mpjaodan 956	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))
25		oveq1 7282	. . . . 5 ⊢ (0 = 𝐴 → (0 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))
26	25	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ (0 = 𝐴 → (𝐴 ·e 𝐵) = (0 ·e 𝐵))
27		xmul02 13002	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐵) = 0)
28	27	ad2antrl 725	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (0 ·e 𝐵) = 0)
29	26, 28	sylan9eqr 2800	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 = 𝐴) → (𝐴 ·e 𝐵) = 0)
30	12, 29	breqtrrid 5112	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 = 𝐴) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))
31		xrleloe 12878	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
32	3, 31	mpan 687	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
33	32	biimpa 477	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
34	33	adantr 481	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
35	24, 30, 34	mpjaodan 956	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  0cc0 10871  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010   ·_e cxmu 12847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-xmul 12850

This theorem is referenced by:  xadddi2  13031  ge0xmulcl  13195