Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmulge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmulge0 12409
 Description: Extended real version of mulge0 10877. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmulge0 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))

Proof of Theorem xmulge0
StepHypRef Expression
1 xmulgt0 12408 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
21an4s 650 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
3 0xr 10410 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
4 xmulcl 12398 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
54adantr 474 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
6 xrltle 12275 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ*) → (0 < (𝐴 ·e 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵)))
73, 5, 6sylancr 581 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → (0 < (𝐴 ·e 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵)))
82, 7mpd 15 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))
98ex 403 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵)))
109ad2ant2r 753 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵)))
1110impl 449 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))
12 0le0 11466 . . . . 5 0 ≤ 0
13 oveq2 6918 . . . . . . 7 (0 = 𝐵 → (𝐴 ·e 0) = (𝐴 ·e 𝐵))
1413eqcomd 2831 . . . . . 6 (0 = 𝐵 → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e 0))
15 xmul01 12392 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 0) = 0)
1615ad2antrr 717 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 ·e 0) = 0)
1714, 16sylan9eqr 2883 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 = 𝐵) → (𝐴 ·e 𝐵) = 0)
1812, 17syl5breqr 4913 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 = 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))
1918adantlr 706 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))
20 xrleloe 12270 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
213, 20mpan 681 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ* → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
2221biimpa 470 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))
2322ad2antlr 718 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))
2411, 19, 23mpjaodan 986 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))
25 oveq1 6917 . . . . 5 (0 = 𝐴 → (0 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))
2625eqcomd 2831 . . . 4 (0 = 𝐴 → (𝐴 ·e 𝐵) = (0 ·e 𝐵))
27 xmul02 12393 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐵) = 0)
2827ad2antrl 719 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (0 ·e 𝐵) = 0)
2926, 28sylan9eqr 2883 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 = 𝐴) → (𝐴 ·e 𝐵) = 0)
3012, 29syl5breqr 4913 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 = 𝐴) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))
31 xrleloe 12270 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
323, 31mpan 681 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
3332biimpa 470 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
3433adantr 474 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
3524, 30, 34mpjaodan 986 1 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 878   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4875  (class class class)co 6910  0cc0 10259  ℝ*cxr 10397   < clt 10398   ≤ cle 10399   ·e cxmu 12238 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-po 5265  df-so 5266  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-xmul 12241 This theorem is referenced by:  xadddi2  12422  ge0xmulcl  12584
 Copyright terms: Public domain W3C validator