Theorem xmulge0 12426

Description: Extended real version of mulge0 10893. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmulge0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))

Proof of Theorem xmulge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmulgt0 12425	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
2	1	an4s 650	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
3		0xr 10423	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
4		xmulcl 12415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
5	4	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
6		xrltle 12292	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ*) → (0 < (𝐴 ·e 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵)))
7	3, 5, 6	sylancr 581	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → (0 < (𝐴 ·e 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵)))
8	2, 7	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))
9	8	ex 403	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵)))
10	9	ad2ant2r 737	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵)))
11	10	impl 449	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))
12		0le0 11483	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
13		oveq2 6930	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝐵 → (𝐴 ·e 0) = (𝐴 ·e 𝐵))
14	13	eqcomd 2783	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝐵 → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e 0))
15		xmul01 12409	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 0) = 0)
16	15	ad2antrr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 ·e 0) = 0)
17	14, 16	sylan9eqr 2835	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 = 𝐵) → (𝐴 ·e 𝐵) = 0)
18	12, 17	syl5breqr 4924	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 = 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))
19	18	adantlr 705	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))
20		xrleloe 12287	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
21	3, 20	mpan 680	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
22	21	biimpa 470	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))
23	22	ad2antlr 717	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))
24	11, 19, 23	mpjaodan 944	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))
25		oveq1 6929	. . . . 5 ⊢ (0 = 𝐴 → (0 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))
26	25	eqcomd 2783	. . . 4 ⊢ (0 = 𝐴 → (𝐴 ·e 𝐵) = (0 ·e 𝐵))
27		xmul02 12410	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐵) = 0)
28	27	ad2antrl 718	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (0 ·e 𝐵) = 0)
29	26, 28	sylan9eqr 2835	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 = 𝐴) → (𝐴 ·e 𝐵) = 0)
30	12, 29	syl5breqr 4924	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 = 𝐴) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))
31		xrleloe 12287	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
32	3, 31	mpan 680	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
33	32	biimpa 470	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
34	33	adantr 474	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
35	24, 30, 34	mpjaodan 944	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 836   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   class class class wbr 4886  (class class class)co 6922  0cc0 10272  ℝ^*cxr 10410   < clt 10411   ≤ cle 10412   ·_e cxmu 12256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-xmul 12259

This theorem is referenced by:  xadddi2  12439  ge0xmulcl  12601