Theorem xmulge0 13444

Description: Extended real version of mulge0 11864. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmulge0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))

Proof of Theorem xmulge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmulgt0 13443	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
2	1	an4s 673	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
3		0xr 11386	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
4		xmulcl 13433	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
5	4	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
6		xrltle 13308	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ*) → (0 < (𝐴 ·e 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵)))
7	3, 5, 6	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → (0 < (𝐴 ·e 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵)))
8	2, 7	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))
9	8	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵)))
10	9	ad2ant2r 760	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵)))
11	10	impl 461	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))
12		0le0 12474	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
13		oveq2 7454	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝐵 → (𝐴 ·e 0) = (𝐴 ·e 𝐵))
14	13	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝐵 → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e 0))
15		xmul01 13427	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 0) = 0)
16	15	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 ·e 0) = 0)
17	14, 16	sylan9eqr 2820	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 = 𝐵) → (𝐴 ·e 𝐵) = 0)
18	12, 17	breqtrrid 5147	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 = 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))
19	18	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))
20		xrleloe 13303	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
21	3, 20	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
22	21	biimpa 482	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))
23	22	ad2antlr 740	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))
24	11, 19, 23	mpjaodan 973	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))
25		oveq1 7453	. . . . 5 ⊢ (0 = 𝐴 → (0 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))
26	25	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ (0 = 𝐴 → (𝐴 ·e 𝐵) = (0 ·e 𝐵))
27		xmul02 13428	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐵) = 0)
28	27	ad2antrl 741	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (0 ·e 𝐵) = 0)
29	26, 28	sylan9eqr 2820	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 = 𝐴) → (𝐴 ·e 𝐵) = 0)
30	12, 29	breqtrrid 5147	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 = 𝐴) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))
31		xrleloe 13303	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
32	3, 31	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
33	32	biimpa 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
34	33	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
35	24, 30, 34	mpjaodan 973	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7446  0cc0 11230  ℝ^*cxr 11372   < clt 11373   ≤ cle 11374   ·_e cxmu 13270

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-xmul 13273

This theorem is used by:  xadddi2  13457  ge0xmulcl  13624