MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmulge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmulge0 13267
Description: Extended real version of mulge0 11736. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmulge0 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยทe ๐ต))

Proof of Theorem xmulge0
StepHypRef Expression
1 xmulgt0 13266 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 < (๐ด ยทe ๐ต))
21an4s 658 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 < (๐ด ยทe ๐ต))
3 0xr 11265 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„*
4 xmulcl 13256 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„*)
54adantr 481 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„*)
6 xrltle 13132 . . . . . . . 8 ((0 โˆˆ โ„* โˆง (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„*) โ†’ (0 < (๐ด ยทe ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยทe ๐ต)))
73, 5, 6sylancr 587 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (0 < (๐ด ยทe ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยทe ๐ต)))
82, 7mpd 15 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยทe ๐ต))
98ex 413 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ ((0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยทe ๐ต)))
109ad2ant2r 745 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยทe ๐ต)))
1110impl 456 . . 3 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โˆง 0 < ๐ด) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยทe ๐ต))
12 0le0 12317 . . . . 5 0 โ‰ค 0
13 oveq2 7419 . . . . . . 7 (0 = ๐ต โ†’ (๐ด ยทe 0) = (๐ด ยทe ๐ต))
1413eqcomd 2738 . . . . . 6 (0 = ๐ต โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = (๐ด ยทe 0))
15 xmul01 13250 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (๐ด ยทe 0) = 0)
1615ad2antrr 724 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด ยทe 0) = 0)
1714, 16sylan9eqr 2794 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โˆง 0 = ๐ต) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = 0)
1812, 17breqtrrid 5186 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โˆง 0 = ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยทe ๐ต))
1918adantlr 713 . . 3 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โˆง 0 < ๐ด) โˆง 0 = ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยทe ๐ต))
20 xrleloe 13127 . . . . . 6 ((0 โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” (0 < ๐ต โˆจ 0 = ๐ต)))
213, 20mpan 688 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„* โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” (0 < ๐ต โˆจ 0 = ๐ต)))
2221biimpa 477 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ (0 < ๐ต โˆจ 0 = ๐ต))
2322ad2antlr 725 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (0 < ๐ต โˆจ 0 = ๐ต))
2411, 19, 23mpjaodan 957 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยทe ๐ต))
25 oveq1 7418 . . . . 5 (0 = ๐ด โ†’ (0 ยทe ๐ต) = (๐ด ยทe ๐ต))
2625eqcomd 2738 . . . 4 (0 = ๐ด โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = (0 ยทe ๐ต))
27 xmul02 13251 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„* โ†’ (0 ยทe ๐ต) = 0)
2827ad2antrl 726 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (0 ยทe ๐ต) = 0)
2926, 28sylan9eqr 2794 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โˆง 0 = ๐ด) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = 0)
3012, 29breqtrrid 5186 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โˆง 0 = ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยทe ๐ต))
31 xrleloe 13127 . . . . 5 ((0 โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„*) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†” (0 < ๐ด โˆจ 0 = ๐ด)))
323, 31mpan 688 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†” (0 < ๐ด โˆจ 0 = ๐ด)))
3332biimpa 477 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (0 < ๐ด โˆจ 0 = ๐ด))
3433adantr 481 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (0 < ๐ด โˆจ 0 = ๐ด))
3524, 30, 34mpjaodan 957 1 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยทe ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  0cc0 11112  โ„*cxr 11251   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   ยทe cxmu 13095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-xmul 13098
This theorem is referenced by:  xadddi2  13280  ge0xmulcl  13444
  Copyright terms: Public domain W3C validator