MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xlemul1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlemul1a 13273
Description: Extended real version of lemul1a 12072. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xlemul1a (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))

Proof of Theorem xlemul1a
StepHypRef Expression
1 0xr 11265 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„*
2 simpr 484 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„*)
3 xrleloe 13129 . . . . . 6 ((0 โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (0 โ‰ค ๐ถ โ†” (0 < ๐ถ โˆจ 0 = ๐ถ)))
41, 2, 3sylancr 586 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (0 โ‰ค ๐ถ โ†” (0 < ๐ถ โˆจ 0 = ๐ถ)))
5 simpllr 773 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„*)
6 elxr 13102 . . . . . . . . . . . 12 (๐ถ โˆˆ โ„* โ†” (๐ถ โˆˆ โ„ โˆจ ๐ถ = +โˆž โˆจ ๐ถ = -โˆž))
75, 6sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โˆจ ๐ถ = +โˆž โˆจ ๐ถ = -โˆž))
8 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
9 simprll 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
10 simprlr 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
11 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
12 simplrl 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ 0 < ๐ถ)
13 lemul1 12070 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ)))
149, 10, 11, 12, 13syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ)))
158, 14mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))
16 rexmul 13256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) = (๐ด ยท ๐ถ))
179, 11, 16syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) = (๐ด ยท ๐ถ))
18 rexmul 13256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ))
1910, 11, 18syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ))
2015, 17, 193brtr4d 5173 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
2120expr 456 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ)))
22 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
23 0re 11220 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 โˆˆ โ„
24 lttri4 11302 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < 0 โˆจ ๐ด = 0 โˆจ 0 < ๐ด))
2522, 23, 24sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด < 0 โˆจ ๐ด = 0 โˆจ 0 < ๐ด))
26 simplll 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
28 xmulpnf1n 13263 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = -โˆž)
2927, 28sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = -โˆž)
30 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
3130adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
3231adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
33 pnfxr 11272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 +โˆž โˆˆ โ„*
34 xmulcl 13258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง +โˆž โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ต ยทe +โˆž) โˆˆ โ„*)
3532, 33, 34sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ต ยทe +โˆž) โˆˆ โ„*)
36 mnfle 13120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ต ยทe +โˆž) โˆˆ โ„* โ†’ -โˆž โ‰ค (๐ต ยทe +โˆž))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด < 0) โ†’ -โˆž โ‰ค (๐ต ยทe +โˆž))
3829, 37eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) โ‰ค (๐ต ยทe +โˆž))
3938ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด < 0 โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) โ‰ค (๐ต ยทe +โˆž)))
40 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ด = 0 โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = (0 ยทe +โˆž))
41 xmul02 13253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (+โˆž โˆˆ โ„* โ†’ (0 ยทe +โˆž) = 0)
4233, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 ยทe +โˆž) = 0
4340, 42eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ด = 0 โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = 0)
4443adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = 0)
45 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
46 breq1 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐ด = 0 โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” 0 โ‰ค ๐ต))
4745, 46syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด = 0 โ†’ 0 โ‰ค ๐ต))
48 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
49 leloe 11304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” (0 < ๐ต โˆจ 0 = ๐ต)))
5023, 48, 49sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” (0 < ๐ต โˆจ 0 = ๐ต)))
5147, 50sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด = 0 โ†’ (0 < ๐ต โˆจ 0 = ๐ต)))
5251imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (0 < ๐ต โˆจ 0 = ๐ต))
53 pnfge 13116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 โˆˆ โ„* โ†’ 0 โ‰ค +โˆž)
541, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 โ‰ค +โˆž
55 xmulpnf1 13259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (๐ต ยทe +โˆž) = +โˆž)
5631, 55sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (๐ต ยทe +โˆž) = +โˆž)
5754, 56breqtrrid 5179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ต ยทe +โˆž))
58 xrleid 13136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0 โˆˆ โ„* โ†’ 0 โ‰ค 0)
591, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 โ‰ค 0
6059, 42breqtrri 5168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 โ‰ค (0 ยทe +โˆž)
61 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โˆง 0 = ๐ต) โ†’ 0 = ๐ต)
6261oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โˆง 0 = ๐ต) โ†’ (0 ยทe +โˆž) = (๐ต ยทe +โˆž))
6360, 62breqtrid 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โˆง 0 = ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ต ยทe +โˆž))
6457, 63jaodan 954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โˆง (0 < ๐ต โˆจ 0 = ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ต ยทe +โˆž))
6552, 64syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = 0) โ†’ 0 โ‰ค (๐ต ยทe +โˆž))
6644, 65eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) โ‰ค (๐ต ยทe +โˆž))
6766ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด = 0 โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) โ‰ค (๐ต ยทe +โˆž)))
68 pnfge 13116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (+โˆž โˆˆ โ„* โ†’ +โˆž โ‰ค +โˆž)
6933, 68ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 +โˆž โ‰ค +โˆž
7026adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
71 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ 0 < ๐ด)
72 xmulpnf1 13259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = +โˆž)
7370, 71, 72syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = +โˆž)
7430adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
75 ltletr 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต))
7623, 75mp3an1 1444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต))
7776adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ ((0 < ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต))
7845, 77mpan2d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ (0 < ๐ด โ†’ 0 < ๐ต))
7978impr 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ 0 < ๐ต)
8074, 79, 55syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ (๐ต ยทe +โˆž) = +โˆž)
8173, 80breq12d 5154 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ ((๐ด ยทe +โˆž) โ‰ค (๐ต ยทe +โˆž) โ†” +โˆž โ‰ค +โˆž))
8269, 81mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) โ‰ค (๐ต ยทe +โˆž))
8382expr 456 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ (0 < ๐ด โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) โ‰ค (๐ต ยทe +โˆž)))
8439, 67, 833jaod 1425 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด < 0 โˆจ ๐ด = 0 โˆจ 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) โ‰ค (๐ต ยทe +โˆž)))
8525, 84mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) โ‰ค (๐ต ยทe +โˆž))
86 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ถ = +โˆž โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) = (๐ด ยทe +โˆž))
87 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ถ = +โˆž โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) = (๐ต ยทe +โˆž))
8886, 87breq12d 5154 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ถ = +โˆž โ†’ ((๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ) โ†” (๐ด ยทe +โˆž) โ‰ค (๐ต ยทe +โˆž)))
8985, 88syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ถ = +โˆž โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ)))
90 nltmnf 13115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 โˆˆ โ„* โ†’ ยฌ 0 < -โˆž)
911, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ยฌ 0 < -โˆž
92 breq2 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ถ = -โˆž โ†’ (0 < ๐ถ โ†” 0 < -โˆž))
9391, 92mtbiri 327 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ถ = -โˆž โ†’ ยฌ 0 < ๐ถ)
9493con2i 139 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 < ๐ถ โ†’ ยฌ ๐ถ = -โˆž)
9594ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โ†’ ยฌ ๐ถ = -โˆž)
9695adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ ยฌ ๐ถ = -โˆž)
9796pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ถ = -โˆž โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ)))
9821, 89, 973jaod 1425 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆจ ๐ถ = +โˆž โˆจ ๐ถ = -โˆž) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ)))
997, 98mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
10099anassrs 467 . . . . . . . . 9 ((((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
101 xmulcl 13258 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
102101adantlr 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
103102ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
104 pnfge 13116 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„* โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค +โˆž)
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค +โˆž)
106 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต = +โˆž โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) = (+โˆž ยทe ๐ถ))
107 xmulpnf2 13260 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ (+โˆž ยทe ๐ถ) = +โˆž)
108107ad2ant2lr 745 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โ†’ (+โˆž ยทe ๐ถ) = +โˆž)
109106, 108sylan9eqr 2788 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) = +โˆž)
110105, 109breqtrrd 5169 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
111110adantlr 712 . . . . . . . . 9 ((((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
112 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ต = -โˆž) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
113 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ต = -โˆž) โ†’ ๐ต = -โˆž)
11426adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ต = -โˆž) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
115 mnfle 13120 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ -โˆž โ‰ค ๐ด)
116114, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ต = -โˆž) โ†’ -โˆž โ‰ค ๐ด)
117113, 116eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ต = -โˆž) โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ด)
118 xrletri3 13139 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” (๐ด โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰ค ๐ด)))
119118ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ต = -โˆž) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” (๐ด โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰ค ๐ด)))
120112, 117, 119mpbir2and 710 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ต = -โˆž) โ†’ ๐ด = ๐ต)
121120oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ต = -โˆž) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) = (๐ต ยทe ๐ถ))
122 xmulcl 13258 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
123122adantll 711 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
124123ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ต = -โˆž) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
125 xrleid 13136 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„* โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
126124, 125syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ต = -โˆž) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
127121, 126eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ต = -โˆž) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
128127adantlr 712 . . . . . . . . 9 ((((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง ๐ต = -โˆž) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
129 elxr 13102 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„* โ†” (๐ต โˆˆ โ„ โˆจ ๐ต = +โˆž โˆจ ๐ต = -โˆž))
13030, 129sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โˆจ ๐ต = +โˆž โˆจ ๐ต = -โˆž))
131130adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โˆจ ๐ต = +โˆž โˆจ ๐ต = -โˆž))
132100, 111, 128, 131mpjao3dan 1428 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
133 simplrr 775 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
13430adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
135 pnfge 13116 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต โˆˆ โ„* โ†’ ๐ต โ‰ค +โˆž)
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ ๐ต โ‰ค +โˆž)
137 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ ๐ด = +โˆž)
138136, 137breqtrrd 5169 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ด)
139118ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” (๐ด โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰ค ๐ด)))
140133, 138, 139mpbir2and 710 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ ๐ด = ๐ต)
141140oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) = (๐ต ยทe ๐ถ))
142123, 125syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
143142ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
144141, 143eqbrtrd 5163 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
145 oveq1 7412 . . . . . . . . . 10 (๐ด = -โˆž โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) = (-โˆž ยทe ๐ถ))
146 xmulmnf2 13262 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ (-โˆž ยทe ๐ถ) = -โˆž)
147146ad2ant2lr 745 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โ†’ (-โˆž ยทe ๐ถ) = -โˆž)
148145, 147sylan9eqr 2788 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด = -โˆž) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) = -โˆž)
149123ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด = -โˆž) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
150 mnfle 13120 . . . . . . . . . 10 ((๐ต ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„* โ†’ -โˆž โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
151149, 150syl 17 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด = -โˆž) โ†’ -โˆž โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
152148, 151eqbrtrd 5163 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด = -โˆž) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
153 elxr 13102 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„* โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆจ ๐ด = +โˆž โˆจ ๐ด = -โˆž))
15426, 153sylib 217 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆจ ๐ด = +โˆž โˆจ ๐ด = -โˆž))
155132, 144, 152, 154mpjao3dan 1428 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
156155exp32 420 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (0 < ๐ถ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))))
157 xmul01 13252 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (๐ด ยทe 0) = 0)
158157ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe 0) = 0)
159 xmul01 13252 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„* โ†’ (๐ต ยทe 0) = 0)
160159ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ต ยทe 0) = 0)
161158, 160breq12d 5154 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐ด ยทe 0) โ‰ค (๐ต ยทe 0) โ†” 0 โ‰ค 0))
16259, 161mpbiri 258 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe 0) โ‰ค (๐ต ยทe 0))
163 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 (0 = ๐ถ โ†’ (๐ด ยทe 0) = (๐ด ยทe ๐ถ))
164 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 (0 = ๐ถ โ†’ (๐ต ยทe 0) = (๐ต ยทe ๐ถ))
165163, 164breq12d 5154 . . . . . . . 8 (0 = ๐ถ โ†’ ((๐ด ยทe 0) โ‰ค (๐ต ยทe 0) โ†” (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ)))
166162, 165syl5ibcom 244 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (0 = ๐ถ โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ)))
167166a1dd 50 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (0 = ๐ถ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))))
168156, 167jaod 856 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ ((0 < ๐ถ โˆจ 0 = ๐ถ) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))))
1694, 168sylbid 239 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (0 โ‰ค ๐ถ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))))
170169expimpd 453 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))))
1711703impia 1114 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ)))
172171imp 406 1 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆจ w3o 1083   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  โ„cr 11111  0cc0 11112   ยท cmul 11117  +โˆžcpnf 11249  -โˆžcmnf 11250  โ„*cxr 11251   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   ยทe cxmu 13097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-xneg 13098  df-xmul 13100
This theorem is referenced by:  xlemul2a  13274  xlemul1  13275  nmoi2  24602  esumcst  33591
  Copyright terms: Public domain W3C validator