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Theorem xlemul1a 13327

Description: Extended real version of lemul1a 12119. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
xlemul1a	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ·_e 𝐶) ≤ (𝐵 ·_e 𝐶))

**Proof of Theorem xlemul1a**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11306	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ^*
2		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → 𝐶 ∈ ℝ^*)
3		xrleloe 13183	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → (0 ≤ 𝐶 ↔ (0 < 𝐶 ∨ 0 = 𝐶)))
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → (0 ≤ 𝐶 ↔ (0 < 𝐶 ∨ 0 = 𝐶)))
5		simpllr 776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ^*)
6		elxr 13156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ^* ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
7	5, 6	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
8		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
9		simprll 779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		simprlr 780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
11		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
12		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 0 < 𝐶)
13		lemul1 12117	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
14	9, 10, 11, 12, 13	syl112anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
15	8, 14	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))
16		rexmul 13310	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·_e 𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
17	9, 11, 16	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴 ·_e 𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
18		rexmul 13310	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ·_e 𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
19	10, 11, 18	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐵 ·_e 𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
20	15, 17, 19	3brtr4d 5180	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴 ·_e 𝐶) ≤ (𝐵 ·_e 𝐶))
21	20	expr 456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐶 ∈ ℝ → (𝐴 ·_e 𝐶) ≤ (𝐵 ·_e 𝐶)))
22		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
23		0re 11261	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
24		lttri4 11343	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 < 0 ∨ 𝐴 = 0 ∨ 0 < 𝐴))
25	22, 23, 24	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 < 0 ∨ 𝐴 = 0 ∨ 0 < 𝐴))
26		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
28		xmulpnf1n 13317	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·_e +∞) = -∞)
29	27, 28	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·_e +∞) = -∞)
30		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
33		pnfxr 11313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
34		xmulcl 13312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^) → (𝐵 ·_e +∞) ∈ ℝ^)
35	32, 33, 34	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐵 ·_e +∞) ∈ ℝ^*)
36		mnfle 13174	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ·_e +∞) ∈ ℝ^* → -∞ ≤ (𝐵 ·_e +∞))
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 < 0) → -∞ ≤ (𝐵 ·_e +∞))
38	29, 37	eqbrtrd 5170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·_e +∞) ≤ (𝐵 ·_e +∞))
39	38	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 < 0 → (𝐴 ·_e +∞) ≤ (𝐵 ·_e +∞)))
40		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ·_e +∞) = (0 ·_e +∞))
41		xmul02 13307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (+∞ ∈ ℝ^* → (0 ·_e +∞) = 0)
42	33, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0 ·_e +∞) = 0
43	40, 42	eqtrdi 2791	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ·_e +∞) = 0)
44	43	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 ·_e +∞) = 0)
45		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
46		breq1 5151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ 𝐵))
47	45, 46	syl5ibcom 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 = 0 → 0 ≤ 𝐵))
48		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
49		leloe 11345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
50	23, 48, 49	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
51	47, 50	sylibd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 = 0 → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
52	51	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = 0) → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))
53		pnfge 13170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0 ∈ ℝ^* → 0 ≤ +∞)
54	1, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 ≤ +∞
55		xmulpnf1 13313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 ·_e +∞) = +∞)
56	31, 55	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 ·_e +∞) = +∞)
57	54, 56	breqtrrid 5186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (𝐵 ·_e +∞))
58		xrleid 13190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (0 ∈ ℝ^* → 0 ≤ 0)
59	1, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 ≤ 0
60	59, 42	breqtrri 5175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 ≤ (0 ·_e +∞)
61		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 0 = 𝐵) → 0 = 𝐵)
62	61	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 0 = 𝐵) → (0 ·_e +∞) = (𝐵 ·_e +∞))
63	60, 62	breqtrid 5185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 0 = 𝐵) → 0 ≤ (𝐵 ·_e +∞))
64	57, 63	jaodan 959	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)) → 0 ≤ (𝐵 ·_e +∞))
65	52, 64	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = 0) → 0 ≤ (𝐵 ·_e +∞))
66	44, 65	eqbrtrd 5170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 ·_e +∞) ≤ (𝐵 ·_e +∞))
67	66	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 = 0 → (𝐴 ·_e +∞) ≤ (𝐵 ·_e +∞)))
68		pnfge 13170	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (+∞ ∈ ℝ^* → +∞ ≤ +∞)
69	33, 68	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ +∞ ≤ +∞
70	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
71		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴)) → 0 < 𝐴)
72		xmulpnf1 13313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·_e +∞) = +∞)
73	70, 71, 72	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐴 ·_e +∞) = +∞)
74	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
75		ltletr 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 0 < 𝐵))
76	23, 75	mp3an1 1447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 0 < 𝐵))
77	76	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 0 < 𝐵))
78	45, 77	mpan2d 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (0 < 𝐴 → 0 < 𝐵))
79	78	impr 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴)) → 0 < 𝐵)
80	74, 79, 55	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐵 ·_e +∞) = +∞)
81	73, 80	breq12d 5161	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐴 ·_e +∞) ≤ (𝐵 ·_e +∞) ↔ +∞ ≤ +∞))
82	69, 81	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐴 ·_e +∞) ≤ (𝐵 ·_e +∞))
83	82	expr 456	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (0 < 𝐴 → (𝐴 ·_e +∞) ≤ (𝐵 ·_e +∞)))
84	39, 67, 83	3jaod 1428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((𝐴 < 0 ∨ 𝐴 = 0 ∨ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·_e +∞) ≤ (𝐵 ·_e +∞)))
85	25, 84	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 ·_e +∞) ≤ (𝐵 ·_e +∞))
86		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 = +∞ → (𝐴 ·_e 𝐶) = (𝐴 ·_e +∞))
87		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 = +∞ → (𝐵 ·_e 𝐶) = (𝐵 ·_e +∞))
88	86, 87	breq12d 5161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 = +∞ → ((𝐴 ·_e 𝐶) ≤ (𝐵 ·_e 𝐶) ↔ (𝐴 ·_e +∞) ≤ (𝐵 ·_e +∞)))
89	85, 88	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐶 = +∞ → (𝐴 ·_e 𝐶) ≤ (𝐵 ·_e 𝐶)))
90		nltmnf 13169	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∈ ℝ^* → ¬ 0 < -∞)
91	1, 90	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ¬ 0 < -∞
92		breq2 5152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐶 = -∞ → (0 < 𝐶 ↔ 0 < -∞))
93	91, 92	mtbiri 327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐶 = -∞ → ¬ 0 < 𝐶)
94	93	con2i 139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 < 𝐶 → ¬ 𝐶 = -∞)
95	94	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → ¬ 𝐶 = -∞)
96	95	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ¬ 𝐶 = -∞)
97	96	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐶 = -∞ → (𝐴 ·_e 𝐶) ≤ (𝐵 ·_e 𝐶)))
98	21, 89, 97	3jaod 1428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·_e 𝐶) ≤ (𝐵 ·_e 𝐶)))
99	7, 98	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 ·_e 𝐶) ≤ (𝐵 ·_e 𝐶))
100	99	anassrs 467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·_e 𝐶) ≤ (𝐵 ·_e 𝐶))
101		xmulcl 13312	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → (𝐴 ·_e 𝐶) ∈ ℝ^)
102	101	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → (𝐴 ·_e 𝐶) ∈ ℝ^*)
103	102	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ·_e 𝐶) ∈ ℝ^*)
104		pnfge 13170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ·_e 𝐶) ∈ ℝ^* → (𝐴 ·_e 𝐶) ≤ +∞)
105	103, 104	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ·_e 𝐶) ≤ +∞)
106		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐵 ·_e 𝐶) = (+∞ ·_e 𝐶))
107		xmulpnf2 13314	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 0 < 𝐶) → (+∞ ·_e 𝐶) = +∞)
108	107	ad2ant2lr 748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (+∞ ·_e 𝐶) = +∞)
109	106, 108	sylan9eqr 2797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 ·_e 𝐶) = +∞)
110	105, 109	breqtrrd 5176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ·_e 𝐶) ≤ (𝐵 ·_e 𝐶))
111	110	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ·_e 𝐶) ≤ (𝐵 ·_e 𝐶))
112		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
113		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
114	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
115		mnfle 13174	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → -∞ ≤ 𝐴)
116	114, 115	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐵 = -∞) → -∞ ≤ 𝐴)
117	113, 116	eqbrtrd 5170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≤ 𝐴)
118		xrletri3 13193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
119	118	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
120	112, 117, 119	mpbir2and 713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 = 𝐵)
121	120	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 ·_e 𝐶) = (𝐵 ·_e 𝐶))
122		xmulcl 13312	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → (𝐵 ·_e 𝐶) ∈ ℝ^)
123	122	adantll 714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → (𝐵 ·_e 𝐶) ∈ ℝ^*)
124	123	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 ·_e 𝐶) ∈ ℝ^*)
125		xrleid 13190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ·_e 𝐶) ∈ ℝ^* → (𝐵 ·_e 𝐶) ≤ (𝐵 ·_e 𝐶))
126	124, 125	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 ·_e 𝐶) ≤ (𝐵 ·_e 𝐶))
127	121, 126	eqbrtrd 5170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 ·_e 𝐶) ≤ (𝐵 ·_e 𝐶))
128	127	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 ·_e 𝐶) ≤ (𝐵 ·_e 𝐶))
129		elxr 13156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
130	30, 129	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
131	130	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
132	100, 111, 128, 131	mpjao3dan 1431	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ·_e 𝐶) ≤ (𝐵 ·_e 𝐶))
133		simplrr 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
134	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
135		pnfge 13170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → 𝐵 ≤ +∞)
136	134, 135	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ≤ +∞)
137		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
138	136, 137	breqtrrd 5176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ≤ 𝐴)
139	118	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
140	133, 138, 139	mpbir2and 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = 𝐵)
141	140	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 ·_e 𝐶) = (𝐵 ·_e 𝐶))
142	123, 125	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → (𝐵 ·_e 𝐶) ≤ (𝐵 ·_e 𝐶))
143	142	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 ·_e 𝐶) ≤ (𝐵 ·_e 𝐶))
144	141, 143	eqbrtrd 5170	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 ·_e 𝐶) ≤ (𝐵 ·_e 𝐶))
145		oveq1 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ·_e 𝐶) = (-∞ ·_e 𝐶))
146		xmulmnf2 13316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 0 < 𝐶) → (-∞ ·_e 𝐶) = -∞)
147	146	ad2ant2lr 748	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (-∞ ·_e 𝐶) = -∞)
148	145, 147	sylan9eqr 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 ·_e 𝐶) = -∞)
149	123	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐵 ·_e 𝐶) ∈ ℝ^*)
150		mnfle 13174	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ·_e 𝐶) ∈ ℝ^* → -∞ ≤ (𝐵 ·_e 𝐶))
151	149, 150	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐴 = -∞) → -∞ ≤ (𝐵 ·_e 𝐶))
152	148, 151	eqbrtrd 5170	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 ·_e 𝐶) ≤ (𝐵 ·_e 𝐶))
153		elxr 13156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
154	26, 153	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
155	132, 144, 152, 154	mpjao3dan 1431	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (0 < 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴 ·_e 𝐶) ≤ (𝐵 ·_e 𝐶))
156	155	exp32 420	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → (0 < 𝐶 → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 ·_e 𝐶) ≤ (𝐵 ·_e 𝐶))))
157		xmul01 13306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → (𝐴 ·_e 0) = 0)
158	157	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → (𝐴 ·_e 0) = 0)
159		xmul01 13306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝐵 ·_e 0) = 0)
160	159	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → (𝐵 ·_e 0) = 0)
161	158, 160	breq12d 5161	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → ((𝐴 ·_e 0) ≤ (𝐵 ·_e 0) ↔ 0 ≤ 0))
162	59, 161	mpbiri 258	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → (𝐴 ·_e 0) ≤ (𝐵 ·_e 0))
163		oveq2 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 = 𝐶 → (𝐴 ·_e 0) = (𝐴 ·_e 𝐶))
164		oveq2 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 = 𝐶 → (𝐵 ·_e 0) = (𝐵 ·_e 𝐶))
165	163, 164	breq12d 5161	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = 𝐶 → ((𝐴 ·_e 0) ≤ (𝐵 ·_e 0) ↔ (𝐴 ·_e 𝐶) ≤ (𝐵 ·_e 𝐶)))
166	162, 165	syl5ibcom 245	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → (0 = 𝐶 → (𝐴 ·_e 𝐶) ≤ (𝐵 ·_e 𝐶)))
167	166	a1dd 50	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → (0 = 𝐶 → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 ·_e 𝐶) ≤ (𝐵 ·_e 𝐶))))
168	156, 167	jaod 859	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → ((0 < 𝐶 ∨ 0 = 𝐶) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 ·_e 𝐶) ≤ (𝐵 ·_e 𝐶))))
169	4, 168	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → (0 ≤ 𝐶 → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 ·_e 𝐶) ≤ (𝐵 ·_e 𝐶))))
170	169	expimpd 453	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → ((𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 0 ≤ 𝐶) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 ·_e 𝐶) ≤ (𝐵 ·_e 𝐶))))
171	170	3impia 1116	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 ·_e 𝐶) ≤ (𝐵 ·_e 𝐶)))
172	171	imp 406	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ·_e 𝐶) ≤ (𝐵 ·_e 𝐶))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 ∨ w3o 1085 ∧ w3a 1086 = wceq 1537 ∈ wcel 2106 class class class wbr 5148 (class class class)co 7431 ℝcr 11152 0cc0 11153 · cmul 11158 +∞cpnf 11290 -∞cmnf 11291 ℝ^*cxr 11292 < clt 11293 ≤ cle 11294 ·_e cxmu 13151

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1792 ax-4 1806 ax-5 1908 ax-6 1965 ax-7 2005 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2139 ax-11 2155 ax-12 2175 ax-ext 2706 ax-sep 5302 ax-nul 5312 ax-pow 5371 ax-pr 5438 ax-un 7754 ax-cnex 11209 ax-resscn 11210 ax-1cn 11211 ax-icn 11212 ax-addcl 11213 ax-addrcl 11214 ax-mulcl 11215 ax-mulrcl 11216 ax-mulcom 11217 ax-addass 11218 ax-mulass 11219 ax-distr 11220 ax-i2m1 11221 ax-1ne0 11222 ax-1rid 11223 ax-rnegex 11224 ax-rrecex 11225 ax-cnre 11226 ax-pre-lttri 11227 ax-pre-lttrn 11228 ax-pre-ltadd 11229 ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1777 df-nf 1781 df-sb 2063 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2713 df-cleq 2727 df-clel 2814 df-nfc 2890 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-reu 3379 df-rab 3434 df-v 3480 df-sbc 3792 df-csb 3909 df-dif 3966 df-un 3968 df-in 3970 df-ss 3980 df-nul 4340 df-if 4532 df-pw 4607 df-sn 4632 df-pr 4634 df-op 4638 df-uni 4913 df-iun 4998 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-id 5583 df-po 5597 df-so 5598 df-xp 5695 df-rel 5696 df-cnv 5697 df-co 5698 df-dm 5699 df-rn 5700 df-res 5701 df-ima 5702 df-iota 6516 df-fun 6565 df-fn 6566 df-f 6567 df-f1 6568 df-fo 6569 df-f1o 6570 df-fv 6571 df-riota 7388 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-1st 8013 df-2nd 8014 df-er 8744 df-en 8985 df-dom 8986 df-sdom 8987 df-pnf 11295 df-mnf 11296 df-xr 11297 df-ltxr 11298 df-le 11299 df-sub 11492 df-neg 11493 df-xneg 13152 df-xmul 13154

This theorem is referenced by: xlemul2a 13328 xlemul1 13329 nmoi2 24767 esumcst 34044

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