MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xlemul1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlemul1a 13213
Description: Extended real version of lemul1a 12014. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xlemul1a (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))

Proof of Theorem xlemul1a
StepHypRef Expression
1 0xr 11207 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„*
2 simpr 486 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„*)
3 xrleloe 13069 . . . . . 6 ((0 โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (0 โ‰ค ๐ถ โ†” (0 < ๐ถ โˆจ 0 = ๐ถ)))
41, 2, 3sylancr 588 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (0 โ‰ค ๐ถ โ†” (0 < ๐ถ โˆจ 0 = ๐ถ)))
5 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„*)
6 elxr 13042 . . . . . . . . . . . 12 (๐ถ โˆˆ โ„* โ†” (๐ถ โˆˆ โ„ โˆจ ๐ถ = +โˆž โˆจ ๐ถ = -โˆž))
75, 6sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โˆจ ๐ถ = +โˆž โˆจ ๐ถ = -โˆž))
8 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
9 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
10 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
11 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
12 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ 0 < ๐ถ)
13 lemul1 12012 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ)))
149, 10, 11, 12, 13syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ)))
158, 14mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))
16 rexmul 13196 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) = (๐ด ยท ๐ถ))
179, 11, 16syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) = (๐ด ยท ๐ถ))
18 rexmul 13196 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ))
1910, 11, 18syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ))
2015, 17, 193brtr4d 5138 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
2120expr 458 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ)))
22 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
23 0re 11162 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 โˆˆ โ„
24 lttri4 11244 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < 0 โˆจ ๐ด = 0 โˆจ 0 < ๐ด))
2522, 23, 24sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด < 0 โˆจ ๐ด = 0 โˆจ 0 < ๐ด))
26 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
2726adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
28 xmulpnf1n 13203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = -โˆž)
2927, 28sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = -โˆž)
30 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
3130adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
3231adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
33 pnfxr 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 +โˆž โˆˆ โ„*
34 xmulcl 13198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง +โˆž โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ต ยทe +โˆž) โˆˆ โ„*)
3532, 33, 34sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ต ยทe +โˆž) โˆˆ โ„*)
36 mnfle 13060 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ต ยทe +โˆž) โˆˆ โ„* โ†’ -โˆž โ‰ค (๐ต ยทe +โˆž))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด < 0) โ†’ -โˆž โ‰ค (๐ต ยทe +โˆž))
3829, 37eqbrtrd 5128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) โ‰ค (๐ต ยทe +โˆž))
3938ex 414 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด < 0 โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) โ‰ค (๐ต ยทe +โˆž)))
40 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ด = 0 โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = (0 ยทe +โˆž))
41 xmul02 13193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (+โˆž โˆˆ โ„* โ†’ (0 ยทe +โˆž) = 0)
4233, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 ยทe +โˆž) = 0
4340, 42eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ด = 0 โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = 0)
4443adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = 0)
45 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
46 breq1 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐ด = 0 โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” 0 โ‰ค ๐ต))
4745, 46syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด = 0 โ†’ 0 โ‰ค ๐ต))
48 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
49 leloe 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” (0 < ๐ต โˆจ 0 = ๐ต)))
5023, 48, 49sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” (0 < ๐ต โˆจ 0 = ๐ต)))
5147, 50sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด = 0 โ†’ (0 < ๐ต โˆจ 0 = ๐ต)))
5251imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (0 < ๐ต โˆจ 0 = ๐ต))
53 pnfge 13056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 โˆˆ โ„* โ†’ 0 โ‰ค +โˆž)
541, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 โ‰ค +โˆž
55 xmulpnf1 13199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (๐ต ยทe +โˆž) = +โˆž)
5631, 55sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (๐ต ยทe +โˆž) = +โˆž)
5754, 56breqtrrid 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ต ยทe +โˆž))
58 xrleid 13076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0 โˆˆ โ„* โ†’ 0 โ‰ค 0)
591, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 โ‰ค 0
6059, 42breqtrri 5133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 โ‰ค (0 ยทe +โˆž)
61 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โˆง 0 = ๐ต) โ†’ 0 = ๐ต)
6261oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โˆง 0 = ๐ต) โ†’ (0 ยทe +โˆž) = (๐ต ยทe +โˆž))
6360, 62breqtrid 5143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โˆง 0 = ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ต ยทe +โˆž))
6457, 63jaodan 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โˆง (0 < ๐ต โˆจ 0 = ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ต ยทe +โˆž))
6552, 64syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = 0) โ†’ 0 โ‰ค (๐ต ยทe +โˆž))
6644, 65eqbrtrd 5128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) โ‰ค (๐ต ยทe +โˆž))
6766ex 414 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด = 0 โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) โ‰ค (๐ต ยทe +โˆž)))
68 pnfge 13056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (+โˆž โˆˆ โ„* โ†’ +โˆž โ‰ค +โˆž)
6933, 68ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 +โˆž โ‰ค +โˆž
7026adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
71 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ 0 < ๐ด)
72 xmulpnf1 13199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = +โˆž)
7370, 71, 72syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = +โˆž)
7430adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
75 ltletr 11252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต))
7623, 75mp3an1 1449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต))
7776adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ ((0 < ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต))
7845, 77mpan2d 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ (0 < ๐ด โ†’ 0 < ๐ต))
7978impr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ 0 < ๐ต)
8074, 79, 55syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ (๐ต ยทe +โˆž) = +โˆž)
8173, 80breq12d 5119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ ((๐ด ยทe +โˆž) โ‰ค (๐ต ยทe +โˆž) โ†” +โˆž โ‰ค +โˆž))
8269, 81mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) โ‰ค (๐ต ยทe +โˆž))
8382expr 458 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ (0 < ๐ด โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) โ‰ค (๐ต ยทe +โˆž)))
8439, 67, 833jaod 1429 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด < 0 โˆจ ๐ด = 0 โˆจ 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) โ‰ค (๐ต ยทe +โˆž)))
8525, 84mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) โ‰ค (๐ต ยทe +โˆž))
86 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ถ = +โˆž โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) = (๐ด ยทe +โˆž))
87 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ถ = +โˆž โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) = (๐ต ยทe +โˆž))
8886, 87breq12d 5119 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ถ = +โˆž โ†’ ((๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ) โ†” (๐ด ยทe +โˆž) โ‰ค (๐ต ยทe +โˆž)))
8985, 88syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ถ = +โˆž โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ)))
90 nltmnf 13055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 โˆˆ โ„* โ†’ ยฌ 0 < -โˆž)
911, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ยฌ 0 < -โˆž
92 breq2 5110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ถ = -โˆž โ†’ (0 < ๐ถ โ†” 0 < -โˆž))
9391, 92mtbiri 327 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ถ = -โˆž โ†’ ยฌ 0 < ๐ถ)
9493con2i 139 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 < ๐ถ โ†’ ยฌ ๐ถ = -โˆž)
9594ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โ†’ ยฌ ๐ถ = -โˆž)
9695adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ ยฌ ๐ถ = -โˆž)
9796pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ถ = -โˆž โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ)))
9821, 89, 973jaod 1429 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆจ ๐ถ = +โˆž โˆจ ๐ถ = -โˆž) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ)))
997, 98mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
10099anassrs 469 . . . . . . . . 9 ((((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
101 xmulcl 13198 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
102101adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
103102ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
104 pnfge 13056 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„* โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค +โˆž)
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค +โˆž)
106 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต = +โˆž โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) = (+โˆž ยทe ๐ถ))
107 xmulpnf2 13200 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ (+โˆž ยทe ๐ถ) = +โˆž)
108107ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โ†’ (+โˆž ยทe ๐ถ) = +โˆž)
109106, 108sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) = +โˆž)
110105, 109breqtrrd 5134 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
111110adantlr 714 . . . . . . . . 9 ((((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
112 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ต = -โˆž) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
113 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ต = -โˆž) โ†’ ๐ต = -โˆž)
11426adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ต = -โˆž) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
115 mnfle 13060 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ -โˆž โ‰ค ๐ด)
116114, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ต = -โˆž) โ†’ -โˆž โ‰ค ๐ด)
117113, 116eqbrtrd 5128 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ต = -โˆž) โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ด)
118 xrletri3 13079 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” (๐ด โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰ค ๐ด)))
119118ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ต = -โˆž) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” (๐ด โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰ค ๐ด)))
120112, 117, 119mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ต = -โˆž) โ†’ ๐ด = ๐ต)
121120oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ต = -โˆž) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) = (๐ต ยทe ๐ถ))
122 xmulcl 13198 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
123122adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
124123ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ต = -โˆž) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
125 xrleid 13076 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„* โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
126124, 125syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ต = -โˆž) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
127121, 126eqbrtrd 5128 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ต = -โˆž) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
128127adantlr 714 . . . . . . . . 9 ((((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง ๐ต = -โˆž) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
129 elxr 13042 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„* โ†” (๐ต โˆˆ โ„ โˆจ ๐ต = +โˆž โˆจ ๐ต = -โˆž))
13030, 129sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โˆจ ๐ต = +โˆž โˆจ ๐ต = -โˆž))
131130adantr 482 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โˆจ ๐ต = +โˆž โˆจ ๐ต = -โˆž))
132100, 111, 128, 131mpjao3dan 1432 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
133 simplrr 777 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
13430adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
135 pnfge 13056 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต โˆˆ โ„* โ†’ ๐ต โ‰ค +โˆž)
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ ๐ต โ‰ค +โˆž)
137 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ ๐ด = +โˆž)
138136, 137breqtrrd 5134 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ด)
139118ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” (๐ด โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰ค ๐ด)))
140133, 138, 139mpbir2and 712 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ ๐ด = ๐ต)
141140oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) = (๐ต ยทe ๐ถ))
142123, 125syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
143142ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
144141, 143eqbrtrd 5128 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
145 oveq1 7365 . . . . . . . . . 10 (๐ด = -โˆž โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) = (-โˆž ยทe ๐ถ))
146 xmulmnf2 13202 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ (-โˆž ยทe ๐ถ) = -โˆž)
147146ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โ†’ (-โˆž ยทe ๐ถ) = -โˆž)
148145, 147sylan9eqr 2795 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด = -โˆž) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) = -โˆž)
149123ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด = -โˆž) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
150 mnfle 13060 . . . . . . . . . 10 ((๐ต ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„* โ†’ -โˆž โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
151149, 150syl 17 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด = -โˆž) โ†’ -โˆž โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
152148, 151eqbrtrd 5128 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐ด = -โˆž) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
153 elxr 13042 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„* โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆจ ๐ด = +โˆž โˆจ ๐ด = -โˆž))
15426, 153sylib 217 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆจ ๐ด = +โˆž โˆจ ๐ด = -โˆž))
155132, 144, 152, 154mpjao3dan 1432 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
156155exp32 422 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (0 < ๐ถ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))))
157 xmul01 13192 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (๐ด ยทe 0) = 0)
158157ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe 0) = 0)
159 xmul01 13192 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„* โ†’ (๐ต ยทe 0) = 0)
160159ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ต ยทe 0) = 0)
161158, 160breq12d 5119 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐ด ยทe 0) โ‰ค (๐ต ยทe 0) โ†” 0 โ‰ค 0))
16259, 161mpbiri 258 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe 0) โ‰ค (๐ต ยทe 0))
163 oveq2 7366 . . . . . . . . 9 (0 = ๐ถ โ†’ (๐ด ยทe 0) = (๐ด ยทe ๐ถ))
164 oveq2 7366 . . . . . . . . 9 (0 = ๐ถ โ†’ (๐ต ยทe 0) = (๐ต ยทe ๐ถ))
165163, 164breq12d 5119 . . . . . . . 8 (0 = ๐ถ โ†’ ((๐ด ยทe 0) โ‰ค (๐ต ยทe 0) โ†” (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ)))
166162, 165syl5ibcom 244 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (0 = ๐ถ โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ)))
167166a1dd 50 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (0 = ๐ถ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))))
168156, 167jaod 858 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ ((0 < ๐ถ โˆจ 0 = ๐ถ) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))))
1694, 168sylbid 239 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (0 โ‰ค ๐ถ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))))
170169expimpd 455 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))))
1711703impia 1118 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ)))
172171imp 408 1 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆจ w3o 1087   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  โ„cr 11055  0cc0 11056   ยท cmul 11061  +โˆžcpnf 11191  -โˆžcmnf 11192  โ„*cxr 11193   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   ยทe cxmu 13037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-xneg 13038  df-xmul 13040
This theorem is referenced by:  xlemul2a  13214  xlemul1  13215  nmoi2  24110  esumcst  32719
  Copyright terms: Public domain W3C validator