Theorem mul01 11440

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 15-May-1999.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mul01	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)

Proof of Theorem mul01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11253	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		mulcom 11241	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐴 · 0) = (0 · 𝐴))
3	1, 2	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = (0 · 𝐴))
4		mul02 11439	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
5	3, 4	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155   · cmul 11160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300

This theorem is referenced by:  addrid  11441  cnegex  11442  mul01i  11451  mul01d  11460  bernneq  14268  bcval5  14357  geo2lim  15911  efexp  16137  plymul0or  26322  fta1lem  26349  1cxp  26714  cxpmul2  26731  efrlim  27012  efrlimOLD  27013  lgsne0  27379  vcz  30594  blocnilem  30823  hvmul0  31043  ocsh  31302  0lnfn  32004  nlelshi  32079  0even  48153  2zrngamgm  48161