MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul01 11341
Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 15-May-1999.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
mul01 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)

Proof of Theorem mul01
StepHypRef Expression
1 0cn 11154 . . 3 0 โˆˆ โ„‚
2 mulcom 11144 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท 0) = (0 ยท ๐ด))
31, 2mpan2 690 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท 0) = (0 ยท ๐ด))
4 mul02 11340 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0)
53, 4eqtrd 2777 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058   ยท cmul 11063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-ltxr 11201
This theorem is referenced by:  addid1  11342  cnegex  11343  mul01i  11352  mul01d  11361  bernneq  14139  bcval5  14225  geo2lim  15767  efexp  15990  plymul0or  25657  fta1lem  25683  1cxp  26043  cxpmul2  26060  efrlim  26335  lgsne0  26699  vcz  29559  blocnilem  29788  hvmul0  30008  ocsh  30267  0lnfn  30969  nlelshi  31044  0even  46303  2zrngamgm  46311
  Copyright terms: Public domain W3C validator