Theorem mul01 11390

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 15-May-1999.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mul01	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)

Proof of Theorem mul01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11199	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		mulcom 11187	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐴 · 0) = (0 · 𝐴))
3	1, 2	mpan2 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = (0 · 𝐴))
4		mul02 11389	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
5	3, 4	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  0cc0 11101   · cmul 11106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249

This theorem is referenced by:  addrid  11391  cnegex  11392  mul01i  11401  mul01d  11410  bernneq  14267  bcval5  14356  geo2lim  15931  efexp  16158  plymul0or  26420  fta1lem  26449  1cxp  26815  cxpmul2  26832  efrlim  27112  lgsne0  27477  vcz  30905  blocnilem  31134  hvmul0  31354  ocsh  31613  0lnfn  32315  nlelshi  32390  0even  48979  2zrngamgm  48987