Theorem xmul02 13320

Description: Extended real version of mul02 11412. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmul02	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐴) = 0)

Proof of Theorem xmul02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11280	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		xmulcom 13318	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (0 ·e 𝐴) = (𝐴 ·e 0))
3	1, 2	mpan 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐴) = (𝐴 ·e 0))
4		xmul01 13319	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 0) = 0)
5	3, 4	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐴) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  0cc0 11124  ℝ^*cxr 11266   ·_e cxmu 13162

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulcom 11188  ax-i2m1 11192  ax-rnegex 11195  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-xmul 13165

This theorem is used by:  xmulge0  13336  xmulass  13339  xlemul1a  13340  xadddi  13347  hashxpe  33278  xrsmulgzz  33449  xrge0adddir  33458  xrge0slmod  33788  esummulc1  34591