MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmul02 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmul02 12653
Description: Extended real version of mul02 10810. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmul02 (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐴) = 0)

Proof of Theorem xmul02
StepHypRef Expression
1 0xr 10680 . . 3 0 ∈ ℝ*
2 xmulcom 12651 . . 3 ((0 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (0 ·e 𝐴) = (𝐴 ·e 0))
31, 2mpan 688 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐴) = (𝐴 ·e 0))
4 xmul01 12652 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 0) = 0)
53, 4eqtrd 2854 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  (class class class)co 7148  0cc0 10529  *cxr 10666   ·e cxmu 12498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulcom 10593  ax-i2m1 10597  ax-rnegex 10600  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-xmul 12501
This theorem is referenced by:  xmulge0  12669  xmulass  12672  xlemul1a  12673  xadddi  12680  hashxpe  30521  xrsmulgzz  30658  xrge0adddir  30672  xrge0slmod  30910  esummulc1  31328
  Copyright terms: Public domain W3C validator