Theorem xmul02 13211

Description: Extended real version of mul02 11315. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmul02	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐴) = 0)

Proof of Theorem xmul02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11183	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		xmulcom 13209	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (0 ·e 𝐴) = (𝐴 ·e 0))
3	1, 2	mpan 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐴) = (𝐴 ·e 0))
4		xmul01 13210	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 0) = 0)
5	3, 4	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  0cc0 11029  ℝ^*cxr 11169   ·_e cxmu 13053

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulcom 11093  ax-i2m1 11097  ax-rnegex 11100  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-xmul 13056

This theorem is referenced by:  xmulge0  13227  xmulass  13230  xlemul1a  13231  xadddi  13238  hashxpe  32895  xrsmulgzz  33084  xrge0adddir  33093  xrge0slmod  33423  esummulc1  34241