Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmod1zr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lmod1zr 47262
Description: The (smallest) structure representing a zero module over a zero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lmod1zr.r 𝑅 = {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩}
lmod1zr.m 𝑀 = ({⟨(Baseβ€˜ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩})
Assertion
Ref Expression
lmod1zr ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ π‘Š) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
Proof of Theorem lmod1zr
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑖 𝑝 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmod1zr.m . . 3 𝑀 = ({⟨(Baseβ€˜ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩})
2 elsni 4645 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ {βŸ¨π‘, 𝐼⟩} β†’ 𝑝 = βŸ¨π‘, 𝐼⟩)
3 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = βŸ¨π‘, 𝐼⟩ β†’ (2nd β€˜π‘) = (2nd β€˜βŸ¨π‘, 𝐼⟩))
43adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ π‘Š) ∧ 𝑝 = βŸ¨π‘, 𝐼⟩) β†’ (2nd β€˜π‘) = (2nd β€˜βŸ¨π‘, 𝐼⟩))
5 op2ndg 7991 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑍 ∈ π‘Š ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (2nd β€˜βŸ¨π‘, 𝐼⟩) = 𝐼)
65ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ π‘Š) β†’ (2nd β€˜βŸ¨π‘, 𝐼⟩) = 𝐼)
7 snidg 4662 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐼 ∈ {𝐼})
87adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ π‘Š) β†’ 𝐼 ∈ {𝐼})
96, 8eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ π‘Š) β†’ (2nd β€˜βŸ¨π‘, 𝐼⟩) ∈ {𝐼})
109adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ π‘Š) ∧ 𝑝 = βŸ¨π‘, 𝐼⟩) β†’ (2nd β€˜βŸ¨π‘, 𝐼⟩) ∈ {𝐼})
114, 10eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ π‘Š) ∧ 𝑝 = βŸ¨π‘, 𝐼⟩) β†’ (2nd β€˜π‘) ∈ {𝐼})
122, 11sylan2 592 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ π‘Š) ∧ 𝑝 ∈ {βŸ¨π‘, 𝐼⟩}) β†’ (2nd β€˜π‘) ∈ {𝐼})
1312fmpttd 7116 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ π‘Š) β†’ (𝑝 ∈ {βŸ¨π‘, 𝐼⟩} ↦ (2nd β€˜π‘)):{βŸ¨π‘, 𝐼⟩}⟢{𝐼})
14 opex 5464 . . . . . . . . . 10 βŸ¨π‘, 𝐼⟩ ∈ V
15 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ π‘Š) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
16 fsng 7137 . . . . . . . . . 10 ((βŸ¨π‘, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑝 ∈ {βŸ¨π‘, 𝐼⟩} ↦ (2nd β€˜π‘)):{βŸ¨π‘, 𝐼⟩}⟢{𝐼} ↔ (𝑝 ∈ {βŸ¨π‘, 𝐼⟩} ↦ (2nd β€˜π‘)) = {βŸ¨βŸ¨π‘, 𝐼⟩, 𝐼⟩}))
1714, 15, 16sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ π‘Š) β†’ ((𝑝 ∈ {βŸ¨π‘, 𝐼⟩} ↦ (2nd β€˜π‘)):{βŸ¨π‘, 𝐼⟩}⟢{𝐼} ↔ (𝑝 ∈ {βŸ¨π‘, 𝐼⟩} ↦ (2nd β€˜π‘)) = {βŸ¨βŸ¨π‘, 𝐼⟩, 𝐼⟩}))
1813, 17mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ π‘Š) β†’ (𝑝 ∈ {βŸ¨π‘, 𝐼⟩} ↦ (2nd β€˜π‘)) = {βŸ¨βŸ¨π‘, 𝐼⟩, 𝐼⟩})
19 xpsng 7139 . . . . . . . . . . 11 ((𝑍 ∈ π‘Š ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ ({𝑍} Γ— {𝐼}) = {βŸ¨π‘, 𝐼⟩})
2019ancoms 458 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ π‘Š) β†’ ({𝑍} Γ— {𝐼}) = {βŸ¨π‘, 𝐼⟩})
2120eqcomd 2737 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ π‘Š) β†’ {βŸ¨π‘, 𝐼⟩} = ({𝑍} Γ— {𝐼}))
2221mpteq1d 5243 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ π‘Š) β†’ (𝑝 ∈ {βŸ¨π‘, 𝐼⟩} ↦ (2nd β€˜π‘)) = (𝑝 ∈ ({𝑍} Γ— {𝐼}) ↦ (2nd β€˜π‘)))
2318, 22eqtr3d 2773 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ π‘Š) β†’ {βŸ¨βŸ¨π‘, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (𝑝 ∈ ({𝑍} Γ— {𝐼}) ↦ (2nd β€˜π‘)))
24 vex 3477 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
25 vex 3477 . . . . . . . . . 10 𝑖 ∈ V
2624, 25op2ndd 7989 . . . . . . . . 9 (𝑝 = βŸ¨π‘§, π‘–βŸ© β†’ (2nd β€˜π‘) = 𝑖)
2726mpompt 7525 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ({𝑍} Γ— {𝐼}) ↦ (2nd β€˜π‘)) = (𝑧 ∈ {𝑍}, 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)
2827a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ π‘Š) β†’ (𝑝 ∈ ({𝑍} Γ— {𝐼}) ↦ (2nd β€˜π‘)) = (𝑧 ∈ {𝑍}, 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖))
29 snex 5431 . . . . . . . . 9 {𝑍} ∈ V
30 lmod1zr.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩}
3130rngbase 17249 . . . . . . . . 9 ({𝑍} ∈ V β†’ {𝑍} = (Baseβ€˜π‘…))
3229, 31mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ π‘Š) β†’ {𝑍} = (Baseβ€˜π‘…))
33 eqidd 2732 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ π‘Š) β†’ {𝐼} = {𝐼})
34 mpoeq12 7485 . . . . . . . 8 (({𝑍} = (Baseβ€˜π‘…) ∧ {𝐼} = {𝐼}) β†’ (𝑧 ∈ {𝑍}, 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖) = (𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖))
3532, 33, 34syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ π‘Š) β†’ (𝑧 ∈ {𝑍}, 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖) = (𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖))
3623, 28, 353eqtrd 2775 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ π‘Š) β†’ {βŸ¨βŸ¨π‘, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖))
3736opeq2d 4880 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ π‘Š) β†’ ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩ = ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩)
3837sneqd 4640 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ π‘Š) β†’ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩} = {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩})
3938uneq2d 4163 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ π‘Š) β†’ ({⟨(Baseβ€˜ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}) = ({⟨(Baseβ€˜ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}))
401, 39eqtrid 2783 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ π‘Š) β†’ 𝑀 = ({⟨(Baseβ€˜ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}))
4130ring1 20199 . . 3 (𝑍 ∈ π‘Š β†’ 𝑅 ∈ Ring)
42 eqidd 2732 . . . . . . . 8 (𝑧 = π‘Ž β†’ 𝑖 = 𝑖)
43 id 22 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑏 β†’ 𝑖 = 𝑏)
4442, 43cbvmpov 7507 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖) = (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑏 ∈ {𝐼} ↦ 𝑏)
4544opeq2i 4877 . . . . . 6 ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩ = ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑏 ∈ {𝐼} ↦ 𝑏)⟩
4645sneqi 4639 . . . . 5 {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩} = {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑏 ∈ {𝐼} ↦ 𝑏)⟩}
4746uneq2i 4160 . . . 4 ({⟨(Baseβ€˜ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}) = ({⟨(Baseβ€˜ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑏 ∈ {𝐼} ↦ 𝑏)⟩})
4847lmod1 47261 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ ({⟨(Baseβ€˜ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}) ∈ LMod)
4941, 48sylan2 592 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ π‘Š) β†’ ({⟨(Baseβ€˜ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}) ∈ LMod)
5040, 49eqeltrd 2832 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ π‘Š) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   βˆͺ cun 3946  {csn 4628  {ctp 4632  βŸ¨cop 4634   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543   ∈ cmpo 7414  2nd c2nd 7977  ndxcnx 17131  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  .rcmulr 17203  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  Ringcrg 20128  LModclmod 20615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-mgp 20030  df-ur 20077  df-ring 20130  df-lmod 20617
This theorem is referenced by:  lmodn0  47264  lvecpsslmod  47276
  Copyright terms: Public domain W3C validator