Theorem lmod1zr 48486

Description: The (smallest) structure representing a zero module over a zero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmod1zr.r	⊢ 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
lmod1zr.m	⊢ 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩})

Assertion

Ref	Expression
lmod1zr	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmod1zr

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 𝑝 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmod1zr.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩})
2		elsni 4609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} → 𝑝 = ⟨𝑍, 𝐼⟩)
3		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑍, 𝐼⟩ → (2nd ‘𝑝) = (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩))
4	3	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑝 = ⟨𝑍, 𝐼⟩) → (2nd ‘𝑝) = (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩))
5		op2ndg 7984	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩) = 𝐼)
6	5	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩) = 𝐼)
7		snidg 4627	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ {𝐼})
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ {𝐼})
9	6, 8	eqeltrd 2829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩) ∈ {𝐼})
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑝 = ⟨𝑍, 𝐼⟩) → (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩) ∈ {𝐼})
11	4, 10	eqeltrd 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑝 = ⟨𝑍, 𝐼⟩) → (2nd ‘𝑝) ∈ {𝐼})
12	2, 11	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩}) → (2nd ‘𝑝) ∈ {𝐼})
13	12	fmpttd 7090	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝)):{⟨𝑍, 𝐼⟩}⟶{𝐼})
14		opex 5427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨𝑍, 𝐼⟩ ∈ V
15		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ 𝑉)
16		fsng 7112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨𝑍, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝)):{⟨𝑍, 𝐼⟩}⟶{𝐼} ↔ (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝)) = {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}))
17	14, 15, 16	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝)):{⟨𝑍, 𝐼⟩}⟶{𝐼} ↔ (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝)) = {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}))
18	13, 17	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝)) = {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩})
19		xpsng 7114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ({𝑍} × {𝐼}) = {⟨𝑍, 𝐼⟩})
20	19	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ({𝑍} × {𝐼}) = {⟨𝑍, 𝐼⟩})
21	20	eqcomd 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {⟨𝑍, 𝐼⟩} = ({𝑍} × {𝐼}))
22	21	mpteq1d 5200	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝)) = (𝑝 ∈ ({𝑍} × {𝐼}) ↦ (2nd ‘𝑝)))
23	18, 22	eqtr3d 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (𝑝 ∈ ({𝑍} × {𝐼}) ↦ (2nd ‘𝑝)))
24		vex 3454	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
25		vex 3454	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑖 ∈ V
26	24, 25	op2ndd 7982	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑧, 𝑖⟩ → (2nd ‘𝑝) = 𝑖)
27	26	mpompt 7506	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ({𝑍} × {𝐼}) ↦ (2nd ‘𝑝)) = (𝑧 ∈ {𝑍}, 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑝 ∈ ({𝑍} × {𝐼}) ↦ (2nd ‘𝑝)) = (𝑧 ∈ {𝑍}, 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖))
29		snex 5394	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑍} ∈ V
30		lmod1zr.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
31	30	rngbase 17269	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑍} ∈ V → {𝑍} = (Base‘𝑅))
32	29, 31	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝑍} = (Base‘𝑅))
33		eqidd 2731	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝐼} = {𝐼})
34		mpoeq12 7465	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑍} = (Base‘𝑅) ∧ {𝐼} = {𝐼}) → (𝑧 ∈ {𝑍}, 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖) = (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖))
35	32, 33, 34	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑧 ∈ {𝑍}, 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖) = (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖))
36	23, 28, 35	3eqtrd 2769	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖))
37	36	opeq2d 4847	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩ = ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩)
38	37	sneqd 4604	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩} = {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩})
39	38	uneq2d 4134	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}))
40	1, 39	eqtrid 2777	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}))
41	30	ring1 20226	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑊 → 𝑅 ∈ Ring)
42		eqidd 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → 𝑖 = 𝑖)
43		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑏 → 𝑖 = 𝑏)
44	42, 43	cbvmpov 7487	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖) = (𝑎 ∈ (Base‘𝑅), 𝑏 ∈ {𝐼} ↦ 𝑏)
45	44	opeq2i 4844	. . . . . 6 ⊢ ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩ = ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑎 ∈ (Base‘𝑅), 𝑏 ∈ {𝐼} ↦ 𝑏)⟩
46	45	sneqi 4603	. . . . 5 ⊢ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩} = {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑎 ∈ (Base‘𝑅), 𝑏 ∈ {𝐼} ↦ 𝑏)⟩}
47	46	uneq2i 4131	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑎 ∈ (Base‘𝑅), 𝑏 ∈ {𝐼} ↦ 𝑏)⟩})
48	47	lmod1 48485	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}) ∈ LMod)
49	41, 48	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}) ∈ LMod)
50	40, 49	eqeltrd 2829	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ∪ cun 3915  {csn 4592  {ctp 4596  ⟨cop 4598   ↦ cmpt 5191   × cxp 5639  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514   ∈ cmpo 7392  2^nd c2nd 7970  ndxcnx 17170  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  ._rcmulr 17228  Scalarcsca 17230   ·_𝑠 cvsca 17231  Ringcrg 20149  LModclmod 20773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-mgp 20057  df-ur 20098  df-ring 20151  df-lmod 20775

This theorem is referenced by:  lmodn0  48488  lvecpsslmod  48500