Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmod1zr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmod1zr 45260
 Description: The (smallest) structure representing a zero module over a zero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lmod1zr.r 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
lmod1zr.m 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩})
Assertion
Ref Expression
lmod1zr ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → 𝑀 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmod1zr
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 𝑝 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmod1zr.m . . 3 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩})
2 elsni 4540 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} → 𝑝 = ⟨𝑍, 𝐼⟩)
3 fveq2 6659 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = ⟨𝑍, 𝐼⟩ → (2nd𝑝) = (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩))
43adantl 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝑝 = ⟨𝑍, 𝐼⟩) → (2nd𝑝) = (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩))
5 op2ndg 7707 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑍𝑊𝐼𝑉) → (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩) = 𝐼)
65ancoms 463 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩) = 𝐼)
7 snidg 4557 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼𝑉𝐼 ∈ {𝐼})
87adantr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → 𝐼 ∈ {𝐼})
96, 8eqeltrd 2853 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩) ∈ {𝐼})
109adantr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝑝 = ⟨𝑍, 𝐼⟩) → (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩) ∈ {𝐼})
114, 10eqeltrd 2853 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝑝 = ⟨𝑍, 𝐼⟩) → (2nd𝑝) ∈ {𝐼})
122, 11sylan2 596 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩}) → (2nd𝑝) ∈ {𝐼})
1312fmpttd 6871 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd𝑝)):{⟨𝑍, 𝐼⟩}⟶{𝐼})
14 opex 5325 . . . . . . . . . 10 𝑍, 𝐼⟩ ∈ V
15 simpl 487 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → 𝐼𝑉)
16 fsng 6891 . . . . . . . . . 10 ((⟨𝑍, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼𝑉) → ((𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd𝑝)):{⟨𝑍, 𝐼⟩}⟶{𝐼} ↔ (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd𝑝)) = {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}))
1714, 15, 16sylancr 591 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → ((𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd𝑝)):{⟨𝑍, 𝐼⟩}⟶{𝐼} ↔ (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd𝑝)) = {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}))
1813, 17mpbid 235 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd𝑝)) = {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩})
19 xpsng 6893 . . . . . . . . . . 11 ((𝑍𝑊𝐼𝑉) → ({𝑍} × {𝐼}) = {⟨𝑍, 𝐼⟩})
2019ancoms 463 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → ({𝑍} × {𝐼}) = {⟨𝑍, 𝐼⟩})
2120eqcomd 2765 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → {⟨𝑍, 𝐼⟩} = ({𝑍} × {𝐼}))
2221mpteq1d 5122 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd𝑝)) = (𝑝 ∈ ({𝑍} × {𝐼}) ↦ (2nd𝑝)))
2318, 22eqtr3d 2796 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (𝑝 ∈ ({𝑍} × {𝐼}) ↦ (2nd𝑝)))
24 vex 3414 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
25 vex 3414 . . . . . . . . . 10 𝑖 ∈ V
2624, 25op2ndd 7705 . . . . . . . . 9 (𝑝 = ⟨𝑧, 𝑖⟩ → (2nd𝑝) = 𝑖)
2726mpompt 7261 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ({𝑍} × {𝐼}) ↦ (2nd𝑝)) = (𝑧 ∈ {𝑍}, 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)
2827a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → (𝑝 ∈ ({𝑍} × {𝐼}) ↦ (2nd𝑝)) = (𝑧 ∈ {𝑍}, 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖))
29 snex 5301 . . . . . . . . 9 {𝑍} ∈ V
30 lmod1zr.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
3130rngbase 16671 . . . . . . . . 9 ({𝑍} ∈ V → {𝑍} = (Base‘𝑅))
3229, 31mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → {𝑍} = (Base‘𝑅))
33 eqidd 2760 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → {𝐼} = {𝐼})
34 mpoeq12 7222 . . . . . . . 8 (({𝑍} = (Base‘𝑅) ∧ {𝐼} = {𝐼}) → (𝑧 ∈ {𝑍}, 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖) = (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖))
3532, 33, 34syl2anc 588 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → (𝑧 ∈ {𝑍}, 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖) = (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖))
3623, 28, 353eqtrd 2798 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖))
3736opeq2d 4771 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → ⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩ = ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩)
3837sneqd 4535 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩} = {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩})
3938uneq2d 4069 . . 3 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}))
401, 39syl5eq 2806 . 2 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}))
4130ring1 19416 . . 3 (𝑍𝑊𝑅 ∈ Ring)
42 eqidd 2760 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑎𝑖 = 𝑖)
43 id 22 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑏𝑖 = 𝑏)
4442, 43cbvmpov 7244 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖) = (𝑎 ∈ (Base‘𝑅), 𝑏 ∈ {𝐼} ↦ 𝑏)
4544opeq2i 4768 . . . . . 6 ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩ = ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑎 ∈ (Base‘𝑅), 𝑏 ∈ {𝐼} ↦ 𝑏)⟩
4645sneqi 4534 . . . . 5 {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩} = {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑎 ∈ (Base‘𝑅), 𝑏 ∈ {𝐼} ↦ 𝑏)⟩}
4746uneq2i 4066 . . . 4 ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑎 ∈ (Base‘𝑅), 𝑏 ∈ {𝐼} ↦ 𝑏)⟩})
4847lmod1 45259 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}) ∈ LMod)
4941, 48sylan2 596 . 2 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}) ∈ LMod)
5040, 49eqeltrd 2853 1 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → 𝑀 ∈ LMod)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  Vcvv 3410   ∪ cun 3857  {csn 4523  {ctp 4527  ⟨cop 4529   ↦ cmpt 5113   × cxp 5523  ⟶wf 6332  ‘cfv 6336   ∈ cmpo 7153  2nd c2nd 7693  ndxcnx 16531  Basecbs 16534  +gcplusg 16616  .rcmulr 16617  Scalarcsca 16619   ·𝑠 cvsca 16620  Ringcrg 19358  LModclmod 19695 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-oadd 8117  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-4 11732  df-5 11733  df-6 11734  df-n0 11928  df-z 12014  df-uz 12276  df-fz 12933  df-struct 16536  df-ndx 16537  df-slot 16538  df-base 16540  df-sets 16541  df-plusg 16629  df-mulr 16630  df-sca 16632  df-vsca 16633  df-0g 16766  df-mgm 17911  df-sgrp 17960  df-mnd 17971  df-grp 18165  df-mgp 19301  df-ur 19313  df-ring 19360  df-lmod 19697 This theorem is referenced by:  lmodn0  45262  lvecpsslmod  45274
 Copyright terms: Public domain W3C validator