Theorem lmod1zr 48449

Description: The (smallest) structure representing a zero module over a zero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmod1zr.r	⊢ 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
lmod1zr.m	⊢ 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩})

Assertion

Ref	Expression
lmod1zr	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmod1zr

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 𝑝 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmod1zr.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩})
2		elsni 4623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} → 𝑝 = ⟨𝑍, 𝐼⟩)
3		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑍, 𝐼⟩ → (2nd ‘𝑝) = (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩))
4	3	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑝 = ⟨𝑍, 𝐼⟩) → (2nd ‘𝑝) = (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩))
5		op2ndg 8006	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩) = 𝐼)
6	5	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩) = 𝐼)
7		snidg 4641	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ {𝐼})
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ {𝐼})
9	6, 8	eqeltrd 2835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩) ∈ {𝐼})
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑝 = ⟨𝑍, 𝐼⟩) → (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩) ∈ {𝐼})
11	4, 10	eqeltrd 2835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑝 = ⟨𝑍, 𝐼⟩) → (2nd ‘𝑝) ∈ {𝐼})
12	2, 11	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩}) → (2nd ‘𝑝) ∈ {𝐼})
13	12	fmpttd 7110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝)):{⟨𝑍, 𝐼⟩}⟶{𝐼})
14		opex 5444	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨𝑍, 𝐼⟩ ∈ V
15		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ 𝑉)
16		fsng 7132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨𝑍, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝)):{⟨𝑍, 𝐼⟩}⟶{𝐼} ↔ (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝)) = {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}))
17	14, 15, 16	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝)):{⟨𝑍, 𝐼⟩}⟶{𝐼} ↔ (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝)) = {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}))
18	13, 17	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝)) = {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩})
19		xpsng 7134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ({𝑍} × {𝐼}) = {⟨𝑍, 𝐼⟩})
20	19	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ({𝑍} × {𝐼}) = {⟨𝑍, 𝐼⟩})
21	20	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {⟨𝑍, 𝐼⟩} = ({𝑍} × {𝐼}))
22	21	mpteq1d 5215	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝)) = (𝑝 ∈ ({𝑍} × {𝐼}) ↦ (2nd ‘𝑝)))
23	18, 22	eqtr3d 2773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (𝑝 ∈ ({𝑍} × {𝐼}) ↦ (2nd ‘𝑝)))
24		vex 3468	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
25		vex 3468	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑖 ∈ V
26	24, 25	op2ndd 8004	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑧, 𝑖⟩ → (2nd ‘𝑝) = 𝑖)
27	26	mpompt 7526	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ({𝑍} × {𝐼}) ↦ (2nd ‘𝑝)) = (𝑧 ∈ {𝑍}, 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑝 ∈ ({𝑍} × {𝐼}) ↦ (2nd ‘𝑝)) = (𝑧 ∈ {𝑍}, 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖))
29		snex 5411	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑍} ∈ V
30		lmod1zr.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
31	30	rngbase 17318	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑍} ∈ V → {𝑍} = (Base‘𝑅))
32	29, 31	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝑍} = (Base‘𝑅))
33		eqidd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝐼} = {𝐼})
34		mpoeq12 7485	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑍} = (Base‘𝑅) ∧ {𝐼} = {𝐼}) → (𝑧 ∈ {𝑍}, 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖) = (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖))
35	32, 33, 34	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑧 ∈ {𝑍}, 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖) = (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖))
36	23, 28, 35	3eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖))
37	36	opeq2d 4861	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩ = ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩)
38	37	sneqd 4618	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩} = {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩})
39	38	uneq2d 4148	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}))
40	1, 39	eqtrid 2783	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}))
41	30	ring1 20275	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑊 → 𝑅 ∈ Ring)
42		eqidd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → 𝑖 = 𝑖)
43		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑏 → 𝑖 = 𝑏)
44	42, 43	cbvmpov 7507	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖) = (𝑎 ∈ (Base‘𝑅), 𝑏 ∈ {𝐼} ↦ 𝑏)
45	44	opeq2i 4858	. . . . . 6 ⊢ ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩ = ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑎 ∈ (Base‘𝑅), 𝑏 ∈ {𝐼} ↦ 𝑏)⟩
46	45	sneqi 4617	. . . . 5 ⊢ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩} = {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑎 ∈ (Base‘𝑅), 𝑏 ∈ {𝐼} ↦ 𝑏)⟩}
47	46	uneq2i 4145	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑎 ∈ (Base‘𝑅), 𝑏 ∈ {𝐼} ↦ 𝑏)⟩})
48	47	lmod1 48448	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}) ∈ LMod)
49	41, 48	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}) ∈ LMod)
50	40, 49	eqeltrd 2835	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   ∪ cun 3929  {csn 4606  {ctp 4610  ⟨cop 4612   ↦ cmpt 5206   × cxp 5657  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536   ∈ cmpo 7412  2^nd c2nd 7992  ndxcnx 17217  Basecbs 17233  +_gcplusg 17276  ._rcmulr 17277  Scalarcsca 17279   ·_𝑠 cvsca 17280  Ringcrg 20198  LModclmod 20822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-mgp 20106  df-ur 20147  df-ring 20200  df-lmod 20824

This theorem is referenced by:  lmodn0  48451  lvecpsslmod  48463