Theorem lmod1zr 44902

Description: The (smallest) structure representing a zero module over a zero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmod1zr.r	⊢ 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
lmod1zr.m	⊢ 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩})

Assertion

Ref	Expression
lmod1zr	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmod1zr

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 𝑝 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmod1zr.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩})
2		elsni 4542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} → 𝑝 = ⟨𝑍, 𝐼⟩)
3		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑍, 𝐼⟩ → (2nd ‘𝑝) = (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩))
4	3	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑝 = ⟨𝑍, 𝐼⟩) → (2nd ‘𝑝) = (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩))
5		op2ndg 7684	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩) = 𝐼)
6	5	ancoms 462	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩) = 𝐼)
7		snidg 4559	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ {𝐼})
8	7	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ {𝐼})
9	6, 8	eqeltrd 2890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩) ∈ {𝐼})
10	9	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑝 = ⟨𝑍, 𝐼⟩) → (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩) ∈ {𝐼})
11	4, 10	eqeltrd 2890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑝 = ⟨𝑍, 𝐼⟩) → (2nd ‘𝑝) ∈ {𝐼})
12	2, 11	sylan2 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩}) → (2nd ‘𝑝) ∈ {𝐼})
13	12	fmpttd 6856	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝)):{⟨𝑍, 𝐼⟩}⟶{𝐼})
14		opex 5321	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨𝑍, 𝐼⟩ ∈ V
15		simpl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ 𝑉)
16		fsng 6876	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨𝑍, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝)):{⟨𝑍, 𝐼⟩}⟶{𝐼} ↔ (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝)) = {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}))
17	14, 15, 16	sylancr 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝)):{⟨𝑍, 𝐼⟩}⟶{𝐼} ↔ (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝)) = {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}))
18	13, 17	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝)) = {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩})
19		xpsng 6878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ({𝑍} × {𝐼}) = {⟨𝑍, 𝐼⟩})
20	19	ancoms 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ({𝑍} × {𝐼}) = {⟨𝑍, 𝐼⟩})
21	20	eqcomd 2804	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {⟨𝑍, 𝐼⟩} = ({𝑍} × {𝐼}))
22	21	mpteq1d 5119	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝)) = (𝑝 ∈ ({𝑍} × {𝐼}) ↦ (2nd ‘𝑝)))
23	18, 22	eqtr3d 2835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (𝑝 ∈ ({𝑍} × {𝐼}) ↦ (2nd ‘𝑝)))
24		vex 3444	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
25		vex 3444	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑖 ∈ V
26	24, 25	op2ndd 7682	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑧, 𝑖⟩ → (2nd ‘𝑝) = 𝑖)
27	26	mpompt 7245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ({𝑍} × {𝐼}) ↦ (2nd ‘𝑝)) = (𝑧 ∈ {𝑍}, 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑝 ∈ ({𝑍} × {𝐼}) ↦ (2nd ‘𝑝)) = (𝑧 ∈ {𝑍}, 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖))
29		snex 5297	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑍} ∈ V
30		lmod1zr.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
31	30	rngbase 16612	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑍} ∈ V → {𝑍} = (Base‘𝑅))
32	29, 31	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝑍} = (Base‘𝑅))
33		eqidd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝐼} = {𝐼})
34		mpoeq12 7206	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑍} = (Base‘𝑅) ∧ {𝐼} = {𝐼}) → (𝑧 ∈ {𝑍}, 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖) = (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖))
35	32, 33, 34	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑧 ∈ {𝑍}, 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖) = (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖))
36	23, 28, 35	3eqtrd 2837	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖))
37	36	opeq2d 4772	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩ = ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩)
38	37	sneqd 4537	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩} = {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩})
39	38	uneq2d 4090	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}))
40	1, 39	syl5eq 2845	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}))
41	30	ring1 19348	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑊 → 𝑅 ∈ Ring)
42		eqidd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → 𝑖 = 𝑖)
43		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑏 → 𝑖 = 𝑏)
44	42, 43	cbvmpov 7228	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖) = (𝑎 ∈ (Base‘𝑅), 𝑏 ∈ {𝐼} ↦ 𝑏)
45	44	opeq2i 4769	. . . . . 6 ⊢ ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩ = ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑎 ∈ (Base‘𝑅), 𝑏 ∈ {𝐼} ↦ 𝑏)⟩
46	45	sneqi 4536	. . . . 5 ⊢ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩} = {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑎 ∈ (Base‘𝑅), 𝑏 ∈ {𝐼} ↦ 𝑏)⟩}
47	46	uneq2i 4087	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑎 ∈ (Base‘𝑅), 𝑏 ∈ {𝐼} ↦ 𝑏)⟩})
48	47	lmod1 44901	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}) ∈ LMod)
49	41, 48	sylan2 595	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}) ∈ LMod)
50	40, 49	eqeltrd 2890	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ∪ cun 3879  {csn 4525  {ctp 4529  ⟨cop 4531   ↦ cmpt 5110   × cxp 5517  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324   ∈ cmpo 7137  2^nd c2nd 7670  ndxcnx 16472  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  ._rcmulr 16558  Scalarcsca 16560   ·_𝑠 cvsca 16561  Ringcrg 19290  LModclmod 19627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-lmod 19629

This theorem is referenced by:  lmodn0  44904  lvecpsslmod  44916