Theorem lmod1zr 44568

Description: The (smallest) structure representing a zero module over a zero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmod1zr.r	⊢ 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
lmod1zr.m	⊢ 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩})

Assertion

Ref	Expression
lmod1zr	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmod1zr

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 𝑝 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmod1zr.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩})
2		elsni 4584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} → 𝑝 = ⟨𝑍, 𝐼⟩)
3		fveq2 6670	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑍, 𝐼⟩ → (2nd ‘𝑝) = (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩))
4	3	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑝 = ⟨𝑍, 𝐼⟩) → (2nd ‘𝑝) = (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩))
5		op2ndg 7702	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩) = 𝐼)
6	5	ancoms 461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩) = 𝐼)
7		snidg 4599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ {𝐼})
8	7	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ {𝐼})
9	6, 8	eqeltrd 2913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩) ∈ {𝐼})
10	9	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑝 = ⟨𝑍, 𝐼⟩) → (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩) ∈ {𝐼})
11	4, 10	eqeltrd 2913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑝 = ⟨𝑍, 𝐼⟩) → (2nd ‘𝑝) ∈ {𝐼})
12	2, 11	sylan2 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩}) → (2nd ‘𝑝) ∈ {𝐼})
13	12	fmpttd 6879	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝)):{⟨𝑍, 𝐼⟩}⟶{𝐼})
14		opex 5356	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨𝑍, 𝐼⟩ ∈ V
15		simpl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ 𝑉)
16		fsng 6899	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨𝑍, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝)):{⟨𝑍, 𝐼⟩}⟶{𝐼} ↔ (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝)) = {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}))
17	14, 15, 16	sylancr 589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝)):{⟨𝑍, 𝐼⟩}⟶{𝐼} ↔ (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝)) = {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}))
18	13, 17	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝)) = {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩})
19		xpsng 6901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ({𝑍} × {𝐼}) = {⟨𝑍, 𝐼⟩})
20	19	ancoms 461	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ({𝑍} × {𝐼}) = {⟨𝑍, 𝐼⟩})
21	20	eqcomd 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {⟨𝑍, 𝐼⟩} = ({𝑍} × {𝐼}))
22	21	mpteq1d 5155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝)) = (𝑝 ∈ ({𝑍} × {𝐼}) ↦ (2nd ‘𝑝)))
23	18, 22	eqtr3d 2858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (𝑝 ∈ ({𝑍} × {𝐼}) ↦ (2nd ‘𝑝)))
24		vex 3497	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
25		vex 3497	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑖 ∈ V
26	24, 25	op2ndd 7700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑧, 𝑖⟩ → (2nd ‘𝑝) = 𝑖)
27	26	mpompt 7266	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ({𝑍} × {𝐼}) ↦ (2nd ‘𝑝)) = (𝑧 ∈ {𝑍}, 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑝 ∈ ({𝑍} × {𝐼}) ↦ (2nd ‘𝑝)) = (𝑧 ∈ {𝑍}, 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖))
29		snex 5332	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑍} ∈ V
30		lmod1zr.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
31	30	rngbase 16620	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑍} ∈ V → {𝑍} = (Base‘𝑅))
32	29, 31	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝑍} = (Base‘𝑅))
33		eqidd 2822	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝐼} = {𝐼})
34		mpoeq12 7227	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑍} = (Base‘𝑅) ∧ {𝐼} = {𝐼}) → (𝑧 ∈ {𝑍}, 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖) = (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖))
35	32, 33, 34	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑧 ∈ {𝑍}, 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖) = (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖))
36	23, 28, 35	3eqtrd 2860	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖))
37	36	opeq2d 4810	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩ = ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩)
38	37	sneqd 4579	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩} = {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩})
39	38	uneq2d 4139	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}))
40	1, 39	syl5eq 2868	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}))
41	30	ring1 19352	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑊 → 𝑅 ∈ Ring)
42		eqidd 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → 𝑖 = 𝑖)
43		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑏 → 𝑖 = 𝑏)
44	42, 43	cbvmpov 7249	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖) = (𝑎 ∈ (Base‘𝑅), 𝑏 ∈ {𝐼} ↦ 𝑏)
45	44	opeq2i 4807	. . . . . 6 ⊢ ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩ = ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑎 ∈ (Base‘𝑅), 𝑏 ∈ {𝐼} ↦ 𝑏)⟩
46	45	sneqi 4578	. . . . 5 ⊢ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩} = {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑎 ∈ (Base‘𝑅), 𝑏 ∈ {𝐼} ↦ 𝑏)⟩}
47	46	uneq2i 4136	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑎 ∈ (Base‘𝑅), 𝑏 ∈ {𝐼} ↦ 𝑏)⟩})
48	47	lmod1 44567	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}) ∈ LMod)
49	41, 48	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}) ∈ LMod)
50	40, 49	eqeltrd 2913	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494   ∪ cun 3934  {csn 4567  {ctp 4571  ⟨cop 4573   ↦ cmpt 5146   × cxp 5553  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355   ∈ cmpo 7158  2^nd c2nd 7688  ndxcnx 16480  Basecbs 16483  +_gcplusg 16565  ._rcmulr 16566  Scalarcsca 16568   ·_𝑠 cvsca 16569  Ringcrg 19297  LModclmod 19634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-lmod 19636

This theorem is referenced by:  lmodn0  44570  lvecpsslmod  44582