Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmod1zr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmod1zr 47075
Description: The (smallest) structure representing a zero module over a zero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lmod1zr.r 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
lmod1zr.m 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩})
Assertion
Ref Expression
lmod1zr ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → 𝑀 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmod1zr
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 𝑝 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmod1zr.m . . 3 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩})
2 elsni 4643 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} → 𝑝 = ⟨𝑍, 𝐼⟩)
3 fveq2 6887 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = ⟨𝑍, 𝐼⟩ → (2nd𝑝) = (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩))
43adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝑝 = ⟨𝑍, 𝐼⟩) → (2nd𝑝) = (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩))
5 op2ndg 7982 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑍𝑊𝐼𝑉) → (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩) = 𝐼)
65ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩) = 𝐼)
7 snidg 4660 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼𝑉𝐼 ∈ {𝐼})
87adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → 𝐼 ∈ {𝐼})
96, 8eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩) ∈ {𝐼})
109adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝑝 = ⟨𝑍, 𝐼⟩) → (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩) ∈ {𝐼})
114, 10eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝑝 = ⟨𝑍, 𝐼⟩) → (2nd𝑝) ∈ {𝐼})
122, 11sylan2 594 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩}) → (2nd𝑝) ∈ {𝐼})
1312fmpttd 7109 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd𝑝)):{⟨𝑍, 𝐼⟩}⟶{𝐼})
14 opex 5462 . . . . . . . . . 10 𝑍, 𝐼⟩ ∈ V
15 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → 𝐼𝑉)
16 fsng 7129 . . . . . . . . . 10 ((⟨𝑍, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼𝑉) → ((𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd𝑝)):{⟨𝑍, 𝐼⟩}⟶{𝐼} ↔ (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd𝑝)) = {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}))
1714, 15, 16sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → ((𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd𝑝)):{⟨𝑍, 𝐼⟩}⟶{𝐼} ↔ (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd𝑝)) = {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}))
1813, 17mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd𝑝)) = {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩})
19 xpsng 7131 . . . . . . . . . . 11 ((𝑍𝑊𝐼𝑉) → ({𝑍} × {𝐼}) = {⟨𝑍, 𝐼⟩})
2019ancoms 460 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → ({𝑍} × {𝐼}) = {⟨𝑍, 𝐼⟩})
2120eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → {⟨𝑍, 𝐼⟩} = ({𝑍} × {𝐼}))
2221mpteq1d 5241 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd𝑝)) = (𝑝 ∈ ({𝑍} × {𝐼}) ↦ (2nd𝑝)))
2318, 22eqtr3d 2775 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (𝑝 ∈ ({𝑍} × {𝐼}) ↦ (2nd𝑝)))
24 vex 3479 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
25 vex 3479 . . . . . . . . . 10 𝑖 ∈ V
2624, 25op2ndd 7980 . . . . . . . . 9 (𝑝 = ⟨𝑧, 𝑖⟩ → (2nd𝑝) = 𝑖)
2726mpompt 7516 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ({𝑍} × {𝐼}) ↦ (2nd𝑝)) = (𝑧 ∈ {𝑍}, 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)
2827a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → (𝑝 ∈ ({𝑍} × {𝐼}) ↦ (2nd𝑝)) = (𝑧 ∈ {𝑍}, 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖))
29 snex 5429 . . . . . . . . 9 {𝑍} ∈ V
30 lmod1zr.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
3130rngbase 17239 . . . . . . . . 9 ({𝑍} ∈ V → {𝑍} = (Base‘𝑅))
3229, 31mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → {𝑍} = (Base‘𝑅))
33 eqidd 2734 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → {𝐼} = {𝐼})
34 mpoeq12 7476 . . . . . . . 8 (({𝑍} = (Base‘𝑅) ∧ {𝐼} = {𝐼}) → (𝑧 ∈ {𝑍}, 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖) = (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖))
3532, 33, 34syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → (𝑧 ∈ {𝑍}, 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖) = (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖))
3623, 28, 353eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖))
3736opeq2d 4878 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → ⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩ = ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩)
3837sneqd 4638 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩} = {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩})
3938uneq2d 4161 . . 3 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}))
401, 39eqtrid 2785 . 2 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}))
4130ring1 20111 . . 3 (𝑍𝑊𝑅 ∈ Ring)
42 eqidd 2734 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑎𝑖 = 𝑖)
43 id 22 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑏𝑖 = 𝑏)
4442, 43cbvmpov 7498 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖) = (𝑎 ∈ (Base‘𝑅), 𝑏 ∈ {𝐼} ↦ 𝑏)
4544opeq2i 4875 . . . . . 6 ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩ = ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑎 ∈ (Base‘𝑅), 𝑏 ∈ {𝐼} ↦ 𝑏)⟩
4645sneqi 4637 . . . . 5 {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩} = {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑎 ∈ (Base‘𝑅), 𝑏 ∈ {𝐼} ↦ 𝑏)⟩}
4746uneq2i 4158 . . . 4 ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑎 ∈ (Base‘𝑅), 𝑏 ∈ {𝐼} ↦ 𝑏)⟩})
4847lmod1 47074 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}) ∈ LMod)
4941, 48sylan2 594 . 2 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}) ∈ LMod)
5040, 49eqeltrd 2834 1 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → 𝑀 ∈ LMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  cun 3944  {csn 4626  {ctp 4630  cop 4632  cmpt 5229   × cxp 5672  wf 6535  cfv 6539  cmpo 7405  2nd c2nd 7968  ndxcnx 17121  Basecbs 17139  +gcplusg 17192  .rcmulr 17193  Scalarcsca 17195   ·𝑠 cvsca 17196  Ringcrg 20046  LModclmod 20458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-nn 12208  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-n0 12468  df-z 12554  df-uz 12818  df-fz 13480  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17140  df-plusg 17205  df-mulr 17206  df-sca 17208  df-vsca 17209  df-0g 17382  df-mgm 18556  df-sgrp 18605  df-mnd 18621  df-grp 18817  df-mgp 19979  df-ur 19996  df-ring 20048  df-lmod 20460
This theorem is referenced by:  lmodn0  47077  lvecpsslmod  47089
  Copyright terms: Public domain W3C validator