Theorem grp1inv 18956

Description: The inverse function of the trivial group. (Contributed by FL, 21-Jun-2010.) (Revised by AV, 26-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
grp1.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}

Assertion

Ref	Expression
grp1inv	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (invg‘𝑀) = ( I ↾ {𝐼}))

Proof of Theorem grp1inv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grp1.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
2	1	grp1 18955	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Grp)
3		snex 5386	. . . . 5 ⊢ {𝐼} ∈ V
4	1	grpbase 17228	. . . . 5 ⊢ ({𝐼} ∈ V → {𝐼} = (Base‘𝑀))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {𝐼} = (Base‘𝑀)
6		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑀) = (invg‘𝑀)
7	5, 6	grpinvf 18894	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → (invg‘𝑀):{𝐼}⟶{𝐼})
8	2, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (invg‘𝑀):{𝐼}⟶{𝐼})
9		fsng 7091	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑀):{𝐼}⟶{𝐼} ↔ (invg‘𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
10	9	anidms 566	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((invg‘𝑀):{𝐼}⟶{𝐼} ↔ (invg‘𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
11		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (invg‘𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩}) → (invg‘𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
12		restidsing 6013	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ {𝐼}) = ({𝐼} × {𝐼})
13		xpsng 7093	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ({𝐼} × {𝐼}) = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
14	13	anidms 566	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ({𝐼} × {𝐼}) = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
15	12, 14	eqtr2id 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩} = ( I ↾ {𝐼}))
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (invg‘𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩}) → {⟨𝐼, 𝐼⟩} = ( I ↾ {𝐼}))
17	11, 16	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (invg‘𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩}) → (invg‘𝑀) = ( I ↾ {𝐼}))
18	17	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((invg‘𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (invg‘𝑀) = ( I ↾ {𝐼})))
19	10, 18	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((invg‘𝑀):{𝐼}⟶{𝐼} → (invg‘𝑀) = ( I ↾ {𝐼})))
20	8, 19	mpd 15	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (invg‘𝑀) = ( I ↾ {𝐼}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  {csn 4585  {cpr 4587  ⟨cop 4591   I cid 5525   × cxp 5629   ↾ cres 5633  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  ndxcnx 17139  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  Grpcgrp 18841  inv_gcminusg 18842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845

This theorem is referenced by: (None)