Theorem grp1inv 18927

Description: The inverse function of the trivial group. (Contributed by FL, 21-Jun-2010.) (Revised by AV, 26-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
grp1.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}

Assertion

Ref	Expression
grp1inv	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (invg‘𝑀) = ( I ↾ {𝐼}))

Proof of Theorem grp1inv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grp1.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
2	1	grp1 18926	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Grp)
3		snex 5430	. . . . 5 ⊢ {𝐼} ∈ V
4	1	grpbase 17227	. . . . 5 ⊢ ({𝐼} ∈ V → {𝐼} = (Base‘𝑀))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {𝐼} = (Base‘𝑀)
6		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑀) = (invg‘𝑀)
7	5, 6	grpinvf 18867	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → (invg‘𝑀):{𝐼}⟶{𝐼})
8	2, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (invg‘𝑀):{𝐼}⟶{𝐼})
9		fsng 7131	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑀):{𝐼}⟶{𝐼} ↔ (invg‘𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
10	9	anidms 567	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((invg‘𝑀):{𝐼}⟶{𝐼} ↔ (invg‘𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
11		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (invg‘𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩}) → (invg‘𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
12		restidsing 6050	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ {𝐼}) = ({𝐼} × {𝐼})
13		xpsng 7133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ({𝐼} × {𝐼}) = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
14	13	anidms 567	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ({𝐼} × {𝐼}) = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
15	12, 14	eqtr2id 2785	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩} = ( I ↾ {𝐼}))
16	15	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (invg‘𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩}) → {⟨𝐼, 𝐼⟩} = ( I ↾ {𝐼}))
17	11, 16	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (invg‘𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩}) → (invg‘𝑀) = ( I ↾ {𝐼}))
18	17	ex 413	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((invg‘𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (invg‘𝑀) = ( I ↾ {𝐼})))
19	10, 18	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((invg‘𝑀):{𝐼}⟶{𝐼} → (invg‘𝑀) = ( I ↾ {𝐼})))
20	8, 19	mpd 15	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (invg‘𝑀) = ( I ↾ {𝐼}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  {csn 4627  {cpr 4629  ⟨cop 4633   I cid 5572   × cxp 5673   ↾ cres 5677  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  ndxcnx 17122  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  Grpcgrp 18815  inv_gcminusg 18816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819

This theorem is referenced by: (None)