Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cshw1s2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshw1s2 32945
Description: Cyclically shifting a length 2 word swaps its symbols. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)
Assertion
Ref Expression
cshw1s2 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ cyclShift 1) = ⟨“𝐵𝐴”⟩)

Proof of Theorem cshw1s2
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 s2len 14928 . . . . . . . 8 (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
21oveq2i 7442 . . . . . . 7 (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)) = (1 mod 2)
3 1re 11261 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
4 2rp 13039 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
5 0le1 11786 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
6 1lt2 12437 . . . . . . . 8 1 < 2
7 modid 13936 . . . . . . . 8 (((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 2)) → (1 mod 2) = 1)
83, 4, 5, 6, 7mp4an 693 . . . . . . 7 (1 mod 2) = 1
92, 8eqtri 2765 . . . . . 6 (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)) = 1
109, 1opeq12i 4878 . . . . 5 ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩ = ⟨1, 2⟩
1110oveq2i 7442 . . . 4 (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) = (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩)
12 s2cl 14917 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
13 tpid2g 4771 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ → 1 ∈ {0, 1, 2})
143, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8 1 ∈ {0, 1, 2}
15 fz0tp 13668 . . . . . . . 8 (0...2) = {0, 1, 2}
1614, 15eleqtrri 2840 . . . . . . 7 1 ∈ (0...2)
17 tpid3g 4772 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ+ → 2 ∈ {0, 1, 2})
184, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9 2 ∈ {0, 1, 2}
1918, 15eleqtrri 2840 . . . . . . . 8 2 ∈ (0...2)
201oveq2i 7442 . . . . . . . 8 (0...(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)) = (0...2)
2119, 20eleqtrri 2840 . . . . . . 7 2 ∈ (0...(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))
22 swrdval2 14684 . . . . . . 7 ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ (0...2) ∧ 2 ∈ (0...(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩) = (𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)) ↦ (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1))))
2316, 21, 22mp3an23 1455 . . . . . 6 (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩) = (𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)) ↦ (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1))))
2412, 23syl 17 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩) = (𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)) ↦ (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1))))
25 2m1e1 12392 . . . . . . . . 9 (2 − 1) = 1
2625oveq2i 7442 . . . . . . . 8 (0..^(2 − 1)) = (0..^1)
27 fzo01 13786 . . . . . . . 8 (0..^1) = {0}
2826, 27eqtri 2765 . . . . . . 7 (0..^(2 − 1)) = {0}
2928a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (0..^(2 − 1)) = {0})
30 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)))
3130, 28eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → 𝑖 ∈ {0})
32 elsni 4643 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ {0} → 𝑖 = 0)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → 𝑖 = 0)
3433oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (𝑖 + 1) = (0 + 1))
35 0p1e1 12388 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
3634, 35eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (𝑖 + 1) = 1)
3736fveq2d 6910 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1)) = (⟨“𝐴𝐵”⟩‘1))
38 s2fv1 14927 . . . . . . . 8 (𝐵𝑉 → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘1) = 𝐵)
3938ad2antlr 727 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘1) = 𝐵)
4037, 39eqtrd 2777 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1)) = 𝐵)
4129, 40mpteq12dva 5231 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)) ↦ (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1))) = (𝑖 ∈ {0} ↦ 𝐵))
42 fconstmpt 5747 . . . . . 6 ({0} × {𝐵}) = (𝑖 ∈ {0} ↦ 𝐵)
43 0nn0 12541 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
44 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐵𝑉)
45 xpsng 7159 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℕ0𝐵𝑉) → ({0} × {𝐵}) = {⟨0, 𝐵⟩})
4643, 44, 45sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → ({0} × {𝐵}) = {⟨0, 𝐵⟩})
47 s1val 14636 . . . . . . . 8 (𝐵𝑉 → ⟨“𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐵⟩})
4847adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → ⟨“𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐵⟩})
4946, 48eqtr4d 2780 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → ({0} × {𝐵}) = ⟨“𝐵”⟩)
5042, 49eqtr3id 2791 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝑖 ∈ {0} ↦ 𝐵) = ⟨“𝐵”⟩)
5124, 41, 503eqtrd 2781 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩) = ⟨“𝐵”⟩)
5211, 51eqtrid 2789 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) = ⟨“𝐵”⟩)
539oveq2i 7442 . . . 4 (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))) = (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix 1)
54 pfx1s2 32923 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix 1) = ⟨“𝐴”⟩)
5553, 54eqtrid 2789 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))) = ⟨“𝐴”⟩)
5652, 55oveq12d 7449 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) ++ (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)))) = (⟨“𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩))
57 1z 12647 . . 3 1 ∈ ℤ
58 cshword 14829 . . 3 ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ cyclShift 1) = ((⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) ++ (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)))))
5912, 57, 58sylancl 586 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ cyclShift 1) = ((⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) ++ (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)))))
60 df-s2 14887 . . 3 ⟨“𝐵𝐴”⟩ = (⟨“𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)
6160a1i 11 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → ⟨“𝐵𝐴”⟩ = (⟨“𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩))
6256, 59, 613eqtr4d 2787 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ cyclShift 1) = ⟨“𝐵𝐴”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {csn 4626  {ctp 4630  cop 4632   class class class wbr 5143  cmpt 5225   × cxp 5683  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  +crp 13034  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694   mod cmo 13909  chash 14369  Word cword 14552   ++ cconcat 14608  ⟨“cs1 14633   substr csubstr 14678   prefix cpfx 14708   cyclShift ccsh 14826  ⟨“cs2 14880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-csh 14827  df-s2 14887
This theorem is referenced by:  cycpm2tr  33139
  Copyright terms: Public domain W3C validator