Theorem cshw1s2 33099

Description: Cyclically shifting a length 2 word swaps its symbols. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cshw1s2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ cyclShift 1) = ⟨“𝐵𝐴”⟩)

Proof of Theorem cshw1s2

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s2len 14899	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
2	1	oveq2i 7403	. . . . . . 7 ⊢ (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)) = (1 mod 2)
3		1re 11178	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		2rp 12995	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
5		0le1 11707	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
6		1lt2 12387	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
7		modid 13903	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 2)) → (1 mod 2) = 1)
8	3, 4, 5, 6, 7	mp4an 703	. . . . . . 7 ⊢ (1 mod 2) = 1
9	2, 8	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)) = 1
10	9, 1	opeq12i 4835	. . . . 5 ⊢ ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩ = ⟨1, 2⟩
11	10	oveq2i 7403	. . . 4 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) = (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩)
12		s2cl 14888	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
13		tpid2g 4729	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ∈ {0, 1, 2})
14	3, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
15		fz0tp 13630	. . . . . . . 8 ⊢ (0...2) = {0, 1, 2}
16	14, 15	eleqtrri 2860	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (0...2)
17		tpid3g 4730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → 2 ∈ {0, 1, 2})
18	4, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
19	18, 15	eleqtrri 2860	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (0...2)
20	1	oveq2i 7403	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)) = (0...2)
21	19, 20	eleqtrri 2860	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (0...(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))
22		swrdval2 14657	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ (0...2) ∧ 2 ∈ (0...(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩) = (𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)) ↦ (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1))))
23	16, 21, 22	mp3an23 1473	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩) = (𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)) ↦ (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1))))
24	12, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩) = (𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)) ↦ (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1))))
25		2m1e1 12339	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − 1) = 1
26	25	oveq2i 7403	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(2 − 1)) = (0..^1)
27		fzo01 13750	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^1) = {0}
28	26, 27	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(2 − 1)) = {0}
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (0..^(2 − 1)) = {0})
30		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)))
31	30, 28	eleqtrdi 2871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → 𝑖 ∈ {0})
32		elsni 4598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ {0} → 𝑖 = 0)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → 𝑖 = 0)
34	33	oveq1d 7407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (𝑖 + 1) = (0 + 1))
35		0p1e1 12335	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
36	34, 35	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (𝑖 + 1) = 1)
37	36	fveq2d 6867	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1)) = (⟨“𝐴𝐵”⟩‘1))
38		s2fv1 14898	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘1) = 𝐵)
39	38	ad2antlr 737	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘1) = 𝐵)
40	37, 39	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1)) = 𝐵)
41	29, 40	mpteq12dva 5185	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)) ↦ (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1))) = (𝑖 ∈ {0} ↦ 𝐵))
42		fconstmpt 5707	. . . . . 6 ⊢ ({0} × {𝐵}) = (𝑖 ∈ {0} ↦ 𝐵)
43		0nn0 12493	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
44		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
45		xpsng 7117	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ({0} × {𝐵}) = {⟨0, 𝐵⟩})
46	43, 44, 45	sylancr 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ({0} × {𝐵}) = {⟨0, 𝐵⟩})
47		s1val 14609	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ⟨“𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐵⟩})
48	47	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ⟨“𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐵⟩})
49	46, 48	eqtr4d 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ({0} × {𝐵}) = ⟨“𝐵”⟩)
50	42, 49	eqtr3id 2810	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑖 ∈ {0} ↦ 𝐵) = ⟨“𝐵”⟩)
51	24, 41, 50	3eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩) = ⟨“𝐵”⟩)
52	11, 51	eqtrid 2808	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) = ⟨“𝐵”⟩)
53	9	oveq2i 7403	. . . 4 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))) = (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix 1)
54		pfx1s2 33078	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix 1) = ⟨“𝐴”⟩)
55	53, 54	eqtrid 2808	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))) = ⟨“𝐴”⟩)
56	52, 55	oveq12d 7410	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) ++ (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)))) = (⟨“𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩))
57		1z 12598	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
58		cshword 14801	. . 3 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ cyclShift 1) = ((⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) ++ (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)))))
59	12, 57, 58	sylancl 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ cyclShift 1) = ((⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) ++ (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)))))
60		df-s2 14858	. . 3 ⊢ ⟨“𝐵𝐴”⟩ = (⟨“𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)
61	60	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ⟨“𝐵𝐴”⟩ = (⟨“𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩))
62	56, 59, 61	3eqtr4d 2806	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ cyclShift 1) = ⟨“𝐵𝐴”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {csn 4581  {ctp 4585  ⟨cop 4587   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180   × cxp 5643  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073   < clt 11213   ≤ cle 11214   − cmin 11411  2c2 12269  ℕ₀cn0 12478  ℤcz 12565  ℝ⁺crp 12990  ...cfz 13509  ..^cfzo 13656   mod cmo 13876  ♯chash 14340  Word cword 14523   ++ cconcat 14580  ⟨“cs1 14606   substr csubstr 14651   prefix cpfx 14681   cyclShift ccsh 14798  ⟨“cs2 14851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-sup 9385  df-inf 9386  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-n0 12479  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-mod 13877  df-hash 14341  df-word 14524  df-concat 14581  df-s1 14607  df-substr 14652  df-pfx 14682  df-csh 14799  df-s2 14858

This theorem is referenced by:  cycpm2tr  33260