Theorem cshw1s2 32948

Description: Cyclically shifting a length 2 word swaps its symbols. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cshw1s2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ cyclShift 1) = ⟨“𝐵𝐴”⟩)

Proof of Theorem cshw1s2

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s2len 14798	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
2	1	oveq2i 7363	. . . . . . 7 ⊢ (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)) = (1 mod 2)
3		1re 11119	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		2rp 12897	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
5		0le1 11647	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
6		1lt2 12298	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
7		modid 13802	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 2)) → (1 mod 2) = 1)
8	3, 4, 5, 6, 7	mp4an 693	. . . . . . 7 ⊢ (1 mod 2) = 1
9	2, 8	eqtri 2756	. . . . . 6 ⊢ (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)) = 1
10	9, 1	opeq12i 4829	. . . . 5 ⊢ ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩ = ⟨1, 2⟩
11	10	oveq2i 7363	. . . 4 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) = (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩)
12		s2cl 14787	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
13		tpid2g 4723	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ∈ {0, 1, 2})
14	3, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
15		fz0tp 13530	. . . . . . . 8 ⊢ (0...2) = {0, 1, 2}
16	14, 15	eleqtrri 2832	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (0...2)
17		tpid3g 4724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → 2 ∈ {0, 1, 2})
18	4, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
19	18, 15	eleqtrri 2832	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (0...2)
20	1	oveq2i 7363	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)) = (0...2)
21	19, 20	eleqtrri 2832	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (0...(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))
22		swrdval2 14556	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ (0...2) ∧ 2 ∈ (0...(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩) = (𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)) ↦ (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1))))
23	16, 21, 22	mp3an23 1455	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩) = (𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)) ↦ (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1))))
24	12, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩) = (𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)) ↦ (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1))))
25		2m1e1 12253	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − 1) = 1
26	25	oveq2i 7363	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(2 − 1)) = (0..^1)
27		fzo01 13649	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^1) = {0}
28	26, 27	eqtri 2756	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(2 − 1)) = {0}
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (0..^(2 − 1)) = {0})
30		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)))
31	30, 28	eleqtrdi 2843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → 𝑖 ∈ {0})
32		elsni 4592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ {0} → 𝑖 = 0)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → 𝑖 = 0)
34	33	oveq1d 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (𝑖 + 1) = (0 + 1))
35		0p1e1 12249	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
36	34, 35	eqtrdi 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (𝑖 + 1) = 1)
37	36	fveq2d 6832	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1)) = (⟨“𝐴𝐵”⟩‘1))
38		s2fv1 14797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘1) = 𝐵)
39	38	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘1) = 𝐵)
40	37, 39	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1)) = 𝐵)
41	29, 40	mpteq12dva 5179	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)) ↦ (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1))) = (𝑖 ∈ {0} ↦ 𝐵))
42		fconstmpt 5681	. . . . . 6 ⊢ ({0} × {𝐵}) = (𝑖 ∈ {0} ↦ 𝐵)
43		0nn0 12403	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
44		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
45		xpsng 7078	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ({0} × {𝐵}) = {⟨0, 𝐵⟩})
46	43, 44, 45	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ({0} × {𝐵}) = {⟨0, 𝐵⟩})
47		s1val 14508	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ⟨“𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐵⟩})
48	47	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ⟨“𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐵⟩})
49	46, 48	eqtr4d 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ({0} × {𝐵}) = ⟨“𝐵”⟩)
50	42, 49	eqtr3id 2782	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑖 ∈ {0} ↦ 𝐵) = ⟨“𝐵”⟩)
51	24, 41, 50	3eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩) = ⟨“𝐵”⟩)
52	11, 51	eqtrid 2780	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) = ⟨“𝐵”⟩)
53	9	oveq2i 7363	. . . 4 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))) = (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix 1)
54		pfx1s2 32927	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix 1) = ⟨“𝐴”⟩)
55	53, 54	eqtrid 2780	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))) = ⟨“𝐴”⟩)
56	52, 55	oveq12d 7370	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) ++ (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)))) = (⟨“𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩))
57		1z 12508	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
58		cshword 14700	. . 3 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ cyclShift 1) = ((⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) ++ (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)))))
59	12, 57, 58	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ cyclShift 1) = ((⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) ++ (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)))))
60		df-s2 14757	. . 3 ⊢ ⟨“𝐵𝐴”⟩ = (⟨“𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)
61	60	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ⟨“𝐵𝐴”⟩ = (⟨“𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩))
62	56, 59, 61	3eqtr4d 2778	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ cyclShift 1) = ⟨“𝐵𝐴”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {csn 4575  {ctp 4579  ⟨cop 4581   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5174   × cxp 5617  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℝcr 11012  0cc0 11013  1c1 11014   + caddc 11016   < clt 11153   ≤ cle 11154   − cmin 11351  2c2 12187  ℕ₀cn0 12388  ℤcz 12475  ℝ⁺crp 12892  ...cfz 13409  ..^cfzo 13556   mod cmo 13775  ♯chash 14239  Word cword 14422   ++ cconcat 14479  ⟨“cs1 14505   substr csubstr 14550   prefix cpfx 14580   cyclShift ccsh 14697  ⟨“cs2 14750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9333  df-inf 9334  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-n0 12389  df-xnn0 12462  df-z 12476  df-uz 12739  df-rp 12893  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-mod 13776  df-hash 14240  df-word 14423  df-concat 14480  df-s1 14506  df-substr 14551  df-pfx 14581  df-csh 14698  df-s2 14757

This theorem is referenced by:  cycpm2tr  33095