Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cshw1s2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshw1s2 31814
Description: Cyclically shifting a length 2 word swaps its symbols. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)
Assertion
Ref Expression
cshw1s2 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ cyclShift 1) = ⟨“𝐵𝐴”⟩)

Proof of Theorem cshw1s2
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 s2len 14778 . . . . . . . 8 (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
21oveq2i 7368 . . . . . . 7 (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)) = (1 mod 2)
3 1re 11155 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
4 2rp 12920 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
5 0le1 11678 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
6 1lt2 12324 . . . . . . . 8 1 < 2
7 modid 13801 . . . . . . . 8 (((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 2)) → (1 mod 2) = 1)
83, 4, 5, 6, 7mp4an 691 . . . . . . 7 (1 mod 2) = 1
92, 8eqtri 2764 . . . . . 6 (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)) = 1
109, 1opeq12i 4835 . . . . 5 ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩ = ⟨1, 2⟩
1110oveq2i 7368 . . . 4 (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) = (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩)
12 s2cl 14767 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
13 tpid2g 4732 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ → 1 ∈ {0, 1, 2})
143, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8 1 ∈ {0, 1, 2}
15 fz0tp 13542 . . . . . . . 8 (0...2) = {0, 1, 2}
1614, 15eleqtrri 2837 . . . . . . 7 1 ∈ (0...2)
17 tpid3g 4733 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ+ → 2 ∈ {0, 1, 2})
184, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9 2 ∈ {0, 1, 2}
1918, 15eleqtrri 2837 . . . . . . . 8 2 ∈ (0...2)
201oveq2i 7368 . . . . . . . 8 (0...(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)) = (0...2)
2119, 20eleqtrri 2837 . . . . . . 7 2 ∈ (0...(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))
22 swrdval2 14534 . . . . . . 7 ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ (0...2) ∧ 2 ∈ (0...(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩) = (𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)) ↦ (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1))))
2316, 21, 22mp3an23 1453 . . . . . 6 (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩) = (𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)) ↦ (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1))))
2412, 23syl 17 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩) = (𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)) ↦ (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1))))
25 2m1e1 12279 . . . . . . . . 9 (2 − 1) = 1
2625oveq2i 7368 . . . . . . . 8 (0..^(2 − 1)) = (0..^1)
27 fzo01 13654 . . . . . . . 8 (0..^1) = {0}
2826, 27eqtri 2764 . . . . . . 7 (0..^(2 − 1)) = {0}
2928a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (0..^(2 − 1)) = {0})
30 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)))
3130, 28eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → 𝑖 ∈ {0})
32 elsni 4603 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ {0} → 𝑖 = 0)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → 𝑖 = 0)
3433oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (𝑖 + 1) = (0 + 1))
35 0p1e1 12275 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
3634, 35eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (𝑖 + 1) = 1)
3736fveq2d 6846 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1)) = (⟨“𝐴𝐵”⟩‘1))
38 s2fv1 14777 . . . . . . . 8 (𝐵𝑉 → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘1) = 𝐵)
3938ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘1) = 𝐵)
4037, 39eqtrd 2776 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1)) = 𝐵)
4129, 40mpteq12dva 5194 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)) ↦ (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1))) = (𝑖 ∈ {0} ↦ 𝐵))
42 fconstmpt 5694 . . . . . 6 ({0} × {𝐵}) = (𝑖 ∈ {0} ↦ 𝐵)
43 0nn0 12428 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
44 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐵𝑉)
45 xpsng 7085 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℕ0𝐵𝑉) → ({0} × {𝐵}) = {⟨0, 𝐵⟩})
4643, 44, 45sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → ({0} × {𝐵}) = {⟨0, 𝐵⟩})
47 s1val 14486 . . . . . . . 8 (𝐵𝑉 → ⟨“𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐵⟩})
4847adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → ⟨“𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐵⟩})
4946, 48eqtr4d 2779 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → ({0} × {𝐵}) = ⟨“𝐵”⟩)
5042, 49eqtr3id 2790 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝑖 ∈ {0} ↦ 𝐵) = ⟨“𝐵”⟩)
5124, 41, 503eqtrd 2780 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩) = ⟨“𝐵”⟩)
5211, 51eqtrid 2788 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) = ⟨“𝐵”⟩)
539oveq2i 7368 . . . 4 (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))) = (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix 1)
54 pfx1s2 31795 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix 1) = ⟨“𝐴”⟩)
5553, 54eqtrid 2788 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))) = ⟨“𝐴”⟩)
5652, 55oveq12d 7375 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) ++ (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)))) = (⟨“𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩))
57 1z 12533 . . 3 1 ∈ ℤ
58 cshword 14679 . . 3 ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ cyclShift 1) = ((⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) ++ (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)))))
5912, 57, 58sylancl 586 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ cyclShift 1) = ((⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) ++ (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)))))
60 df-s2 14737 . . 3 ⟨“𝐵𝐴”⟩ = (⟨“𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)
6160a1i 11 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → ⟨“𝐵𝐴”⟩ = (⟨“𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩))
6256, 59, 613eqtr4d 2786 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ cyclShift 1) = ⟨“𝐵𝐴”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {csn 4586  {ctp 4590  cop 4592   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  +crp 12915  ...cfz 13424  ..^cfzo 13567   mod cmo 13774  chash 14230  Word cword 14402   ++ cconcat 14458  ⟨“cs1 14483   substr csubstr 14528   prefix cpfx 14558   cyclShift ccsh 14676  ⟨“cs2 14730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-hash 14231  df-word 14403  df-concat 14459  df-s1 14484  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-csh 14677  df-s2 14737
This theorem is referenced by:  cycpm2tr  31968
  Copyright terms: Public domain W3C validator