Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cshw1s2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshw1s2 32929
Description: Cyclically shifting a length 2 word swaps its symbols. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)
Assertion
Ref Expression
cshw1s2 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ cyclShift 1) = ⟨“𝐵𝐴”⟩)

Proof of Theorem cshw1s2
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 s2len 14924 . . . . . . . 8 (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
21oveq2i 7441 . . . . . . 7 (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)) = (1 mod 2)
3 1re 11258 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
4 2rp 13036 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
5 0le1 11783 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
6 1lt2 12434 . . . . . . . 8 1 < 2
7 modid 13932 . . . . . . . 8 (((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 2)) → (1 mod 2) = 1)
83, 4, 5, 6, 7mp4an 693 . . . . . . 7 (1 mod 2) = 1
92, 8eqtri 2762 . . . . . 6 (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)) = 1
109, 1opeq12i 4882 . . . . 5 ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩ = ⟨1, 2⟩
1110oveq2i 7441 . . . 4 (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) = (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩)
12 s2cl 14913 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
13 tpid2g 4775 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ → 1 ∈ {0, 1, 2})
143, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8 1 ∈ {0, 1, 2}
15 fz0tp 13664 . . . . . . . 8 (0...2) = {0, 1, 2}
1614, 15eleqtrri 2837 . . . . . . 7 1 ∈ (0...2)
17 tpid3g 4776 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ+ → 2 ∈ {0, 1, 2})
184, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9 2 ∈ {0, 1, 2}
1918, 15eleqtrri 2837 . . . . . . . 8 2 ∈ (0...2)
201oveq2i 7441 . . . . . . . 8 (0...(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)) = (0...2)
2119, 20eleqtrri 2837 . . . . . . 7 2 ∈ (0...(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))
22 swrdval2 14680 . . . . . . 7 ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ (0...2) ∧ 2 ∈ (0...(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩) = (𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)) ↦ (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1))))
2316, 21, 22mp3an23 1452 . . . . . 6 (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩) = (𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)) ↦ (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1))))
2412, 23syl 17 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩) = (𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)) ↦ (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1))))
25 2m1e1 12389 . . . . . . . . 9 (2 − 1) = 1
2625oveq2i 7441 . . . . . . . 8 (0..^(2 − 1)) = (0..^1)
27 fzo01 13782 . . . . . . . 8 (0..^1) = {0}
2826, 27eqtri 2762 . . . . . . 7 (0..^(2 − 1)) = {0}
2928a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (0..^(2 − 1)) = {0})
30 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)))
3130, 28eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → 𝑖 ∈ {0})
32 elsni 4647 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ {0} → 𝑖 = 0)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → 𝑖 = 0)
3433oveq1d 7445 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (𝑖 + 1) = (0 + 1))
35 0p1e1 12385 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
3634, 35eqtrdi 2790 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (𝑖 + 1) = 1)
3736fveq2d 6910 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1)) = (⟨“𝐴𝐵”⟩‘1))
38 s2fv1 14923 . . . . . . . 8 (𝐵𝑉 → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘1) = 𝐵)
3938ad2antlr 727 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘1) = 𝐵)
4037, 39eqtrd 2774 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1)) = 𝐵)
4129, 40mpteq12dva 5236 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)) ↦ (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1))) = (𝑖 ∈ {0} ↦ 𝐵))
42 fconstmpt 5750 . . . . . 6 ({0} × {𝐵}) = (𝑖 ∈ {0} ↦ 𝐵)
43 0nn0 12538 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
44 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐵𝑉)
45 xpsng 7158 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℕ0𝐵𝑉) → ({0} × {𝐵}) = {⟨0, 𝐵⟩})
4643, 44, 45sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → ({0} × {𝐵}) = {⟨0, 𝐵⟩})
47 s1val 14632 . . . . . . . 8 (𝐵𝑉 → ⟨“𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐵⟩})
4847adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → ⟨“𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐵⟩})
4946, 48eqtr4d 2777 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → ({0} × {𝐵}) = ⟨“𝐵”⟩)
5042, 49eqtr3id 2788 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝑖 ∈ {0} ↦ 𝐵) = ⟨“𝐵”⟩)
5124, 41, 503eqtrd 2778 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩) = ⟨“𝐵”⟩)
5211, 51eqtrid 2786 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) = ⟨“𝐵”⟩)
539oveq2i 7441 . . . 4 (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))) = (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix 1)
54 pfx1s2 32907 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix 1) = ⟨“𝐴”⟩)
5553, 54eqtrid 2786 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))) = ⟨“𝐴”⟩)
5652, 55oveq12d 7448 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) ++ (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)))) = (⟨“𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩))
57 1z 12644 . . 3 1 ∈ ℤ
58 cshword 14825 . . 3 ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ cyclShift 1) = ((⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) ++ (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)))))
5912, 57, 58sylancl 586 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ cyclShift 1) = ((⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) ++ (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)))))
60 df-s2 14883 . . 3 ⟨“𝐵𝐴”⟩ = (⟨“𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)
6160a1i 11 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → ⟨“𝐵𝐴”⟩ = (⟨“𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩))
6256, 59, 613eqtr4d 2784 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ cyclShift 1) = ⟨“𝐵𝐴”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  {csn 4630  {ctp 4634  cop 4636   class class class wbr 5147  cmpt 5230   × cxp 5686  cfv 6562  (class class class)co 7430  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  2c2 12318  0cn0 12523  cz 12610  +crp 13031  ...cfz 13543  ..^cfzo 13690   mod cmo 13905  chash 14365  Word cword 14548   ++ cconcat 14604  ⟨“cs1 14629   substr csubstr 14674   prefix cpfx 14704   cyclShift ccsh 14822  ⟨“cs2 14876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-hash 14366  df-word 14549  df-concat 14605  df-s1 14630  df-substr 14675  df-pfx 14705  df-csh 14823  df-s2 14883
This theorem is referenced by:  cycpm2tr  33121
  Copyright terms: Public domain W3C validator