Theorem cshw1s2 32889

Description: Cyclically shifting a length 2 word swaps its symbols. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cshw1s2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ cyclShift 1) = ⟨“𝐵𝐴”⟩)

Proof of Theorem cshw1s2

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s2len 14862	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
2	1	oveq2i 7401	. . . . . . 7 ⊢ (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)) = (1 mod 2)
3		1re 11181	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		2rp 12963	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
5		0le1 11708	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
6		1lt2 12359	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
7		modid 13865	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 2)) → (1 mod 2) = 1)
8	3, 4, 5, 6, 7	mp4an 693	. . . . . . 7 ⊢ (1 mod 2) = 1
9	2, 8	eqtri 2753	. . . . . 6 ⊢ (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)) = 1
10	9, 1	opeq12i 4845	. . . . 5 ⊢ ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩ = ⟨1, 2⟩
11	10	oveq2i 7401	. . . 4 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) = (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩)
12		s2cl 14851	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
13		tpid2g 4738	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ∈ {0, 1, 2})
14	3, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
15		fz0tp 13596	. . . . . . . 8 ⊢ (0...2) = {0, 1, 2}
16	14, 15	eleqtrri 2828	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (0...2)
17		tpid3g 4739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → 2 ∈ {0, 1, 2})
18	4, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
19	18, 15	eleqtrri 2828	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (0...2)
20	1	oveq2i 7401	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)) = (0...2)
21	19, 20	eleqtrri 2828	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (0...(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))
22		swrdval2 14618	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ (0...2) ∧ 2 ∈ (0...(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩) = (𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)) ↦ (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1))))
23	16, 21, 22	mp3an23 1455	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩) = (𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)) ↦ (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1))))
24	12, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩) = (𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)) ↦ (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1))))
25		2m1e1 12314	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − 1) = 1
26	25	oveq2i 7401	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(2 − 1)) = (0..^1)
27		fzo01 13715	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^1) = {0}
28	26, 27	eqtri 2753	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(2 − 1)) = {0}
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (0..^(2 − 1)) = {0})
30		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)))
31	30, 28	eleqtrdi 2839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → 𝑖 ∈ {0})
32		elsni 4609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ {0} → 𝑖 = 0)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → 𝑖 = 0)
34	33	oveq1d 7405	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (𝑖 + 1) = (0 + 1))
35		0p1e1 12310	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
36	34, 35	eqtrdi 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (𝑖 + 1) = 1)
37	36	fveq2d 6865	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1)) = (⟨“𝐴𝐵”⟩‘1))
38		s2fv1 14861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘1) = 𝐵)
39	38	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘1) = 𝐵)
40	37, 39	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1)) = 𝐵)
41	29, 40	mpteq12dva 5196	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)) ↦ (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1))) = (𝑖 ∈ {0} ↦ 𝐵))
42		fconstmpt 5703	. . . . . 6 ⊢ ({0} × {𝐵}) = (𝑖 ∈ {0} ↦ 𝐵)
43		0nn0 12464	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
44		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
45		xpsng 7114	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ({0} × {𝐵}) = {⟨0, 𝐵⟩})
46	43, 44, 45	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ({0} × {𝐵}) = {⟨0, 𝐵⟩})
47		s1val 14570	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ⟨“𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐵⟩})
48	47	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ⟨“𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐵⟩})
49	46, 48	eqtr4d 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ({0} × {𝐵}) = ⟨“𝐵”⟩)
50	42, 49	eqtr3id 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑖 ∈ {0} ↦ 𝐵) = ⟨“𝐵”⟩)
51	24, 41, 50	3eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩) = ⟨“𝐵”⟩)
52	11, 51	eqtrid 2777	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) = ⟨“𝐵”⟩)
53	9	oveq2i 7401	. . . 4 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))) = (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix 1)
54		pfx1s2 32867	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix 1) = ⟨“𝐴”⟩)
55	53, 54	eqtrid 2777	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))) = ⟨“𝐴”⟩)
56	52, 55	oveq12d 7408	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) ++ (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)))) = (⟨“𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩))
57		1z 12570	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
58		cshword 14763	. . 3 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ cyclShift 1) = ((⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) ++ (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)))))
59	12, 57, 58	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ cyclShift 1) = ((⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) ++ (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)))))
60		df-s2 14821	. . 3 ⊢ ⟨“𝐵𝐴”⟩ = (⟨“𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)
61	60	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ⟨“𝐵𝐴”⟩ = (⟨“𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩))
62	56, 59, 61	3eqtr4d 2775	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ cyclShift 1) = ⟨“𝐵𝐴”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4592  {ctp 4596  ⟨cop 4598   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191   × cxp 5639  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412  2c2 12248  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ℝ⁺crp 12958  ...cfz 13475  ..^cfzo 13622   mod cmo 13838  ♯chash 14302  Word cword 14485   ++ cconcat 14542  ⟨“cs1 14567   substr csubstr 14612   prefix cpfx 14642   cyclShift ccsh 14760  ⟨“cs2 14814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-hash 14303  df-word 14486  df-concat 14543  df-s1 14568  df-substr 14613  df-pfx 14643  df-csh 14761  df-s2 14821

This theorem is referenced by:  cycpm2tr  33083