Theorem cshw1s2 33035

Description: Cyclically shifting a length 2 word swaps its symbols. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cshw1s2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ cyclShift 1) = ⟨“𝐵𝐴”⟩)

Proof of Theorem cshw1s2

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s2len 14842	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
2	1	oveq2i 7371	. . . . . . 7 ⊢ (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)) = (1 mod 2)
3		1re 11135	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		2rp 12938	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
5		0le1 11664	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
6		1lt2 12338	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
7		modid 13846	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 2)) → (1 mod 2) = 1)
8	3, 4, 5, 6, 7	mp4an 694	. . . . . . 7 ⊢ (1 mod 2) = 1
9	2, 8	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)) = 1
10	9, 1	opeq12i 4822	. . . . 5 ⊢ ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩ = ⟨1, 2⟩
11	10	oveq2i 7371	. . . 4 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) = (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩)
12		s2cl 14831	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
13		tpid2g 4716	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ∈ {0, 1, 2})
14	3, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
15		fz0tp 13573	. . . . . . . 8 ⊢ (0...2) = {0, 1, 2}
16	14, 15	eleqtrri 2836	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (0...2)
17		tpid3g 4717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → 2 ∈ {0, 1, 2})
18	4, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
19	18, 15	eleqtrri 2836	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (0...2)
20	1	oveq2i 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)) = (0...2)
21	19, 20	eleqtrri 2836	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (0...(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))
22		swrdval2 14600	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ (0...2) ∧ 2 ∈ (0...(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩) = (𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)) ↦ (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1))))
23	16, 21, 22	mp3an23 1456	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩) = (𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)) ↦ (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1))))
24	12, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩) = (𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)) ↦ (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1))))
25		2m1e1 12293	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − 1) = 1
26	25	oveq2i 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(2 − 1)) = (0..^1)
27		fzo01 13693	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^1) = {0}
28	26, 27	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(2 − 1)) = {0}
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (0..^(2 − 1)) = {0})
30		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)))
31	30, 28	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → 𝑖 ∈ {0})
32		elsni 4585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ {0} → 𝑖 = 0)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → 𝑖 = 0)
34	33	oveq1d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (𝑖 + 1) = (0 + 1))
35		0p1e1 12289	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
36	34, 35	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (𝑖 + 1) = 1)
37	36	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1)) = (⟨“𝐴𝐵”⟩‘1))
38		s2fv1 14841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘1) = 𝐵)
39	38	ad2antlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘1) = 𝐵)
40	37, 39	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1)) = 𝐵)
41	29, 40	mpteq12dva 5172	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)) ↦ (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1))) = (𝑖 ∈ {0} ↦ 𝐵))
42		fconstmpt 5686	. . . . . 6 ⊢ ({0} × {𝐵}) = (𝑖 ∈ {0} ↦ 𝐵)
43		0nn0 12443	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
44		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
45		xpsng 7086	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ({0} × {𝐵}) = {⟨0, 𝐵⟩})
46	43, 44, 45	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ({0} × {𝐵}) = {⟨0, 𝐵⟩})
47		s1val 14552	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ⟨“𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐵⟩})
48	47	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ⟨“𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐵⟩})
49	46, 48	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ({0} × {𝐵}) = ⟨“𝐵”⟩)
50	42, 49	eqtr3id 2786	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑖 ∈ {0} ↦ 𝐵) = ⟨“𝐵”⟩)
51	24, 41, 50	3eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩) = ⟨“𝐵”⟩)
52	11, 51	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) = ⟨“𝐵”⟩)
53	9	oveq2i 7371	. . . 4 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))) = (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix 1)
54		pfx1s2 33014	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix 1) = ⟨“𝐴”⟩)
55	53, 54	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))) = ⟨“𝐴”⟩)
56	52, 55	oveq12d 7378	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) ++ (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)))) = (⟨“𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩))
57		1z 12548	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
58		cshword 14744	. . 3 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ cyclShift 1) = ((⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) ++ (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)))))
59	12, 57, 58	sylancl 587	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ cyclShift 1) = ((⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) ++ (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)))))
60		df-s2 14801	. . 3 ⊢ ⟨“𝐵𝐴”⟩ = (⟨“𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)
61	60	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ⟨“𝐵𝐴”⟩ = (⟨“𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩))
62	56, 59, 61	3eqtr4d 2782	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ cyclShift 1) = ⟨“𝐵𝐴”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4568  {ctp 4572  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   × cxp 5622  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℝ⁺crp 12933  ...cfz 13452  ..^cfzo 13599   mod cmo 13819  ♯chash 14283  Word cword 14466   ++ cconcat 14523  ⟨“cs1 14549   substr csubstr 14594   prefix cpfx 14624   cyclShift ccsh 14741  ⟨“cs2 14794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-csh 14742  df-s2 14801

This theorem is referenced by:  cycpm2tr  33195