Theorem cshw1s2 31228

Description: Cyclically shifting a length 2 word swaps its symbols. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cshw1s2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ cyclShift 1) = ⟨“𝐵𝐴”⟩)

Proof of Theorem cshw1s2

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s2len 14600	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
2	1	oveq2i 7282	. . . . . . 7 ⊢ (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)) = (1 mod 2)
3		1re 10976	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		2rp 12734	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
5		0le1 11498	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
6		1lt2 12144	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
7		modid 13614	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 2)) → (1 mod 2) = 1)
8	3, 4, 5, 6, 7	mp4an 690	. . . . . . 7 ⊢ (1 mod 2) = 1
9	2, 8	eqtri 2768	. . . . . 6 ⊢ (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)) = 1
10	9, 1	opeq12i 4815	. . . . 5 ⊢ ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩ = ⟨1, 2⟩
11	10	oveq2i 7282	. . . 4 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) = (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩)
12		s2cl 14589	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
13		tpid2g 4713	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ∈ {0, 1, 2})
14	3, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
15		fz0tp 13356	. . . . . . . 8 ⊢ (0...2) = {0, 1, 2}
16	14, 15	eleqtrri 2840	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (0...2)
17		tpid3g 4714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → 2 ∈ {0, 1, 2})
18	4, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
19	18, 15	eleqtrri 2840	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (0...2)
20	1	oveq2i 7282	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)) = (0...2)
21	19, 20	eleqtrri 2840	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (0...(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))
22		swrdval2 14357	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ (0...2) ∧ 2 ∈ (0...(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩) = (𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)) ↦ (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1))))
23	16, 21, 22	mp3an23 1452	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩) = (𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)) ↦ (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1))))
24	12, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩) = (𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)) ↦ (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1))))
25		2m1e1 12099	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − 1) = 1
26	25	oveq2i 7282	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(2 − 1)) = (0..^1)
27		fzo01 13467	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^1) = {0}
28	26, 27	eqtri 2768	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(2 − 1)) = {0}
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (0..^(2 − 1)) = {0})
30		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)))
31	30, 28	eleqtrdi 2851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → 𝑖 ∈ {0})
32		elsni 4584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ {0} → 𝑖 = 0)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → 𝑖 = 0)
34	33	oveq1d 7286	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (𝑖 + 1) = (0 + 1))
35		0p1e1 12095	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
36	34, 35	eqtrdi 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (𝑖 + 1) = 1)
37	36	fveq2d 6775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1)) = (⟨“𝐴𝐵”⟩‘1))
38		s2fv1 14599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘1) = 𝐵)
39	38	ad2antlr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘1) = 𝐵)
40	37, 39	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(2 − 1))) → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1)) = 𝐵)
41	29, 40	mpteq12dva 5168	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑖 ∈ (0..^(2 − 1)) ↦ (⟨“𝐴𝐵”⟩‘(𝑖 + 1))) = (𝑖 ∈ {0} ↦ 𝐵))
42		fconstmpt 5650	. . . . . 6 ⊢ ({0} × {𝐵}) = (𝑖 ∈ {0} ↦ 𝐵)
43		0nn0 12248	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
44		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
45		xpsng 7008	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ({0} × {𝐵}) = {⟨0, 𝐵⟩})
46	43, 44, 45	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ({0} × {𝐵}) = {⟨0, 𝐵⟩})
47		s1val 14301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ⟨“𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐵⟩})
48	47	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ⟨“𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐵⟩})
49	46, 48	eqtr4d 2783	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ({0} × {𝐵}) = ⟨“𝐵”⟩)
50	42, 49	eqtr3id 2794	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑖 ∈ {0} ↦ 𝐵) = ⟨“𝐵”⟩)
51	24, 41, 50	3eqtrd 2784	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨1, 2⟩) = ⟨“𝐵”⟩)
52	11, 51	eqtrid 2792	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) = ⟨“𝐵”⟩)
53	9	oveq2i 7282	. . . 4 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))) = (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix 1)
54		pfx1s2 31209	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix 1) = ⟨“𝐴”⟩)
55	53, 54	eqtrid 2792	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))) = ⟨“𝐴”⟩)
56	52, 55	oveq12d 7289	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) ++ (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)))) = (⟨“𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩))
57		1z 12350	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
58		cshword 14502	. . 3 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ cyclShift 1) = ((⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) ++ (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)))))
59	12, 57, 58	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ cyclShift 1) = ((⟨“𝐴𝐵”⟩ substr ⟨(1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)), (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)⟩) ++ (⟨“𝐴𝐵”⟩ prefix (1 mod (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)))))
60		df-s2 14559	. . 3 ⊢ ⟨“𝐵𝐴”⟩ = (⟨“𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)
61	60	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ⟨“𝐵𝐴”⟩ = (⟨“𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩))
62	56, 59, 61	3eqtr4d 2790	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ cyclShift 1) = ⟨“𝐵𝐴”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  {csn 4567  {ctp 4571  ⟨cop 4573   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5162   × cxp 5588  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  ℝcr 10871  0cc0 10872  1c1 10873   + caddc 10875   < clt 11010   ≤ cle 11011   − cmin 11205  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ℝ⁺crp 12729  ...cfz 13238  ..^cfzo 13381   mod cmo 13587  ♯chash 14042  Word cword 14215   ++ cconcat 14271  ⟨“cs1 14298   substr csubstr 14351   prefix cpfx 14381   cyclShift ccsh 14499  ⟨“cs2 14552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-sup 9179  df-inf 9180  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12582  df-rp 12730  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-fl 13510  df-mod 13588  df-hash 14043  df-word 14216  df-concat 14272  df-s1 14299  df-substr 14352  df-pfx 14382  df-csh 14500  df-s2 14559

This theorem is referenced by:  cycpm2tr  31382