Theorem liminfgelimsup 46995

Description: The inferior limit is greater than or equal to the superior limit if and only if they are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfgelimsup.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
liminfgelimsup.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
liminfgelimsup	⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹) ↔ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)))

Distinct variable group:   𝑗,𝐹,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗, 𝑘)   𝑉(𝑗, 𝑘)

Proof of Theorem liminfgelimsup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		liminfgelimsup.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
2	1	liminfcld 46983	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
3	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
4	1	limsupcld 46903	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
6		liminfgelimsup.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
7	1, 6	liminflelimsup 46989	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))
9		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))
10	3, 5, 8, 9	xrletrid 13308	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))
11	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
12		id 23	. . . . 5 ⊢ ((lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹) → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))
13	12	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ ((lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹) → (lim sup‘𝐹) = (lim inf‘𝐹))
14	13	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)) → (lim sup‘𝐹) = (lim inf‘𝐹))
15	11, 14	xreqled 46545	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)) → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))
16	10, 15	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹) ↔ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ∩ cin 4092  ∅c0 4281   class class class wbr 5106   “ cima 5658  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℝcr 11223  +∞cpnf 11364  ℝ^*cxr 11366   ≤ cle 11368  [,)cico 13502  lim supclsp 15663  lim infclsi 46964

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-sup 9458  df-inf 9459  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-ico 13506  df-limsup 15664  df-liminf 46965

This theorem is used by: (None)