Theorem liminfgelimsup 45778

Description: The inferior limit is greater than or equal to the superior limit if and only if they are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfgelimsup.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
liminfgelimsup.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
liminfgelimsup	⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹) ↔ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)))

Distinct variable group:   𝑗,𝐹,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝑉(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem liminfgelimsup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		liminfgelimsup.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
2	1	liminfcld 45766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
4	1	limsupcld 45686	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
6		liminfgelimsup.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
7	1, 6	liminflelimsup 45772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))
9		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))
10	3, 5, 8, 9	xrletrid 13176	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))
11	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
12		id 22	. . . . 5 ⊢ ((lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹) → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))
13	12	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ ((lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹) → (lim sup‘𝐹) = (lim inf‘𝐹))
14	13	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)) → (lim sup‘𝐹) = (lim inf‘𝐹))
15	11, 14	xreqled 45324	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)) → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))
16	10, 15	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹) ↔ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3061   ∩ cin 3930  ∅c0 4313   class class class wbr 5124   “ cima 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  +∞cpnf 11271  ℝ^*cxr 11273   ≤ cle 11275  [,)cico 13369  lim supclsp 15491  lim infclsi 45747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-ico 13373  df-limsup 15492  df-liminf 45748

This theorem is referenced by: (None)