Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfgelimsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfgelimsup 45093
Description: The inferior limit is greater than or equal to the superior limit if and only if they are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfgelimsup.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
liminfgelimsup.2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ (π‘˜[,)+∞)((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…)
Assertion
Ref Expression
liminfgelimsup (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ) ↔ (lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ)))
Distinct variable group:   𝑗,𝐹,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑗,π‘˜)   𝑉(𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem liminfgelimsup
StepHypRef Expression
1 liminfgelimsup.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
21liminfcld 45081 . . . 4 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
32adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ)) β†’ (lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
41limsupcld 45001 . . . 4 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
54adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
6 liminfgelimsup.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ (π‘˜[,)+∞)((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…)
71, 6liminflelimsup 45087 . . . 4 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) ≀ (lim supβ€˜πΉ))
87adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ)) β†’ (lim infβ€˜πΉ) ≀ (lim supβ€˜πΉ))
9 simpr 484 . . 3 ((πœ‘ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ))
103, 5, 8, 9xrletrid 13158 . 2 ((πœ‘ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ)) β†’ (lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ))
114adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
12 id 22 . . . . 5 ((lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ) β†’ (lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ))
1312eqcomd 2733 . . . 4 ((lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ) β†’ (lim supβ€˜πΉ) = (lim infβ€˜πΉ))
1413adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) = (lim infβ€˜πΉ))
1511, 14xreqled 44635 . 2 ((πœ‘ ∧ (lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ))
1610, 15impbida 800 1 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ) ↔ (lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065   ∩ cin 3943  βˆ…c0 4318   class class class wbr 5142   β€œ cima 5675  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„cr 11129  +∞cpnf 11267  β„*cxr 11269   ≀ cle 11271  [,)cico 13350  lim supclsp 15438  lim infclsi 45062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-ico 13354  df-limsup 15439  df-liminf 45063
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator