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Theorem suplesup 43563
Description: If any element of 𝐴 can be approximated from below by members of 𝐵, then the supremum of 𝐴 is less than or equal to the supremum of 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
suplesup.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
suplesup.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
suplesup.c (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐵 (𝑥𝑦) < 𝑧)
Assertion
Ref Expression
suplesup (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem suplesup
Dummy variables 𝑟 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suplesup.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2 ressxr 11199 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℝ*
31, 2sstrdi 3956 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
4 supxrcl 13234 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
65adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
7 eqidd 2737 . . . 4 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → +∞ = +∞)
8 simpr 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
9 peano2re 11328 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 + 1) ∈ ℝ)
109adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 + 1) ∈ ℝ)
113adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
12 supxrunb2 13239 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟 < 𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟 < 𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
148, 13mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟 < 𝑥)
1514adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟 < 𝑥)
16 breq1 5108 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (𝑤 + 1) → (𝑟 < 𝑥 ↔ (𝑤 + 1) < 𝑥))
1716rexbidv 3175 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = (𝑤 + 1) → (∃𝑥𝐴 𝑟 < 𝑥 ↔ ∃𝑥𝐴 (𝑤 + 1) < 𝑥))
1817rspcva 3579 . . . . . . . . 9 (((𝑤 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟 < 𝑥) → ∃𝑥𝐴 (𝑤 + 1) < 𝑥)
1910, 15, 18syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑥𝐴 (𝑤 + 1) < 𝑥)
20 1rp 12919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ+
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → 1 ∈ ℝ+)
22 suplesup.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐵 (𝑥𝑦) < 𝑧)
2322r19.21bi 3234 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐵 (𝑥𝑦) < 𝑧)
24 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 1 → (𝑥𝑦) = (𝑥 − 1))
2524breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 1 → ((𝑥𝑦) < 𝑧 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑧))
2625rexbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 1 → (∃𝑧𝐵 (𝑥𝑦) < 𝑧 ↔ ∃𝑧𝐵 (𝑥 − 1) < 𝑧))
2726rspcva 3579 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐵 (𝑥𝑦) < 𝑧) → ∃𝑧𝐵 (𝑥 − 1) < 𝑧)
2821, 23, 27syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑧𝐵 (𝑥 − 1) < 𝑧)
2928adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ∃𝑧𝐵 (𝑥 − 1) < 𝑧)
30293adant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → ∃𝑧𝐵 (𝑥 − 1) < 𝑧)
31 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥)
32 simp11r 1285 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → 𝑤 ∈ ℝ)
332, 32sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → 𝑤 ∈ ℝ*)
341sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
35 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐴) → 1 ∈ ℝ)
3634, 35resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
3736adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
38373adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
39383ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
402, 39sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ*)
41 suplesup.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
4241sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ*)
4342adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ*)
44433ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ*)
45443adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ*)
46 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → (𝑤 + 1) < 𝑥)
47 simp1r 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → 𝑤 ∈ ℝ)
48 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → 1 ∈ ℝ)
4934adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
50493adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
5147, 48, 50ltaddsubd 11755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → ((𝑤 + 1) < 𝑥𝑤 < (𝑥 − 1)))
5246, 51mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → 𝑤 < (𝑥 − 1))
53523ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → 𝑤 < (𝑥 − 1))
54 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → (𝑥 − 1) < 𝑧)
5533, 40, 45, 53, 54xrlttrd 13078 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → 𝑤 < 𝑧)
56553exp 1119 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → (𝑧𝐵 → ((𝑥 − 1) < 𝑧𝑤 < 𝑧)))
5731, 56reximdai 3244 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → (∃𝑧𝐵 (𝑥 − 1) < 𝑧 → ∃𝑧𝐵 𝑤 < 𝑧))
5830, 57mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → ∃𝑧𝐵 𝑤 < 𝑧)
59583exp 1119 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴 → ((𝑤 + 1) < 𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑤 < 𝑧)))
6059adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴 → ((𝑤 + 1) < 𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑤 < 𝑧)))
6160rexlimdv 3150 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∃𝑥𝐴 (𝑤 + 1) < 𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑤 < 𝑧))
6219, 61mpd 15 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑧𝐵 𝑤 < 𝑧)
632a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
6463sselda 3944 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ*)
6564ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑤 ∈ ℝ*)
6643adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ*)
67 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑤 < 𝑧)
6865, 66, 67xrltled 13069 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑤𝑧)
6968ex 413 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑤 < 𝑧𝑤𝑧))
7069adantllr 717 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑤 < 𝑧𝑤𝑧))
7170reximdva 3165 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∃𝑧𝐵 𝑤 < 𝑧 → ∃𝑧𝐵 𝑤𝑧))
7262, 71mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑧𝐵 𝑤𝑧)
7372ralrimiva 3143 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑧𝐵 𝑤𝑧)
74 supxrunb1 13238 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑧𝐵 𝑤𝑧 ↔ sup(𝐵, ℝ*, < ) = +∞))
7541, 74syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑧𝐵 𝑤𝑧 ↔ sup(𝐵, ℝ*, < ) = +∞))
7675adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑧𝐵 𝑤𝑧 ↔ sup(𝐵, ℝ*, < ) = +∞))
7773, 76mpbid 231 . . . 4 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐵, ℝ*, < ) = +∞)
787, 8, 773eqtr4d 2786 . . 3 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(𝐵, ℝ*, < ))
796, 78xreqled 43554 . 2 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
80 supeq1 9381 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(∅, ℝ*, < ))
81 xrsup0 13242 . . . . . . . 8 sup(∅, ℝ*, < ) = -∞
8281a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → sup(∅, ℝ*, < ) = -∞)
8380, 82eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -∞)
8483adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -∞)
85 supxrcl 13234 . . . . . . . 8 (𝐵 ⊆ ℝ* → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8641, 85syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
87 mnfle 13055 . . . . . . 7 (sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → -∞ ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
8886, 87syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → -∞ ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
8988adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = ∅) → -∞ ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
9084, 89eqbrtrd 5127 . . . 4 ((𝜑𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
9190adantlr 713 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
92 simpll 765 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝜑)
931adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ ℝ)
94 neqne 2951 . . . . . . . . 9 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
9594adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
96 supxrgtmnf 13248 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
9793, 95, 96syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
9897adantlr 713 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
99 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
100 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝜑)
101 nltpnft 13083 . . . . . . . . . 10 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
102100, 5, 1013syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
10399, 102mtbid 323 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ¬ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
104 notnotr 130 . . . . . . . 8 (¬ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞ → sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
105103, 104syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
106105adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
10798, 106jca 512 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
10892, 5syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
109 xrrebnd 13087 . . . . . 6 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
110108, 109syl 17 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
111107, 110mpbird 256 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
112 nfv 1917 . . . . 5 𝑤(𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
11341adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → 𝐵 ⊆ ℝ*)
114 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
115114adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
116 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
117116rphalfcld 12969 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
118115, 117ltsubrpd 12989 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < sup(𝐴, ℝ*, < ))
1193ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
120 rpre 12923 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ)
121 2re 12227 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℝ)
123 2ne0 12257 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℝ+ → 2 ≠ 0)
125120, 122, 124redivcld 11983 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
126125adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
127115, 126resubcld 11583 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
1282, 127sselid 3942 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ*)
129 supxrlub 13244 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ*) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∃𝑥𝐴 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥))
130119, 128, 129syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∃𝑥𝐴 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥))
131118, 130mpbid 231 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑥𝐴 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥)
132 rphalfcl 12942 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
1331323ad2ant2 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+𝑥𝐴) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
134233adant2 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+𝑥𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐵 (𝑥𝑦) < 𝑧)
135 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑤 / 2) → (𝑥𝑦) = (𝑥 − (𝑤 / 2)))
136135breq1d 5115 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑤 / 2) → ((𝑥𝑦) < 𝑧 ↔ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧))
137136rexbidv 3175 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑤 / 2) → (∃𝑧𝐵 (𝑥𝑦) < 𝑧 ↔ ∃𝑧𝐵 (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧))
138137rspcva 3579 . . . . . . . . . 10 (((𝑤 / 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐵 (𝑥𝑦) < 𝑧) → ∃𝑧𝐵 (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧)
139133, 134, 138syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+𝑥𝐴) → ∃𝑧𝐵 (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧)
140139ad5ant134 1367 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) → ∃𝑧𝐵 (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧)
141 recn 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℂ)
142141adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℂ)
143120recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℂ)
144143adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℂ)
145144halfcld 12398 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈ ℂ)
146142, 145, 145subsub4d 11543 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) = (sup(𝐴, ℝ*, < ) − ((𝑤 / 2) + (𝑤 / 2))))
1471432halvesd 12399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℝ+ → ((𝑤 / 2) + (𝑤 / 2)) = 𝑤)
148147oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ℝ+ → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − ((𝑤 / 2) + (𝑤 / 2))) = (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤))
149148adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − ((𝑤 / 2) + (𝑤 / 2))) = (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤))
150146, 149eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) = ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)))
151150adantll 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) = ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)))
152151adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) = ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)))
153152ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) = ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)))
154127, 126resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
155154adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
156155ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
1572, 156sselid 3942 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ*)
158120, 49sylanl2 679 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
159125ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
160158, 159resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
161160adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
162161ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (𝑥 − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
1632, 162sselid 3942 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (𝑥 − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ*)
164 simp-6l 785 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → 𝜑)
165 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → 𝑧𝐵)
166164, 165, 42syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ*)
167 simp-6r 786 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
168120ad5antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → 𝑤 ∈ ℝ)
169168rehalfcld 12400 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
170167, 169resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
171 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → 𝑥𝐴)
172164, 171, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → 𝑥 ∈ ℝ)
173 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥)
174170, 172, 169, 173ltsub1dd 11767 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) < (𝑥 − (𝑤 / 2)))
175 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧)
176157, 163, 166, 174, 175xrlttrd 13078 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) < 𝑧)
177153, 176eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧)
178177ex 413 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧 → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧))
179178reximdva 3165 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) → (∃𝑧𝐵 (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧 → ∃𝑧𝐵 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧))
180140, 179mpd 15 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) → ∃𝑧𝐵 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧)
181180rexlimdva2 3154 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑥𝐴 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥 → ∃𝑧𝐵 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧))
182131, 181mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝐵 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧)
183112, 113, 114, 182supxrgere 43557 . . . 4 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
18492, 111, 183syl2anc 584 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
18591, 184pm2.61dan 811 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
18679, 185pm2.61dan 811 1 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  supcsup 9376  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  +∞cpnf 11186  -∞cmnf 11187  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  2c2 12208  +crp 12915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-2 12216  df-rp 12916
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