Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  suplesup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suplesup 42400
Description: If any element of 𝐴 can be approximated from below by members of 𝐵, then the supremum of 𝐴 is less than or equal to the supremum of 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
suplesup.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
suplesup.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
suplesup.c (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐵 (𝑥𝑦) < 𝑧)
Assertion
Ref Expression
suplesup (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem suplesup
Dummy variables 𝑟 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suplesup.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2 ressxr 10756 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℝ*
31, 2sstrdi 3887 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
4 supxrcl 12784 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
65adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
7 eqidd 2739 . . . 4 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → +∞ = +∞)
8 simpr 488 . . . 4 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
9 peano2re 10884 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 + 1) ∈ ℝ)
109adantl 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 + 1) ∈ ℝ)
113adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
12 supxrunb2 12789 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟 < 𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟 < 𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
148, 13mpbird 260 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟 < 𝑥)
1514adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟 < 𝑥)
16 breq1 5030 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (𝑤 + 1) → (𝑟 < 𝑥 ↔ (𝑤 + 1) < 𝑥))
1716rexbidv 3206 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = (𝑤 + 1) → (∃𝑥𝐴 𝑟 < 𝑥 ↔ ∃𝑥𝐴 (𝑤 + 1) < 𝑥))
1817rspcva 3522 . . . . . . . . 9 (((𝑤 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟 < 𝑥) → ∃𝑥𝐴 (𝑤 + 1) < 𝑥)
1910, 15, 18syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑥𝐴 (𝑤 + 1) < 𝑥)
20 1rp 12469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ+
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → 1 ∈ ℝ+)
22 suplesup.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐵 (𝑥𝑦) < 𝑧)
2322r19.21bi 3120 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐵 (𝑥𝑦) < 𝑧)
24 oveq2 7172 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 1 → (𝑥𝑦) = (𝑥 − 1))
2524breq1d 5037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 1 → ((𝑥𝑦) < 𝑧 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑧))
2625rexbidv 3206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 1 → (∃𝑧𝐵 (𝑥𝑦) < 𝑧 ↔ ∃𝑧𝐵 (𝑥 − 1) < 𝑧))
2726rspcva 3522 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐵 (𝑥𝑦) < 𝑧) → ∃𝑧𝐵 (𝑥 − 1) < 𝑧)
2821, 23, 27syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑧𝐵 (𝑥 − 1) < 𝑧)
2928adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ∃𝑧𝐵 (𝑥 − 1) < 𝑧)
30293adant3 1133 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → ∃𝑧𝐵 (𝑥 − 1) < 𝑧)
31 nfv 1920 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥)
32 simp11r 1286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → 𝑤 ∈ ℝ)
332, 32sseldi 3873 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → 𝑤 ∈ ℝ*)
341sselda 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
35 1red 10713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐴) → 1 ∈ ℝ)
3634, 35resubcld 11139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
3736adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
38373adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
39383ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
402, 39sseldi 3873 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ*)
41 suplesup.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
4241sselda 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ*)
4342adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ*)
44433ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ*)
45443adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ*)
46 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → (𝑤 + 1) < 𝑥)
47 simp1r 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → 𝑤 ∈ ℝ)
48 1red 10713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → 1 ∈ ℝ)
4934adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
50493adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
5147, 48, 50ltaddsubd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → ((𝑤 + 1) < 𝑥𝑤 < (𝑥 − 1)))
5246, 51mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → 𝑤 < (𝑥 − 1))
53523ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → 𝑤 < (𝑥 − 1))
54 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → (𝑥 − 1) < 𝑧)
5533, 40, 45, 53, 54xrlttrd 12628 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → 𝑤 < 𝑧)
56553exp 1120 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → (𝑧𝐵 → ((𝑥 − 1) < 𝑧𝑤 < 𝑧)))
5731, 56reximdai 3220 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → (∃𝑧𝐵 (𝑥 − 1) < 𝑧 → ∃𝑧𝐵 𝑤 < 𝑧))
5830, 57mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → ∃𝑧𝐵 𝑤 < 𝑧)
59583exp 1120 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴 → ((𝑤 + 1) < 𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑤 < 𝑧)))
6059adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴 → ((𝑤 + 1) < 𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑤 < 𝑧)))
6160rexlimdv 3192 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∃𝑥𝐴 (𝑤 + 1) < 𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑤 < 𝑧))
6219, 61mpd 15 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑧𝐵 𝑤 < 𝑧)
632a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
6463sselda 3875 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ*)
6564ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑤 ∈ ℝ*)
6643adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ*)
67 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑤 < 𝑧)
6865, 66, 67xrltled 12619 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑤𝑧)
6968ex 416 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑤 < 𝑧𝑤𝑧))
7069adantllr 719 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑤 < 𝑧𝑤𝑧))
7170reximdva 3183 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∃𝑧𝐵 𝑤 < 𝑧 → ∃𝑧𝐵 𝑤𝑧))
7262, 71mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑧𝐵 𝑤𝑧)
7372ralrimiva 3096 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑧𝐵 𝑤𝑧)
74 supxrunb1 12788 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑧𝐵 𝑤𝑧 ↔ sup(𝐵, ℝ*, < ) = +∞))
7541, 74syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑧𝐵 𝑤𝑧 ↔ sup(𝐵, ℝ*, < ) = +∞))
7675adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑧𝐵 𝑤𝑧 ↔ sup(𝐵, ℝ*, < ) = +∞))
7773, 76mpbid 235 . . . 4 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐵, ℝ*, < ) = +∞)
787, 8, 773eqtr4d 2783 . . 3 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(𝐵, ℝ*, < ))
796, 78xreqled 42391 . 2 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
80 supeq1 8975 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(∅, ℝ*, < ))
81 xrsup0 12792 . . . . . . . 8 sup(∅, ℝ*, < ) = -∞
8281a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → sup(∅, ℝ*, < ) = -∞)
8380, 82eqtrd 2773 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -∞)
8483adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -∞)
85 supxrcl 12784 . . . . . . . 8 (𝐵 ⊆ ℝ* → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8641, 85syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
87 mnfle 12605 . . . . . . 7 (sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → -∞ ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
8886, 87syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → -∞ ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
8988adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = ∅) → -∞ ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
9084, 89eqbrtrd 5049 . . . 4 ((𝜑𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
9190adantlr 715 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
92 simpll 767 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝜑)
931adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ ℝ)
94 neqne 2942 . . . . . . . . 9 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
9594adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
96 supxrgtmnf 12798 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
9793, 95, 96syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
9897adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
99 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
100 simpl 486 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝜑)
101 nltpnft 12633 . . . . . . . . . 10 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
102100, 5, 1013syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
10399, 102mtbid 327 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ¬ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
104 notnotr 132 . . . . . . . 8 (¬ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞ → sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
105103, 104syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
106105adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
10798, 106jca 515 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
10892, 5syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
109 xrrebnd 12637 . . . . . 6 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
110108, 109syl 17 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
111107, 110mpbird 260 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
112 nfv 1920 . . . . 5 𝑤(𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
11341adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → 𝐵 ⊆ ℝ*)
114 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
115114adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
116 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
117116rphalfcld 12519 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
118115, 117ltsubrpd 12539 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < sup(𝐴, ℝ*, < ))
1193ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
120 rpre 12473 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ)
121 2re 11783 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℝ)
123 2ne0 11813 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℝ+ → 2 ≠ 0)
125120, 122, 124redivcld 11539 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
126125adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
127115, 126resubcld 11139 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
1282, 127sseldi 3873 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ*)
129 supxrlub 12794 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ*) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∃𝑥𝐴 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥))
130119, 128, 129syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∃𝑥𝐴 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥))
131118, 130mpbid 235 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑥𝐴 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥)
132 rphalfcl 12492 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
1331323ad2ant2 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+𝑥𝐴) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
134233adant2 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+𝑥𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐵 (𝑥𝑦) < 𝑧)
135 oveq2 7172 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑤 / 2) → (𝑥𝑦) = (𝑥 − (𝑤 / 2)))
136135breq1d 5037 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑤 / 2) → ((𝑥𝑦) < 𝑧 ↔ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧))
137136rexbidv 3206 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑤 / 2) → (∃𝑧𝐵 (𝑥𝑦) < 𝑧 ↔ ∃𝑧𝐵 (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧))
138137rspcva 3522 . . . . . . . . . 10 (((𝑤 / 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐵 (𝑥𝑦) < 𝑧) → ∃𝑧𝐵 (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧)
139133, 134, 138syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+𝑥𝐴) → ∃𝑧𝐵 (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧)
140139ad5ant134 1368 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) → ∃𝑧𝐵 (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧)
141 recn 10698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℂ)
142141adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℂ)
143120recnd 10740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℂ)
144143adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℂ)
145144halfcld 11954 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈ ℂ)
146142, 145, 145subsub4d 11099 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) = (sup(𝐴, ℝ*, < ) − ((𝑤 / 2) + (𝑤 / 2))))
1471432halvesd 11955 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℝ+ → ((𝑤 / 2) + (𝑤 / 2)) = 𝑤)
148147oveq2d 7180 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ℝ+ → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − ((𝑤 / 2) + (𝑤 / 2))) = (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤))
149148adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − ((𝑤 / 2) + (𝑤 / 2))) = (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤))
150146, 149eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) = ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)))
151150adantll 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) = ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)))
152151adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) = ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)))
153152ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) = ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)))
154127, 126resubcld 11139 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
155154adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
156155ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
1572, 156sseldi 3873 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ*)
158120, 49sylanl2 681 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
159125ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
160158, 159resubcld 11139 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
161160adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
162161ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (𝑥 − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
1632, 162sseldi 3873 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (𝑥 − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ*)
164 simp-6l 787 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → 𝜑)
165 simplr 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → 𝑧𝐵)
166164, 165, 42syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ*)
167 simp-6r 788 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
168120ad5antlr 735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → 𝑤 ∈ ℝ)
169168rehalfcld 11956 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
170167, 169resubcld 11139 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
171 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → 𝑥𝐴)
172164, 171, 34syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → 𝑥 ∈ ℝ)
173 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥)
174170, 172, 169, 173ltsub1dd 11323 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) < (𝑥 − (𝑤 / 2)))
175 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧)
176157, 163, 166, 174, 175xrlttrd 12628 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) < 𝑧)
177153, 176eqbrtrd 5049 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧)
178177ex 416 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧 → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧))
179178reximdva 3183 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) → (∃𝑧𝐵 (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧 → ∃𝑧𝐵 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧))
180140, 179mpd 15 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) → ∃𝑧𝐵 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧)
181180rexlimdva2 3196 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑥𝐴 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥 → ∃𝑧𝐵 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧))
182131, 181mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝐵 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧)
183112, 113, 114, 182supxrgere 42394 . . . 4 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
18492, 111, 183syl2anc 587 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
18591, 184pm2.61dan 813 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
18679, 185pm2.61dan 813 1 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934  wral 3053  wrex 3054  wss 3841  c0 4209   class class class wbr 5027  (class class class)co 7164  supcsup 8970  cc 10606  cr 10607  0cc0 10608  1c1 10609   + caddc 10611  +∞cpnf 10743  -∞cmnf 10744  *cxr 10745   < clt 10746  cle 10747  cmin 10941   / cdiv 11368  2c2 11764  +crp 12465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-op 4520  df-uni 4794  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-sup 8972  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-2 11772  df-rp 12466
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator