Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | suplesup.a |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ) |
2 | | ressxr 10756 |
. . . . . 6
⊢ ℝ
⊆ ℝ* |
3 | 1, 2 | sstrdi 3887 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆
ℝ*) |
4 | | supxrcl 12784 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ⊆ ℝ*
→ sup(𝐴,
ℝ*, < ) ∈ ℝ*) |
5 | 3, 4 | syl 17 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ*) |
6 | 5 | adantr 484 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
→ sup(𝐴,
ℝ*, < ) ∈ ℝ*) |
7 | | eqidd 2739 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
→ +∞ = +∞) |
8 | | simpr 488 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
→ sup(𝐴,
ℝ*, < ) = +∞) |
9 | | peano2re 10884 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 + 1) ∈
ℝ) |
10 | 9 | adantl 485 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
∧ 𝑤 ∈ ℝ)
→ (𝑤 + 1) ∈
ℝ) |
11 | 3 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
→ 𝐴 ⊆
ℝ*) |
12 | | supxrunb2 12789 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ⊆ ℝ*
→ (∀𝑟 ∈
ℝ ∃𝑥 ∈
𝐴 𝑟 < 𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) =
+∞)) |
13 | 11, 12 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
→ (∀𝑟 ∈
ℝ ∃𝑥 ∈
𝐴 𝑟 < 𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) =
+∞)) |
14 | 8, 13 | mpbird 260 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
→ ∀𝑟 ∈
ℝ ∃𝑥 ∈
𝐴 𝑟 < 𝑥) |
15 | 14 | adantr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
∧ 𝑤 ∈ ℝ)
→ ∀𝑟 ∈
ℝ ∃𝑥 ∈
𝐴 𝑟 < 𝑥) |
16 | | breq1 5030 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑟 = (𝑤 + 1) → (𝑟 < 𝑥 ↔ (𝑤 + 1) < 𝑥)) |
17 | 16 | rexbidv 3206 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑟 = (𝑤 + 1) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑟 < 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑤 + 1) < 𝑥)) |
18 | 17 | rspcva 3522 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑤 + 1) ∈ ℝ ∧
∀𝑟 ∈ ℝ
∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑟 < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑤 + 1) < 𝑥) |
19 | 10, 15, 18 | syl2anc 587 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
∧ 𝑤 ∈ ℝ)
→ ∃𝑥 ∈
𝐴 (𝑤 + 1) < 𝑥) |
20 | | 1rp 12469 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 1 ∈
ℝ+ |
21 | 20 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 1 ∈
ℝ+) |
22 | | suplesup.c |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 − 𝑦) < 𝑧) |
23 | 22 | r19.21bi 3120 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 − 𝑦) < 𝑧) |
24 | | oveq2 7172 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑦 = 1 → (𝑥 − 𝑦) = (𝑥 − 1)) |
25 | 24 | breq1d 5037 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑦 = 1 → ((𝑥 − 𝑦) < 𝑧 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑧)) |
26 | 25 | rexbidv 3206 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑦 = 1 → (∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 − 𝑦) < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 − 1) < 𝑧)) |
27 | 26 | rspcva 3522 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((1
∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 − 𝑦) < 𝑧) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 − 1) < 𝑧) |
28 | 21, 23, 27 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 − 1) < 𝑧) |
29 | 28 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 − 1) < 𝑧) |
30 | 29 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 − 1) < 𝑧) |
31 | | nfv 1920 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑧((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) |
32 | | simp11r 1286 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → 𝑤 ∈ ℝ) |
33 | 2, 32 | sseldi 3873 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → 𝑤 ∈ ℝ*) |
34 | 1 | sselda 3875 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ) |
35 | | 1red 10713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℝ) |
36 | 34, 35 | resubcld 11139 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ) |
37 | 36 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ) |
38 | 37 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ) |
39 | 38 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ) |
40 | 2, 39 | sseldi 3873 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → (𝑥 − 1) ∈
ℝ*) |
41 | | suplesup.b |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆
ℝ*) |
42 | 41 | sselda 3875 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ*) |
43 | 42 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ*) |
44 | 43 | 3ad2antl1 1186 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ*) |
45 | 44 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ*) |
46 | | simp3 1139 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → (𝑤 + 1) < 𝑥) |
47 | | simp1r 1199 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → 𝑤 ∈ ℝ) |
48 | | 1red 10713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → 1 ∈ ℝ) |
49 | 34 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ) |
50 | 49 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ) |
51 | 47, 48, 50 | ltaddsubd 11311 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → ((𝑤 + 1) < 𝑥 ↔ 𝑤 < (𝑥 − 1))) |
52 | 46, 51 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → 𝑤 < (𝑥 − 1)) |
53 | 52 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → 𝑤 < (𝑥 − 1)) |
54 | | simp3 1139 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → (𝑥 − 1) < 𝑧) |
55 | 33, 40, 45, 53, 54 | xrlttrd 12628 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → 𝑤 < 𝑧) |
56 | 55 | 3exp 1120 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝑥 − 1) < 𝑧 → 𝑤 < 𝑧))) |
57 | 31, 56 | reximdai 3220 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 − 1) < 𝑧 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑤 < 𝑧)) |
58 | 30, 57 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑤 < 𝑧) |
59 | 58 | 3exp 1120 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑤 + 1) < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑤 < 𝑧))) |
60 | 59 | adantlr 715 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
∧ 𝑤 ∈ ℝ)
→ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑤 + 1) < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑤 < 𝑧))) |
61 | 60 | rexlimdv 3192 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
∧ 𝑤 ∈ ℝ)
→ (∃𝑥 ∈
𝐴 (𝑤 + 1) < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑤 < 𝑧)) |
62 | 19, 61 | mpd 15 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
∧ 𝑤 ∈ ℝ)
→ ∃𝑧 ∈
𝐵 𝑤 < 𝑧) |
63 | 2 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ℝ ⊆
ℝ*) |
64 | 63 | sselda 3875 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ*) |
65 | 64 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑤 ∈ ℝ*) |
66 | 43 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ*) |
67 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑤 < 𝑧) |
68 | 65, 66, 67 | xrltled 12619 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑤 ≤ 𝑧) |
69 | 68 | ex 416 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑤 < 𝑧 → 𝑤 ≤ 𝑧)) |
70 | 69 | adantllr 719 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
∧ 𝑤 ∈ ℝ)
∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑤 < 𝑧 → 𝑤 ≤ 𝑧)) |
71 | 70 | reximdva 3183 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
∧ 𝑤 ∈ ℝ)
→ (∃𝑧 ∈
𝐵 𝑤 < 𝑧 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑤 ≤ 𝑧)) |
72 | 62, 71 | mpd 15 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
∧ 𝑤 ∈ ℝ)
→ ∃𝑧 ∈
𝐵 𝑤 ≤ 𝑧) |
73 | 72 | ralrimiva 3096 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
→ ∀𝑤 ∈
ℝ ∃𝑧 ∈
𝐵 𝑤 ≤ 𝑧) |
74 | | supxrunb1 12788 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐵 ⊆ ℝ*
→ (∀𝑤 ∈
ℝ ∃𝑧 ∈
𝐵 𝑤 ≤ 𝑧 ↔ sup(𝐵, ℝ*, < ) =
+∞)) |
75 | 41, 74 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑤 ≤ 𝑧 ↔ sup(𝐵, ℝ*, < ) =
+∞)) |
76 | 75 | adantr 484 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
→ (∀𝑤 ∈
ℝ ∃𝑧 ∈
𝐵 𝑤 ≤ 𝑧 ↔ sup(𝐵, ℝ*, < ) =
+∞)) |
77 | 73, 76 | mpbid 235 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
→ sup(𝐵,
ℝ*, < ) = +∞) |
78 | 7, 8, 77 | 3eqtr4d 2783 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
→ sup(𝐴,
ℝ*, < ) = sup(𝐵, ℝ*, <
)) |
79 | 6, 78 | xreqled 42391 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
→ sup(𝐴,
ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, <
)) |
80 | | supeq1 8975 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 = ∅ → sup(𝐴, ℝ*, < ) =
sup(∅, ℝ*, < )) |
81 | | xrsup0 12792 |
. . . . . . . 8
⊢
sup(∅, ℝ*, < ) = -∞ |
82 | 81 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 = ∅ → sup(∅,
ℝ*, < ) = -∞) |
83 | 80, 82 | eqtrd 2773 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 = ∅ → sup(𝐴, ℝ*, < ) =
-∞) |
84 | 83 | adantl 485 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) =
-∞) |
85 | | supxrcl 12784 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐵 ⊆ ℝ*
→ sup(𝐵,
ℝ*, < ) ∈ ℝ*) |
86 | 41, 85 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈
ℝ*) |
87 | | mnfle 12605 |
. . . . . . 7
⊢
(sup(𝐵,
ℝ*, < ) ∈ ℝ* → -∞ ≤
sup(𝐵, ℝ*,
< )) |
88 | 86, 87 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → -∞ ≤ sup(𝐵, ℝ*, <
)) |
89 | 88 | adantr 484 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → -∞ ≤ sup(𝐵, ℝ*, <
)) |
90 | 84, 89 | eqbrtrd 5049 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, <
)) |
91 | 90 | adantlr 715 |
. . 3
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
∧ 𝐴 = ∅) →
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ≤ sup(𝐵,
ℝ*, < )) |
92 | | simpll 767 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
∧ ¬ 𝐴 = ∅)
→ 𝜑) |
93 | 1 | adantr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ ℝ) |
94 | | neqne 2942 |
. . . . . . . . 9
⊢ (¬
𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅) |
95 | 94 | adantl 485 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅) |
96 | | supxrgtmnf 12798 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → -∞
< sup(𝐴,
ℝ*, < )) |
97 | 93, 95, 96 | syl2anc 587 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, <
)) |
98 | 97 | adantlr 715 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
∧ ¬ 𝐴 = ∅)
→ -∞ < sup(𝐴,
ℝ*, < )) |
99 | | simpr 488 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
→ ¬ sup(𝐴,
ℝ*, < ) = +∞) |
100 | | simpl 486 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
→ 𝜑) |
101 | | nltpnft 12633 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(sup(𝐴,
ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) =
+∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) <
+∞)) |
102 | 100, 5, 101 | 3syl 18 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
→ (sup(𝐴,
ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) <
+∞)) |
103 | 99, 102 | mtbid 327 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
→ ¬ ¬ sup(𝐴,
ℝ*, < ) < +∞) |
104 | | notnotr 132 |
. . . . . . . 8
⊢ (¬
¬ sup(𝐴,
ℝ*, < ) < +∞ → sup(𝐴, ℝ*, < ) <
+∞) |
105 | 103, 104 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
→ sup(𝐴,
ℝ*, < ) < +∞) |
106 | 105 | adantr 484 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
∧ ¬ 𝐴 = ∅)
→ sup(𝐴,
ℝ*, < ) < +∞) |
107 | 98, 106 | jca 515 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
∧ ¬ 𝐴 = ∅)
→ (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) < +∞)) |
108 | 92, 5 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
∧ ¬ 𝐴 = ∅)
→ sup(𝐴,
ℝ*, < ) ∈ ℝ*) |
109 | | xrrebnd 12637 |
. . . . . 6
⊢
(sup(𝐴,
ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < )
∈ ℝ ↔ (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) < +∞))) |
110 | 108, 109 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
∧ ¬ 𝐴 = ∅)
→ (sup(𝐴,
ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < )
∧ sup(𝐴,
ℝ*, < ) < +∞))) |
111 | 107, 110 | mpbird 260 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
∧ ¬ 𝐴 = ∅)
→ sup(𝐴,
ℝ*, < ) ∈ ℝ) |
112 | | nfv 1920 |
. . . . 5
⊢
Ⅎ𝑤(𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) |
113 | 41 | adantr 484 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) → 𝐵 ⊆
ℝ*) |
114 | | simpr 488 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) → sup(𝐴,
ℝ*, < ) ∈ ℝ) |
115 | 114 | adantr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) ∧ 𝑤 ∈
ℝ+) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) |
116 | | simpr 488 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) ∧ 𝑤 ∈
ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+) |
117 | 116 | rphalfcld 12519 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) ∧ 𝑤 ∈
ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈
ℝ+) |
118 | 115, 117 | ltsubrpd 12539 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) ∧ 𝑤 ∈
ℝ+) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < sup(𝐴, ℝ*, <
)) |
119 | 3 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) ∧ 𝑤 ∈
ℝ+) → 𝐴 ⊆
ℝ*) |
120 | | rpre 12473 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑤 ∈ ℝ+
→ 𝑤 ∈
ℝ) |
121 | | 2re 11783 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 2 ∈
ℝ |
122 | 121 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑤 ∈ ℝ+
→ 2 ∈ ℝ) |
123 | | 2ne0 11813 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 2 ≠
0 |
124 | 123 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑤 ∈ ℝ+
→ 2 ≠ 0) |
125 | 120, 122,
124 | redivcld 11539 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑤 ∈ ℝ+
→ (𝑤 / 2) ∈
ℝ) |
126 | 125 | adantl 485 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) ∧ 𝑤 ∈
ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ) |
127 | 115, 126 | resubcld 11139 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) ∧ 𝑤 ∈
ℝ+) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) ∈
ℝ) |
128 | 2, 127 | sseldi 3873 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) ∧ 𝑤 ∈
ℝ+) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) ∈
ℝ*) |
129 | | supxrlub 12794 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ*
∧ (sup(𝐴,
ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ*) →
((sup(𝐴,
ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔
∃𝑥 ∈ 𝐴 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥)) |
130 | 119, 128,
129 | syl2anc 587 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) ∧ 𝑤 ∈
ℝ+) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < sup(𝐴, ℝ*, < )
↔ ∃𝑥 ∈
𝐴 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥)) |
131 | 118, 130 | mpbid 235 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) ∧ 𝑤 ∈
ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) |
132 | | rphalfcl 12492 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑤 ∈ ℝ+
→ (𝑤 / 2) ∈
ℝ+) |
133 | 132 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑤 / 2) ∈
ℝ+) |
134 | 23 | 3adant2 1132 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 − 𝑦) < 𝑧) |
135 | | oveq2 7172 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 = (𝑤 / 2) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑥 − (𝑤 / 2))) |
136 | 135 | breq1d 5037 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 = (𝑤 / 2) → ((𝑥 − 𝑦) < 𝑧 ↔ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧)) |
137 | 136 | rexbidv 3206 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 = (𝑤 / 2) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 − 𝑦) < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧)) |
138 | 137 | rspcva 3522 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑤 / 2) ∈ ℝ+
∧ ∀𝑦 ∈
ℝ+ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 − 𝑦) < 𝑧) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) |
139 | 133, 134,
138 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) |
140 | 139 | ad5ant134 1368 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < )
∈ ℝ) ∧ 𝑤
∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) |
141 | | recn 10698 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(sup(𝐴,
ℝ*, < ) ∈ ℝ → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℂ) |
142 | 141 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((sup(𝐴,
ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → sup(𝐴, ℝ*, < )
∈ ℂ) |
143 | 120 | recnd 10740 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑤 ∈ ℝ+
→ 𝑤 ∈
ℂ) |
144 | 143 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((sup(𝐴,
ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈
ℂ) |
145 | 144 | halfcld 11954 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((sup(𝐴,
ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈
ℂ) |
146 | 142, 145,
145 | subsub4d 11099 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((sup(𝐴,
ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) →
((sup(𝐴,
ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) = (sup(𝐴, ℝ*, < ) −
((𝑤 / 2) + (𝑤 / 2)))) |
147 | 143 | 2halvesd 11955 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑤 ∈ ℝ+
→ ((𝑤 / 2) + (𝑤 / 2)) = 𝑤) |
148 | 147 | oveq2d 7180 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑤 ∈ ℝ+
→ (sup(𝐴,
ℝ*, < ) − ((𝑤 / 2) + (𝑤 / 2))) = (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤)) |
149 | 148 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((sup(𝐴,
ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) →
(sup(𝐴,
ℝ*, < ) − ((𝑤 / 2) + (𝑤 / 2))) = (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤)) |
150 | 146, 149 | eqtr2d 2774 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((sup(𝐴,
ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) →
(sup(𝐴,
ℝ*, < ) − 𝑤) = ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2))) |
151 | 150 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) ∧ 𝑤 ∈
ℝ+) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) = ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2))) |
152 | 151 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) ∧ 𝑤 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) = ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2))) |
153 | 152 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) = ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2))) |
154 | 127, 126 | resubcld 11139 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) ∧ 𝑤 ∈
ℝ+) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) ∈
ℝ) |
155 | 154 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) ∧ 𝑤 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) ∈
ℝ) |
156 | 155 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) ∈
ℝ) |
157 | 2, 156 | sseldi 3873 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) ∈
ℝ*) |
158 | 120, 49 | sylanl2 681 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ) |
159 | 125 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ) |
160 | 158, 159 | resubcld 11139 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ) |
161 | 160 | adantllr 719 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) ∧ 𝑤 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ) |
162 | 161 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (𝑥 − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ) |
163 | 2, 162 | sseldi 3873 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (𝑥 − (𝑤 / 2)) ∈
ℝ*) |
164 | | simp-6l 787 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → 𝜑) |
165 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝐵) |
166 | 164, 165,
42 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ*) |
167 | | simp-6r 788 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) |
168 | 120 | ad5antlr 735 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → 𝑤 ∈ ℝ) |
169 | 168 | rehalfcld 11956 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ) |
170 | 167, 169 | resubcld 11139 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) ∈
ℝ) |
171 | | simp-4r 784 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴) |
172 | 164, 171,
34 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → 𝑥 ∈ ℝ) |
173 | | simpllr 776 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) |
174 | 170, 172,
169, 173 | ltsub1dd 11323 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) < (𝑥 − (𝑤 / 2))) |
175 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) |
176 | 157, 163,
166, 174, 175 | xrlttrd 12628 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) < 𝑧) |
177 | 153, 176 | eqbrtrd 5049 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧) |
178 | 177 | ex 416 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧 → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧)) |
179 | 178 | reximdva 3183 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < )
∈ ℝ) ∧ 𝑤
∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧)) |
180 | 140, 179 | mpd 15 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < )
∈ ℝ) ∧ 𝑤
∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧) |
181 | 180 | rexlimdva2 3196 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) ∧ 𝑤 ∈
ℝ+) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧)) |
182 | 131, 181 | mpd 15 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) ∧ 𝑤 ∈
ℝ+) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧) |
183 | 112, 113,
114, 182 | supxrgere 42394 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) → sup(𝐴,
ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, <
)) |
184 | 92, 111, 183 | syl2anc 587 |
. . 3
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
∧ ¬ 𝐴 = ∅)
→ sup(𝐴,
ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, <
)) |
185 | 91, 184 | pm2.61dan 813 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
→ sup(𝐴,
ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, <
)) |
186 | 79, 185 | pm2.61dan 813 |
1
⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, <
)) |