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Theorem suplesup 44049
Description: If any element of 𝐴 can be approximated from below by members of 𝐵, then the supremum of 𝐴 is less than or equal to the supremum of 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
suplesup.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
suplesup.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
suplesup.c (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐵 (𝑥𝑦) < 𝑧)
Assertion
Ref Expression
suplesup (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem suplesup
Dummy variables 𝑟 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suplesup.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2 ressxr 11258 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℝ*
31, 2sstrdi 3995 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
4 supxrcl 13294 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
65adantr 482 . . 3 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
7 eqidd 2734 . . . 4 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → +∞ = +∞)
8 simpr 486 . . . 4 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
9 peano2re 11387 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 + 1) ∈ ℝ)
109adantl 483 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 + 1) ∈ ℝ)
113adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
12 supxrunb2 13299 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟 < 𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟 < 𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
148, 13mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟 < 𝑥)
1514adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟 < 𝑥)
16 breq1 5152 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (𝑤 + 1) → (𝑟 < 𝑥 ↔ (𝑤 + 1) < 𝑥))
1716rexbidv 3179 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = (𝑤 + 1) → (∃𝑥𝐴 𝑟 < 𝑥 ↔ ∃𝑥𝐴 (𝑤 + 1) < 𝑥))
1817rspcva 3611 . . . . . . . . 9 (((𝑤 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟 < 𝑥) → ∃𝑥𝐴 (𝑤 + 1) < 𝑥)
1910, 15, 18syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑥𝐴 (𝑤 + 1) < 𝑥)
20 1rp 12978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ+
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → 1 ∈ ℝ+)
22 suplesup.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐵 (𝑥𝑦) < 𝑧)
2322r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐵 (𝑥𝑦) < 𝑧)
24 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 1 → (𝑥𝑦) = (𝑥 − 1))
2524breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 1 → ((𝑥𝑦) < 𝑧 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑧))
2625rexbidv 3179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 1 → (∃𝑧𝐵 (𝑥𝑦) < 𝑧 ↔ ∃𝑧𝐵 (𝑥 − 1) < 𝑧))
2726rspcva 3611 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐵 (𝑥𝑦) < 𝑧) → ∃𝑧𝐵 (𝑥 − 1) < 𝑧)
2821, 23, 27syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑧𝐵 (𝑥 − 1) < 𝑧)
2928adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ∃𝑧𝐵 (𝑥 − 1) < 𝑧)
30293adant3 1133 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → ∃𝑧𝐵 (𝑥 − 1) < 𝑧)
31 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥)
32 simp11r 1286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → 𝑤 ∈ ℝ)
332, 32sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → 𝑤 ∈ ℝ*)
341sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
35 1red 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐴) → 1 ∈ ℝ)
3634, 35resubcld 11642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
3736adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
38373adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
39383ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
402, 39sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ*)
41 suplesup.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
4241sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ*)
4342adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ*)
44433ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ*)
45443adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ*)
46 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → (𝑤 + 1) < 𝑥)
47 simp1r 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → 𝑤 ∈ ℝ)
48 1red 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → 1 ∈ ℝ)
4934adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
50493adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
5147, 48, 50ltaddsubd 11814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → ((𝑤 + 1) < 𝑥𝑤 < (𝑥 − 1)))
5246, 51mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → 𝑤 < (𝑥 − 1))
53523ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → 𝑤 < (𝑥 − 1))
54 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → (𝑥 − 1) < 𝑧)
5533, 40, 45, 53, 54xrlttrd 13138 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → 𝑤 < 𝑧)
56553exp 1120 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → (𝑧𝐵 → ((𝑥 − 1) < 𝑧𝑤 < 𝑧)))
5731, 56reximdai 3259 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → (∃𝑧𝐵 (𝑥 − 1) < 𝑧 → ∃𝑧𝐵 𝑤 < 𝑧))
5830, 57mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → ∃𝑧𝐵 𝑤 < 𝑧)
59583exp 1120 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴 → ((𝑤 + 1) < 𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑤 < 𝑧)))
6059adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴 → ((𝑤 + 1) < 𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑤 < 𝑧)))
6160rexlimdv 3154 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∃𝑥𝐴 (𝑤 + 1) < 𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑤 < 𝑧))
6219, 61mpd 15 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑧𝐵 𝑤 < 𝑧)
632a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
6463sselda 3983 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ*)
6564ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑤 ∈ ℝ*)
6643adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ*)
67 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑤 < 𝑧)
6865, 66, 67xrltled 13129 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑤𝑧)
6968ex 414 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑤 < 𝑧𝑤𝑧))
7069adantllr 718 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑤 < 𝑧𝑤𝑧))
7170reximdva 3169 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∃𝑧𝐵 𝑤 < 𝑧 → ∃𝑧𝐵 𝑤𝑧))
7262, 71mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑧𝐵 𝑤𝑧)
7372ralrimiva 3147 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑧𝐵 𝑤𝑧)
74 supxrunb1 13298 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑧𝐵 𝑤𝑧 ↔ sup(𝐵, ℝ*, < ) = +∞))
7541, 74syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑧𝐵 𝑤𝑧 ↔ sup(𝐵, ℝ*, < ) = +∞))
7675adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑧𝐵 𝑤𝑧 ↔ sup(𝐵, ℝ*, < ) = +∞))
7773, 76mpbid 231 . . . 4 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐵, ℝ*, < ) = +∞)
787, 8, 773eqtr4d 2783 . . 3 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(𝐵, ℝ*, < ))
796, 78xreqled 44040 . 2 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
80 supeq1 9440 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(∅, ℝ*, < ))
81 xrsup0 13302 . . . . . . . 8 sup(∅, ℝ*, < ) = -∞
8281a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → sup(∅, ℝ*, < ) = -∞)
8380, 82eqtrd 2773 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -∞)
8483adantl 483 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -∞)
85 supxrcl 13294 . . . . . . . 8 (𝐵 ⊆ ℝ* → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8641, 85syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
87 mnfle 13114 . . . . . . 7 (sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → -∞ ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
8886, 87syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → -∞ ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
8988adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = ∅) → -∞ ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
9084, 89eqbrtrd 5171 . . . 4 ((𝜑𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
9190adantlr 714 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
92 simpll 766 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝜑)
931adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ ℝ)
94 neqne 2949 . . . . . . . . 9 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
9594adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
96 supxrgtmnf 13308 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
9793, 95, 96syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
9897adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
99 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
100 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝜑)
101 nltpnft 13143 . . . . . . . . . 10 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
102100, 5, 1013syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
10399, 102mtbid 324 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ¬ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
104 notnotr 130 . . . . . . . 8 (¬ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞ → sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
105103, 104syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
106105adantr 482 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
10798, 106jca 513 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
10892, 5syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
109 xrrebnd 13147 . . . . . 6 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
110108, 109syl 17 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
111107, 110mpbird 257 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
112 nfv 1918 . . . . 5 𝑤(𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
11341adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → 𝐵 ⊆ ℝ*)
114 simpr 486 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
115114adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
116 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
117116rphalfcld 13028 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
118115, 117ltsubrpd 13048 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < sup(𝐴, ℝ*, < ))
1193ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
120 rpre 12982 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ)
121 2re 12286 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℝ)
123 2ne0 12316 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℝ+ → 2 ≠ 0)
125120, 122, 124redivcld 12042 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
126125adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
127115, 126resubcld 11642 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
1282, 127sselid 3981 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ*)
129 supxrlub 13304 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ*) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∃𝑥𝐴 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥))
130119, 128, 129syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∃𝑥𝐴 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥))
131118, 130mpbid 231 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑥𝐴 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥)
132 rphalfcl 13001 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
1331323ad2ant2 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+𝑥𝐴) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
134233adant2 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+𝑥𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐵 (𝑥𝑦) < 𝑧)
135 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑤 / 2) → (𝑥𝑦) = (𝑥 − (𝑤 / 2)))
136135breq1d 5159 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑤 / 2) → ((𝑥𝑦) < 𝑧 ↔ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧))
137136rexbidv 3179 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑤 / 2) → (∃𝑧𝐵 (𝑥𝑦) < 𝑧 ↔ ∃𝑧𝐵 (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧))
138137rspcva 3611 . . . . . . . . . 10 (((𝑤 / 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐵 (𝑥𝑦) < 𝑧) → ∃𝑧𝐵 (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧)
139133, 134, 138syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+𝑥𝐴) → ∃𝑧𝐵 (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧)
140139ad5ant134 1368 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) → ∃𝑧𝐵 (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧)
141 recn 11200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℂ)
142141adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℂ)
143120recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℂ)
144143adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℂ)
145144halfcld 12457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈ ℂ)
146142, 145, 145subsub4d 11602 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) = (sup(𝐴, ℝ*, < ) − ((𝑤 / 2) + (𝑤 / 2))))
1471432halvesd 12458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℝ+ → ((𝑤 / 2) + (𝑤 / 2)) = 𝑤)
148147oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ℝ+ → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − ((𝑤 / 2) + (𝑤 / 2))) = (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤))
149148adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − ((𝑤 / 2) + (𝑤 / 2))) = (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤))
150146, 149eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) = ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)))
151150adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) = ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)))
152151adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) = ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)))
153152ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) = ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)))
154127, 126resubcld 11642 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
155154adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
156155ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
1572, 156sselid 3981 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ*)
158120, 49sylanl2 680 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
159125ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
160158, 159resubcld 11642 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
161160adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
162161ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (𝑥 − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
1632, 162sselid 3981 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (𝑥 − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ*)
164 simp-6l 786 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → 𝜑)
165 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → 𝑧𝐵)
166164, 165, 42syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ*)
167 simp-6r 787 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
168120ad5antlr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → 𝑤 ∈ ℝ)
169168rehalfcld 12459 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
170167, 169resubcld 11642 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
171 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → 𝑥𝐴)
172164, 171, 34syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → 𝑥 ∈ ℝ)
173 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥)
174170, 172, 169, 173ltsub1dd 11826 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) < (𝑥 − (𝑤 / 2)))
175 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧)
176157, 163, 166, 174, 175xrlttrd 13138 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) < 𝑧)
177153, 176eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧)
178177ex 414 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧 → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧))
179178reximdva 3169 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) → (∃𝑧𝐵 (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧 → ∃𝑧𝐵 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧))
180140, 179mpd 15 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) → ∃𝑧𝐵 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧)
181180rexlimdva2 3158 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑥𝐴 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥 → ∃𝑧𝐵 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧))
182131, 181mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝐵 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧)
183112, 113, 114, 182supxrgere 44043 . . . 4 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
18492, 111, 183syl2anc 585 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
18591, 184pm2.61dan 812 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
18679, 185pm2.61dan 812 1 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  wss 3949  c0 4323   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  supcsup 9435  cc 11108  cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  +∞cpnf 11245  -∞cmnf 11246  *cxr 11247   < clt 11248  cle 11249  cmin 11444   / cdiv 11871  2c2 12267  +crp 12974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-2 12275  df-rp 12975
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