| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | suplesup.a | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ) | 
| 2 |  | ressxr 11305 | . . . . . 6
⊢ ℝ
⊆ ℝ* | 
| 3 | 1, 2 | sstrdi 3996 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆
ℝ*) | 
| 4 |  | supxrcl 13357 | . . . . 5
⊢ (𝐴 ⊆ ℝ*
→ sup(𝐴,
ℝ*, < ) ∈ ℝ*) | 
| 5 | 3, 4 | syl 17 | . . . 4
⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ*) | 
| 6 | 5 | adantr 480 | . . 3
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
→ sup(𝐴,
ℝ*, < ) ∈ ℝ*) | 
| 7 |  | eqidd 2738 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
→ +∞ = +∞) | 
| 8 |  | simpr 484 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
→ sup(𝐴,
ℝ*, < ) = +∞) | 
| 9 |  | peano2re 11434 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 + 1) ∈
ℝ) | 
| 10 | 9 | adantl 481 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
∧ 𝑤 ∈ ℝ)
→ (𝑤 + 1) ∈
ℝ) | 
| 11 | 3 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
→ 𝐴 ⊆
ℝ*) | 
| 12 |  | supxrunb2 13362 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ⊆ ℝ*
→ (∀𝑟 ∈
ℝ ∃𝑥 ∈
𝐴 𝑟 < 𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) =
+∞)) | 
| 13 | 11, 12 | syl 17 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
→ (∀𝑟 ∈
ℝ ∃𝑥 ∈
𝐴 𝑟 < 𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) =
+∞)) | 
| 14 | 8, 13 | mpbird 257 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
→ ∀𝑟 ∈
ℝ ∃𝑥 ∈
𝐴 𝑟 < 𝑥) | 
| 15 | 14 | adantr 480 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
∧ 𝑤 ∈ ℝ)
→ ∀𝑟 ∈
ℝ ∃𝑥 ∈
𝐴 𝑟 < 𝑥) | 
| 16 |  | breq1 5146 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑟 = (𝑤 + 1) → (𝑟 < 𝑥 ↔ (𝑤 + 1) < 𝑥)) | 
| 17 | 16 | rexbidv 3179 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑟 = (𝑤 + 1) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑟 < 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑤 + 1) < 𝑥)) | 
| 18 | 17 | rspcva 3620 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝑤 + 1) ∈ ℝ ∧
∀𝑟 ∈ ℝ
∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑟 < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑤 + 1) < 𝑥) | 
| 19 | 10, 15, 18 | syl2anc 584 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
∧ 𝑤 ∈ ℝ)
→ ∃𝑥 ∈
𝐴 (𝑤 + 1) < 𝑥) | 
| 20 |  | 1rp 13038 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 1 ∈
ℝ+ | 
| 21 | 20 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 1 ∈
ℝ+) | 
| 22 |  | suplesup.c | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 − 𝑦) < 𝑧) | 
| 23 | 22 | r19.21bi 3251 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 − 𝑦) < 𝑧) | 
| 24 |  | oveq2 7439 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑦 = 1 → (𝑥 − 𝑦) = (𝑥 − 1)) | 
| 25 | 24 | breq1d 5153 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑦 = 1 → ((𝑥 − 𝑦) < 𝑧 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑧)) | 
| 26 | 25 | rexbidv 3179 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑦 = 1 → (∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 − 𝑦) < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 − 1) < 𝑧)) | 
| 27 | 26 | rspcva 3620 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((1
∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 − 𝑦) < 𝑧) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 − 1) < 𝑧) | 
| 28 | 21, 23, 27 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 − 1) < 𝑧) | 
| 29 | 28 | adantlr 715 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 − 1) < 𝑧) | 
| 30 | 29 | 3adant3 1133 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 − 1) < 𝑧) | 
| 31 |  | nfv 1914 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑧((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) | 
| 32 |  | simp11r 1286 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → 𝑤 ∈ ℝ) | 
| 33 | 2, 32 | sselid 3981 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → 𝑤 ∈ ℝ*) | 
| 34 | 1 | sselda 3983 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ) | 
| 35 |  | 1red 11262 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℝ) | 
| 36 | 34, 35 | resubcld 11691 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ) | 
| 37 | 36 | adantlr 715 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ) | 
| 38 | 37 | 3adant3 1133 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ) | 
| 39 | 38 | 3ad2ant1 1134 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ) | 
| 40 | 2, 39 | sselid 3981 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → (𝑥 − 1) ∈
ℝ*) | 
| 41 |  | suplesup.b | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆
ℝ*) | 
| 42 | 41 | sselda 3983 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ*) | 
| 43 | 42 | adantlr 715 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ*) | 
| 44 | 43 | 3ad2antl1 1186 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ*) | 
| 45 | 44 | 3adant3 1133 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ*) | 
| 46 |  | simp3 1139 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → (𝑤 + 1) < 𝑥) | 
| 47 |  | simp1r 1199 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → 𝑤 ∈ ℝ) | 
| 48 |  | 1red 11262 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → 1 ∈ ℝ) | 
| 49 | 34 | adantlr 715 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ) | 
| 50 | 49 | 3adant3 1133 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ) | 
| 51 | 47, 48, 50 | ltaddsubd 11863 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → ((𝑤 + 1) < 𝑥 ↔ 𝑤 < (𝑥 − 1))) | 
| 52 | 46, 51 | mpbid 232 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → 𝑤 < (𝑥 − 1)) | 
| 53 | 52 | 3ad2ant1 1134 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → 𝑤 < (𝑥 − 1)) | 
| 54 |  | simp3 1139 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → (𝑥 − 1) < 𝑧) | 
| 55 | 33, 40, 45, 53, 54 | xrlttrd 13201 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → 𝑤 < 𝑧) | 
| 56 | 55 | 3exp 1120 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝑥 − 1) < 𝑧 → 𝑤 < 𝑧))) | 
| 57 | 31, 56 | reximdai 3261 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 − 1) < 𝑧 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑤 < 𝑧)) | 
| 58 | 30, 57 | mpd 15 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑤 < 𝑧) | 
| 59 | 58 | 3exp 1120 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑤 + 1) < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑤 < 𝑧))) | 
| 60 | 59 | adantlr 715 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
∧ 𝑤 ∈ ℝ)
→ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑤 + 1) < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑤 < 𝑧))) | 
| 61 | 60 | rexlimdv 3153 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
∧ 𝑤 ∈ ℝ)
→ (∃𝑥 ∈
𝐴 (𝑤 + 1) < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑤 < 𝑧)) | 
| 62 | 19, 61 | mpd 15 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
∧ 𝑤 ∈ ℝ)
→ ∃𝑧 ∈
𝐵 𝑤 < 𝑧) | 
| 63 | 2 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ℝ ⊆
ℝ*) | 
| 64 | 63 | sselda 3983 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ*) | 
| 65 | 64 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑤 ∈ ℝ*) | 
| 66 | 43 | adantr 480 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ*) | 
| 67 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑤 < 𝑧) | 
| 68 | 65, 66, 67 | xrltled 13192 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑤 ≤ 𝑧) | 
| 69 | 68 | ex 412 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑤 < 𝑧 → 𝑤 ≤ 𝑧)) | 
| 70 | 69 | adantllr 719 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
∧ 𝑤 ∈ ℝ)
∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑤 < 𝑧 → 𝑤 ≤ 𝑧)) | 
| 71 | 70 | reximdva 3168 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
∧ 𝑤 ∈ ℝ)
→ (∃𝑧 ∈
𝐵 𝑤 < 𝑧 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑤 ≤ 𝑧)) | 
| 72 | 62, 71 | mpd 15 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
∧ 𝑤 ∈ ℝ)
→ ∃𝑧 ∈
𝐵 𝑤 ≤ 𝑧) | 
| 73 | 72 | ralrimiva 3146 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
→ ∀𝑤 ∈
ℝ ∃𝑧 ∈
𝐵 𝑤 ≤ 𝑧) | 
| 74 |  | supxrunb1 13361 | . . . . . . 7
⊢ (𝐵 ⊆ ℝ*
→ (∀𝑤 ∈
ℝ ∃𝑧 ∈
𝐵 𝑤 ≤ 𝑧 ↔ sup(𝐵, ℝ*, < ) =
+∞)) | 
| 75 | 41, 74 | syl 17 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑤 ≤ 𝑧 ↔ sup(𝐵, ℝ*, < ) =
+∞)) | 
| 76 | 75 | adantr 480 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
→ (∀𝑤 ∈
ℝ ∃𝑧 ∈
𝐵 𝑤 ≤ 𝑧 ↔ sup(𝐵, ℝ*, < ) =
+∞)) | 
| 77 | 73, 76 | mpbid 232 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
→ sup(𝐵,
ℝ*, < ) = +∞) | 
| 78 | 7, 8, 77 | 3eqtr4d 2787 | . . 3
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
→ sup(𝐴,
ℝ*, < ) = sup(𝐵, ℝ*, <
)) | 
| 79 | 6, 78 | xreqled 45341 | . 2
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
→ sup(𝐴,
ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, <
)) | 
| 80 |  | supeq1 9485 | . . . . . . 7
⊢ (𝐴 = ∅ → sup(𝐴, ℝ*, < ) =
sup(∅, ℝ*, < )) | 
| 81 |  | xrsup0 13365 | . . . . . . . 8
⊢
sup(∅, ℝ*, < ) = -∞ | 
| 82 | 81 | a1i 11 | . . . . . . 7
⊢ (𝐴 = ∅ → sup(∅,
ℝ*, < ) = -∞) | 
| 83 | 80, 82 | eqtrd 2777 | . . . . . 6
⊢ (𝐴 = ∅ → sup(𝐴, ℝ*, < ) =
-∞) | 
| 84 | 83 | adantl 481 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) =
-∞) | 
| 85 |  | supxrcl 13357 | . . . . . . . 8
⊢ (𝐵 ⊆ ℝ*
→ sup(𝐵,
ℝ*, < ) ∈ ℝ*) | 
| 86 | 41, 85 | syl 17 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈
ℝ*) | 
| 87 |  | mnfle 13177 | . . . . . . 7
⊢
(sup(𝐵,
ℝ*, < ) ∈ ℝ* → -∞ ≤
sup(𝐵, ℝ*,
< )) | 
| 88 | 86, 87 | syl 17 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → -∞ ≤ sup(𝐵, ℝ*, <
)) | 
| 89 | 88 | adantr 480 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → -∞ ≤ sup(𝐵, ℝ*, <
)) | 
| 90 | 84, 89 | eqbrtrd 5165 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, <
)) | 
| 91 | 90 | adantlr 715 | . . 3
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
∧ 𝐴 = ∅) →
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ≤ sup(𝐵,
ℝ*, < )) | 
| 92 |  | simpll 767 | . . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
∧ ¬ 𝐴 = ∅)
→ 𝜑) | 
| 93 | 1 | adantr 480 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ ℝ) | 
| 94 |  | neqne 2948 | . . . . . . . . 9
⊢ (¬
𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅) | 
| 95 | 94 | adantl 481 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅) | 
| 96 |  | supxrgtmnf 13371 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → -∞
< sup(𝐴,
ℝ*, < )) | 
| 97 | 93, 95, 96 | syl2anc 584 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, <
)) | 
| 98 | 97 | adantlr 715 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
∧ ¬ 𝐴 = ∅)
→ -∞ < sup(𝐴,
ℝ*, < )) | 
| 99 |  | simpr 484 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
→ ¬ sup(𝐴,
ℝ*, < ) = +∞) | 
| 100 |  | simpl 482 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
→ 𝜑) | 
| 101 |  | nltpnft 13206 | . . . . . . . . . 10
⊢
(sup(𝐴,
ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) =
+∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) <
+∞)) | 
| 102 | 100, 5, 101 | 3syl 18 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
→ (sup(𝐴,
ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) <
+∞)) | 
| 103 | 99, 102 | mtbid 324 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
→ ¬ ¬ sup(𝐴,
ℝ*, < ) < +∞) | 
| 104 |  | notnotr 130 | . . . . . . . 8
⊢ (¬
¬ sup(𝐴,
ℝ*, < ) < +∞ → sup(𝐴, ℝ*, < ) <
+∞) | 
| 105 | 103, 104 | syl 17 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
→ sup(𝐴,
ℝ*, < ) < +∞) | 
| 106 | 105 | adantr 480 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
∧ ¬ 𝐴 = ∅)
→ sup(𝐴,
ℝ*, < ) < +∞) | 
| 107 | 98, 106 | jca 511 | . . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
∧ ¬ 𝐴 = ∅)
→ (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) < +∞)) | 
| 108 | 92, 5 | syl 17 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
∧ ¬ 𝐴 = ∅)
→ sup(𝐴,
ℝ*, < ) ∈ ℝ*) | 
| 109 |  | xrrebnd 13210 | . . . . . 6
⊢
(sup(𝐴,
ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < )
∈ ℝ ↔ (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) < +∞))) | 
| 110 | 108, 109 | syl 17 | . . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
∧ ¬ 𝐴 = ∅)
→ (sup(𝐴,
ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < )
∧ sup(𝐴,
ℝ*, < ) < +∞))) | 
| 111 | 107, 110 | mpbird 257 | . . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
∧ ¬ 𝐴 = ∅)
→ sup(𝐴,
ℝ*, < ) ∈ ℝ) | 
| 112 |  | nfv 1914 | . . . . 5
⊢
Ⅎ𝑤(𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) | 
| 113 | 41 | adantr 480 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) → 𝐵 ⊆
ℝ*) | 
| 114 |  | simpr 484 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) → sup(𝐴,
ℝ*, < ) ∈ ℝ) | 
| 115 | 114 | adantr 480 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) ∧ 𝑤 ∈
ℝ+) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) | 
| 116 |  | simpr 484 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) ∧ 𝑤 ∈
ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+) | 
| 117 | 116 | rphalfcld 13089 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) ∧ 𝑤 ∈
ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈
ℝ+) | 
| 118 | 115, 117 | ltsubrpd 13109 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) ∧ 𝑤 ∈
ℝ+) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < sup(𝐴, ℝ*, <
)) | 
| 119 | 3 | ad2antrr 726 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) ∧ 𝑤 ∈
ℝ+) → 𝐴 ⊆
ℝ*) | 
| 120 |  | rpre 13043 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑤 ∈ ℝ+
→ 𝑤 ∈
ℝ) | 
| 121 |  | 2re 12340 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ 2 ∈
ℝ | 
| 122 | 121 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑤 ∈ ℝ+
→ 2 ∈ ℝ) | 
| 123 |  | 2ne0 12370 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ 2 ≠
0 | 
| 124 | 123 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑤 ∈ ℝ+
→ 2 ≠ 0) | 
| 125 | 120, 122,
124 | redivcld 12095 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑤 ∈ ℝ+
→ (𝑤 / 2) ∈
ℝ) | 
| 126 | 125 | adantl 481 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) ∧ 𝑤 ∈
ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ) | 
| 127 | 115, 126 | resubcld 11691 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) ∧ 𝑤 ∈
ℝ+) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) ∈
ℝ) | 
| 128 | 2, 127 | sselid 3981 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) ∧ 𝑤 ∈
ℝ+) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) ∈
ℝ*) | 
| 129 |  | supxrlub 13367 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ*
∧ (sup(𝐴,
ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ*) →
((sup(𝐴,
ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔
∃𝑥 ∈ 𝐴 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥)) | 
| 130 | 119, 128,
129 | syl2anc 584 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) ∧ 𝑤 ∈
ℝ+) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < sup(𝐴, ℝ*, < )
↔ ∃𝑥 ∈
𝐴 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥)) | 
| 131 | 118, 130 | mpbid 232 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) ∧ 𝑤 ∈
ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) | 
| 132 |  | rphalfcl 13062 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑤 ∈ ℝ+
→ (𝑤 / 2) ∈
ℝ+) | 
| 133 | 132 | 3ad2ant2 1135 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑤 / 2) ∈
ℝ+) | 
| 134 | 23 | 3adant2 1132 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 − 𝑦) < 𝑧) | 
| 135 |  | oveq2 7439 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 = (𝑤 / 2) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑥 − (𝑤 / 2))) | 
| 136 | 135 | breq1d 5153 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 = (𝑤 / 2) → ((𝑥 − 𝑦) < 𝑧 ↔ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧)) | 
| 137 | 136 | rexbidv 3179 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 = (𝑤 / 2) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 − 𝑦) < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧)) | 
| 138 | 137 | rspcva 3620 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑤 / 2) ∈ ℝ+
∧ ∀𝑦 ∈
ℝ+ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 − 𝑦) < 𝑧) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) | 
| 139 | 133, 134,
138 | syl2anc 584 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) | 
| 140 | 139 | ad5ant134 1369 | . . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < )
∈ ℝ) ∧ 𝑤
∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) | 
| 141 |  | recn 11245 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(sup(𝐴,
ℝ*, < ) ∈ ℝ → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℂ) | 
| 142 | 141 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((sup(𝐴,
ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → sup(𝐴, ℝ*, < )
∈ ℂ) | 
| 143 | 120 | recnd 11289 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑤 ∈ ℝ+
→ 𝑤 ∈
ℂ) | 
| 144 | 143 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((sup(𝐴,
ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈
ℂ) | 
| 145 | 144 | halfcld 12511 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((sup(𝐴,
ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈
ℂ) | 
| 146 | 142, 145,
145 | subsub4d 11651 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((sup(𝐴,
ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) →
((sup(𝐴,
ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) = (sup(𝐴, ℝ*, < ) −
((𝑤 / 2) + (𝑤 / 2)))) | 
| 147 | 143 | 2halvesd 12512 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑤 ∈ ℝ+
→ ((𝑤 / 2) + (𝑤 / 2)) = 𝑤) | 
| 148 | 147 | oveq2d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑤 ∈ ℝ+
→ (sup(𝐴,
ℝ*, < ) − ((𝑤 / 2) + (𝑤 / 2))) = (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤)) | 
| 149 | 148 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((sup(𝐴,
ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) →
(sup(𝐴,
ℝ*, < ) − ((𝑤 / 2) + (𝑤 / 2))) = (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤)) | 
| 150 | 146, 149 | eqtr2d 2778 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((sup(𝐴,
ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) →
(sup(𝐴,
ℝ*, < ) − 𝑤) = ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2))) | 
| 151 | 150 | adantll 714 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) ∧ 𝑤 ∈
ℝ+) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) = ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2))) | 
| 152 | 151 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) ∧ 𝑤 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) = ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2))) | 
| 153 | 152 | ad3antrrr 730 | . . . . . . . . . . 11
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) = ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2))) | 
| 154 | 127, 126 | resubcld 11691 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) ∧ 𝑤 ∈
ℝ+) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) ∈
ℝ) | 
| 155 | 154 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) ∧ 𝑤 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) ∈
ℝ) | 
| 156 | 155 | ad3antrrr 730 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) ∈
ℝ) | 
| 157 | 2, 156 | sselid 3981 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) ∈
ℝ*) | 
| 158 | 120, 49 | sylanl2 681 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ) | 
| 159 | 125 | ad2antlr 727 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ) | 
| 160 | 158, 159 | resubcld 11691 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ) | 
| 161 | 160 | adantllr 719 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) ∧ 𝑤 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ) | 
| 162 | 161 | ad3antrrr 730 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (𝑥 − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ) | 
| 163 | 2, 162 | sselid 3981 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (𝑥 − (𝑤 / 2)) ∈
ℝ*) | 
| 164 |  | simp-6l 787 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → 𝜑) | 
| 165 |  | simplr 769 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝐵) | 
| 166 | 164, 165,
42 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ*) | 
| 167 |  | simp-6r 788 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) | 
| 168 | 120 | ad5antlr 735 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → 𝑤 ∈ ℝ) | 
| 169 | 168 | rehalfcld 12513 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ) | 
| 170 | 167, 169 | resubcld 11691 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) ∈
ℝ) | 
| 171 |  | simp-4r 784 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴) | 
| 172 | 164, 171,
34 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → 𝑥 ∈ ℝ) | 
| 173 |  | simpllr 776 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) | 
| 174 | 170, 172,
169, 173 | ltsub1dd 11875 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) < (𝑥 − (𝑤 / 2))) | 
| 175 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) | 
| 176 | 157, 163,
166, 174, 175 | xrlttrd 13201 | . . . . . . . . . . 11
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) < 𝑧) | 
| 177 | 153, 176 | eqbrtrd 5165 | . . . . . . . . . 10
⊢
(((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧) | 
| 178 | 177 | ex 412 | . . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧
sup(𝐴, ℝ*,
< ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧 → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧)) | 
| 179 | 178 | reximdva 3168 | . . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < )
∈ ℝ) ∧ 𝑤
∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧)) | 
| 180 | 140, 179 | mpd 15 | . . . . . . 7
⊢
(((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < )
∈ ℝ) ∧ 𝑤
∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧) | 
| 181 | 180 | rexlimdva2 3157 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) ∧ 𝑤 ∈
ℝ+) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧)) | 
| 182 | 131, 181 | mpd 15 | . . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) ∧ 𝑤 ∈
ℝ+) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧) | 
| 183 | 112, 113,
114, 182 | supxrgere 45344 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈
ℝ) → sup(𝐴,
ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, <
)) | 
| 184 | 92, 111, 183 | syl2anc 584 | . . 3
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
∧ ¬ 𝐴 = ∅)
→ sup(𝐴,
ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, <
)) | 
| 185 | 91, 184 | pm2.61dan 813 | . 2
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
→ sup(𝐴,
ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, <
)) | 
| 186 | 79, 185 | pm2.61dan 813 | 1
⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, <
)) |