Theorem climliminflimsup 46451

Description: A sequence of real numbers converges if and only if its inferior limit is real and it is greater than or equal to its superior limit (in such a case, they are actually equal, see liminfgelimsupuz 46431). (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
climliminflimsup.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climliminflimsup.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climliminflimsup.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
climliminflimsup	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))))

Proof of Theorem climliminflimsup

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climliminflimsup.2	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climliminflimsup.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		climliminflimsup.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
5	2, 1, 4	climliminf 46449	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ (lim inf‘𝐹)))
6	5	biimpd 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ → 𝐹 ⇝ (lim inf‘𝐹)))
7	6	imp 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ (lim inf‘𝐹))
8	4	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
9	8	ffvelcdmda 7082	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
10	1, 3, 7, 9	climrecl 15636	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
11		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
12	11	limsupcld 46333	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
13	3, 1, 8, 11	climliminflimsupd 46444	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))
14	13	eqcomd 2775	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (lim sup‘𝐹) = (lim inf‘𝐹))
15	12, 14	xreqled 45975	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))
16	10, 15	jca 520	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)))
17	2	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))) → 𝑀 ∈ ℤ)
18	4	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
19		simprl 782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
20		simprr 784	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))) → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))
21	17, 1, 18, 19, 20	liminflimsupclim 46450	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
22	16, 21	impbida 812	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  dom cdm 5664  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  ℝcr 11101   ≤ cle 11246  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12864  lim supclsp 15523   ⇝ cli 15537  lim infclsi 46394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179  ax-pre-sup 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9404  df-inf 9405  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11874  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12865  df-q 12975  df-rp 13019  df-xneg 13139  df-xadd 13140  df-ioo 13378  df-ico 13380  df-fz 13538  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-ceil 13828  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-limsup 15524  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-liminf 46395

This theorem is referenced by:  climliminflimsup2  46452  climliminflimsup3  46453