Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climliminflimsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climliminflimsup 45823
Description: A sequence of real numbers converges if and only if its inferior limit is real and it is greater than or equal to its superior limit (in such a case, they are actually equal, see liminfgelimsupuz 45803). (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climliminflimsup.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climliminflimsup.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
climliminflimsup.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
climliminflimsup (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))))

Proof of Theorem climliminflimsup
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climliminflimsup.2 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climliminflimsup.1 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
32adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 climliminflimsup.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
52, 1, 4climliminf 45821 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ (lim inf‘𝐹)))
65biimpd 229 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ → 𝐹 ⇝ (lim inf‘𝐹)))
76imp 406 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ (lim inf‘𝐹))
84adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
98ffvelcdmda 7104 . . . 4 (((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
101, 3, 7, 9climrecl 15619 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
11 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
1211limsupcld 45705 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
133, 1, 8, 11climliminflimsupd 45816 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))
1413eqcomd 2743 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (lim sup‘𝐹) = (lim inf‘𝐹))
1512, 14xreqled 45341 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))
1610, 15jca 511 . 2 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)))
172adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))) → 𝑀 ∈ ℤ)
184adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
19 simprl 771 . . 3 ((𝜑 ∧ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
20 simprr 773 . . 3 ((𝜑 ∧ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))) → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))
2117, 1, 18, 19, 20liminflimsupclim 45822 . 2 ((𝜑 ∧ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
2216, 21impbida 801 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  wf 6557  cfv 6561  cr 11154  cle 11296  cz 12613  cuz 12878  lim supclsp 15506  cli 15520  lim infclsi 45766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-ceil 13833  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-liminf 45767
This theorem is referenced by:  climliminflimsup2  45824  climliminflimsup3  45825
  Copyright terms: Public domain W3C validator