Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climliminflimsup Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem climliminflimsup 44822
Description: A sequence of real numbers converges if and only if its inferior limit is real and it is greater than or equal to its superior limit (in such a case, they are actually equal, see liminfgelimsupuz 44802). (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climliminflimsup.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
climliminflimsup.2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climliminflimsup.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
climliminflimsup (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ((lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ))))
Proof of Theorem climliminflimsup
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climliminflimsup.2 . . . 4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 climliminflimsup.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
32adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4 climliminflimsup.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
52, 1, 4climliminf 44820 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ (lim infβ€˜πΉ)))
65biimpd 228 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom ⇝ β†’ 𝐹 ⇝ (lim infβ€˜πΉ)))
76imp 405 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) β†’ 𝐹 ⇝ (lim infβ€˜πΉ))
84adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
98ffvelcdmda 7085 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
101, 3, 7, 9climrecl 15531 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) β†’ (lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
11 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
1211limsupcld 44704 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
133, 1, 8, 11climliminflimsupd 44815 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) β†’ (lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ))
1413eqcomd 2736 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) β†’ (lim supβ€˜πΉ) = (lim infβ€˜πΉ))
1512, 14xreqled 44338 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ))
1610, 15jca 510 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) β†’ ((lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ)))
172adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ))) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
184adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ))) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
19 simprl 767 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ))) β†’ (lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
20 simprr 769 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ))) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ))
2117, 1, 18, 19, 20liminflimsupclim 44821 . 2 ((πœ‘ ∧ ((lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ))) β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
2216, 21impbida 797 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ((lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  β„cr 11111   ≀ cle 11253  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  lim supclsp 15418   ⇝ cli 15432  lim infclsi 44765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-ceil 13762  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-liminf 44766
This theorem is referenced by:  climliminflimsup2  44823  climliminflimsup3  44824
  Copyright terms: Public domain W3C validator