Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climliminflimsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climliminflimsup 43349
Description: A sequence of real numbers converges if and only if its inferior limit is real and it is greater than or equal to its superior limit (in such a case, they are actually equal, see liminfgelimsupuz 43329). (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climliminflimsup.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climliminflimsup.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
climliminflimsup.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
climliminflimsup (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))))

Proof of Theorem climliminflimsup
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climliminflimsup.2 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climliminflimsup.1 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
32adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 climliminflimsup.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
52, 1, 4climliminf 43347 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ (lim inf‘𝐹)))
65biimpd 228 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ → 𝐹 ⇝ (lim inf‘𝐹)))
76imp 407 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ (lim inf‘𝐹))
84adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
98ffvelrnda 6961 . . . 4 (((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
101, 3, 7, 9climrecl 15292 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
11 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
1211limsupcld 43231 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
133, 1, 8, 11climliminflimsupd 43342 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))
1413eqcomd 2744 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (lim sup‘𝐹) = (lim inf‘𝐹))
1512, 14xreqled 42869 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))
1610, 15jca 512 . 2 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)))
172adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))) → 𝑀 ∈ ℤ)
184adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
19 simprl 768 . . 3 ((𝜑 ∧ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
20 simprr 770 . . 3 ((𝜑 ∧ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))) → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))
2117, 1, 18, 19, 20liminflimsupclim 43348 . 2 ((𝜑 ∧ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
2216, 21impbida 798 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106   class class class wbr 5074  dom cdm 5589  wf 6429  cfv 6433  cr 10870  cle 11010  cz 12319  cuz 12582  lim supclsp 15179  cli 15193  lim infclsi 43292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-ceil 13513  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-liminf 43293
This theorem is referenced by:  climliminflimsup2  43350  climliminflimsup3  43351
  Copyright terms: Public domain W3C validator