Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climliminflimsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climliminflimsup 43804
Description: A sequence of real numbers converges if and only if its inferior limit is real and it is greater than or equal to its superior limit (in such a case, they are actually equal, see liminfgelimsupuz 43784). (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climliminflimsup.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
climliminflimsup.2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climliminflimsup.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
climliminflimsup (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ((lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ))))

Proof of Theorem climliminflimsup
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climliminflimsup.2 . . . 4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 climliminflimsup.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
32adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4 climliminflimsup.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
52, 1, 4climliminf 43802 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ (lim infβ€˜πΉ)))
65biimpd 228 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom ⇝ β†’ 𝐹 ⇝ (lim infβ€˜πΉ)))
76imp 408 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) β†’ 𝐹 ⇝ (lim infβ€˜πΉ))
84adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
98ffvelcdmda 7030 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
101, 3, 7, 9climrecl 15400 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) β†’ (lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
11 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
1211limsupcld 43686 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
133, 1, 8, 11climliminflimsupd 43797 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) β†’ (lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ))
1413eqcomd 2744 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) β†’ (lim supβ€˜πΉ) = (lim infβ€˜πΉ))
1512, 14xreqled 43323 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ))
1610, 15jca 513 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) β†’ ((lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ)))
172adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ))) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
184adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ))) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
19 simprl 770 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ))) β†’ (lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
20 simprr 772 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ))) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ))
2117, 1, 18, 19, 20liminflimsupclim 43803 . 2 ((πœ‘ ∧ ((lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ))) β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
2216, 21impbida 800 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ((lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5104  dom cdm 5631  βŸΆwf 6488  β€˜cfv 6492  β„cr 10984   ≀ cle 11124  β„€cz 12433  β„€β‰₯cuz 12696  lim supclsp 15287   ⇝ cli 15301  lim infclsi 43747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8582  df-pm 8702  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-sup 9312  df-inf 9313  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-q 12803  df-rp 12845  df-xneg 12962  df-xadd 12963  df-ioo 13197  df-ico 13199  df-fz 13354  df-fzo 13497  df-fl 13626  df-ceil 13627  df-seq 13836  df-exp 13897  df-cj 14918  df-re 14919  df-im 14920  df-sqrt 15054  df-abs 15055  df-limsup 15288  df-clim 15305  df-rlim 15306  df-liminf 43748
This theorem is referenced by:  climliminflimsup2  43805  climliminflimsup3  43806
  Copyright terms: Public domain W3C validator