Theorem liminfgelimsupuz 45744

Description: The inferior limit is greater than or equal to the superior limit if and only if they are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfgelimsupuz.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminfgelimsupuz.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminfgelimsupuz.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
liminfgelimsupuz	⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹) ↔ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)))

Proof of Theorem liminfgelimsupuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		liminfgelimsupuz.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
2		liminfgelimsupuz.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	fvexi 6921	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ V
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
5	1, 4	fexd 7247	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
6	5	liminfcld 45726	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
8	5	limsupcld 45646	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
10		liminfgelimsupuz.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11	10, 2, 1	liminflelimsupuz 45741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))
13		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))
14	7, 9, 12, 13	xrletrid 13194	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))
15	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
16		id 22	. . . . 5 ⊢ ((lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹) → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))
17	16	eqcomd 2741	. . . 4 ⊢ ((lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹) → (lim sup‘𝐹) = (lim inf‘𝐹))
18	17	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)) → (lim sup‘𝐹) = (lim inf‘𝐹))
19	15, 18	xreqled 45280	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)) → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))
20	14, 19	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹) ↔ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  ℝ^*cxr 11292   ≤ cle 11294  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  lim supclsp 15503  lim infclsi 45707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-fl 13829  df-ceil 13830  df-limsup 15504  df-liminf 45708

This theorem is referenced by:  climliminflimsup2  45765  climliminflimsup3  45766  climliminflimsup4  45767  xlimlimsupleliminf  45819