Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfgelimsupuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfgelimsupuz 42296
 Description: The inferior limit is greater than or equal to the superior limit if and only if they are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfgelimsupuz.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
liminfgelimsupuz.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
liminfgelimsupuz.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
liminfgelimsupuz (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹) ↔ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)))

Proof of Theorem liminfgelimsupuz
StepHypRef Expression
1 liminfgelimsupuz.3 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
2 liminfgelimsupuz.2 . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
32fvexi 6673 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V
43a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ V)
51, 4fexd 6979 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ V)
65liminfcld 42278 . . . 4 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
76adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
85limsupcld 42198 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
98adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
10 liminfgelimsupuz.1 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1110, 2, 1liminflelimsupuz 42293 . . . 4 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))
1211adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))
13 simpr 488 . . 3 ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))
147, 9, 12, 13xrletrid 12543 . 2 ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))
158adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
16 id 22 . . . . 5 ((lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹) → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))
1716eqcomd 2830 . . . 4 ((lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹) → (lim sup‘𝐹) = (lim inf‘𝐹))
1817adantl 485 . . 3 ((𝜑 ∧ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)) → (lim sup‘𝐹) = (lim inf‘𝐹))
1915, 18xreqled 41828 . 2 ((𝜑 ∧ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)) → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))
2014, 19impbida 800 1 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹) ↔ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480   class class class wbr 5053  ⟶wf 6340  ‘cfv 6344  ℝ*cxr 10668   ≤ cle 10670  ℤcz 11976  ℤ≥cuz 12238  lim supclsp 14825  lim infclsi 42259 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8899  df-inf 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-ioo 12737  df-ico 12739  df-fl 13164  df-ceil 13165  df-limsup 14826  df-liminf 42260 This theorem is referenced by:  climliminflimsup2  42317  climliminflimsup3  42318  climliminflimsup4  42319  xlimlimsupleliminf  42371
 Copyright terms: Public domain W3C validator