Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfgelimsupuz Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem liminfgelimsupuz 44504
Description: The inferior limit is greater than or equal to the superior limit if and only if they are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfgelimsupuz.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
liminfgelimsupuz.2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
liminfgelimsupuz.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
Assertion
Ref Expression
liminfgelimsupuz (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ) ↔ (lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ)))
Proof of Theorem liminfgelimsupuz
StepHypRef Expression
1 liminfgelimsupuz.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
2 liminfgelimsupuz.2 . . . . . . . 8 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
32fvexi 6906 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V
43a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ V)
51, 4fexd 7229 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
65liminfcld 44486 . . . 4 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
76adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ)) β†’ (lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
85limsupcld 44406 . . . 4 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
98adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
10 liminfgelimsupuz.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
1110, 2, 1liminflelimsupuz 44501 . . . 4 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) ≀ (lim supβ€˜πΉ))
1211adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ)) β†’ (lim infβ€˜πΉ) ≀ (lim supβ€˜πΉ))
13 simpr 486 . . 3 ((πœ‘ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ))
147, 9, 12, 13xrletrid 13134 . 2 ((πœ‘ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ)) β†’ (lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ))
158adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
16 id 22 . . . . 5 ((lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ) β†’ (lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ))
1716eqcomd 2739 . . . 4 ((lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ) β†’ (lim supβ€˜πΉ) = (lim infβ€˜πΉ))
1817adantl 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ (lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) = (lim infβ€˜πΉ))
1915, 18xreqled 44040 . 2 ((πœ‘ ∧ (lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ))
2014, 19impbida 800 1 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ) ↔ (lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  β„*cxr 11247   ≀ cle 11249  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  lim supclsp 15414  lim infclsi 44467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-fl 13757  df-ceil 13758  df-limsup 15415  df-liminf 44468
This theorem is referenced by:  climliminflimsup2  44525  climliminflimsup3  44526  climliminflimsup4  44527  xlimlimsupleliminf  44579
  Copyright terms: Public domain W3C validator