Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfgelimsupuz Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem liminfgelimsupuz 45099
Description: The inferior limit is greater than or equal to the superior limit if and only if they are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfgelimsupuz.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
liminfgelimsupuz.2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
liminfgelimsupuz.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
Assertion
Ref Expression
liminfgelimsupuz (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ) ↔ (lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ)))
Proof of Theorem liminfgelimsupuz
StepHypRef Expression
1 liminfgelimsupuz.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
2 liminfgelimsupuz.2 . . . . . . . 8 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
32fvexi 6905 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V
43a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ V)
51, 4fexd 7233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
65liminfcld 45081 . . . 4 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
76adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ)) β†’ (lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
85limsupcld 45001 . . . 4 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
98adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
10 liminfgelimsupuz.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
1110, 2, 1liminflelimsupuz 45096 . . . 4 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) ≀ (lim supβ€˜πΉ))
1211adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ)) β†’ (lim infβ€˜πΉ) ≀ (lim supβ€˜πΉ))
13 simpr 484 . . 3 ((πœ‘ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ))
147, 9, 12, 13xrletrid 13158 . 2 ((πœ‘ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ)) β†’ (lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ))
158adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
16 id 22 . . . . 5 ((lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ) β†’ (lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ))
1716eqcomd 2733 . . . 4 ((lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ) β†’ (lim supβ€˜πΉ) = (lim infβ€˜πΉ))
1817adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) = (lim infβ€˜πΉ))
1915, 18xreqled 44635 . 2 ((πœ‘ ∧ (lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ))
2014, 19impbida 800 1 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ) ↔ (lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   class class class wbr 5142  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  β„*cxr 11269   ≀ cle 11271  β„€cz 12580  β„€β‰₯cuz 12844  lim supclsp 15438  lim infclsi 45062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-ioo 13352  df-ico 13354  df-fl 13781  df-ceil 13782  df-limsup 15439  df-liminf 45063
This theorem is referenced by:  climliminflimsup2  45120  climliminflimsup3  45121  climliminflimsup4  45122  xlimlimsupleliminf  45174
  Copyright terms: Public domain W3C validator