Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfgelimsupuz Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem liminfgelimsupuz 45239
Description: The inferior limit is greater than or equal to the superior limit if and only if they are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfgelimsupuz.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
liminfgelimsupuz.2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
liminfgelimsupuz.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
Assertion
Ref Expression
liminfgelimsupuz (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ) ↔ (lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ)))
Proof of Theorem liminfgelimsupuz
StepHypRef Expression
1 liminfgelimsupuz.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
2 liminfgelimsupuz.2 . . . . . . . 8 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
32fvexi 6908 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V
43a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ V)
51, 4fexd 7237 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
65liminfcld 45221 . . . 4 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
76adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ)) β†’ (lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
85limsupcld 45141 . . . 4 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
98adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
10 liminfgelimsupuz.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
1110, 2, 1liminflelimsupuz 45236 . . . 4 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) ≀ (lim supβ€˜πΉ))
1211adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ)) β†’ (lim infβ€˜πΉ) ≀ (lim supβ€˜πΉ))
13 simpr 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ))
147, 9, 12, 13xrletrid 13166 . 2 ((πœ‘ ∧ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ)) β†’ (lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ))
158adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
16 id 22 . . . . 5 ((lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ) β†’ (lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ))
1716eqcomd 2731 . . . 4 ((lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ) β†’ (lim supβ€˜πΉ) = (lim infβ€˜πΉ))
1817adantl 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) = (lim infβ€˜πΉ))
1915, 18xreqled 44775 . 2 ((πœ‘ ∧ (lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ)) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ))
2014, 19impbida 799 1 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim infβ€˜πΉ) ↔ (lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6543  β€˜cfv 6547  β„*cxr 11277   ≀ cle 11279  β„€cz 12588  β„€β‰₯cuz 12852  lim supclsp 15446  lim infclsi 45202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-ioo 13360  df-ico 13362  df-fl 13789  df-ceil 13790  df-limsup 15447  df-liminf 45203
This theorem is referenced by:  climliminflimsup2  45260  climliminflimsup3  45261  climliminflimsup4  45262  xlimlimsupleliminf  45314
  Copyright terms: Public domain W3C validator