Theorem liminfgelimsupuz 46720

Description: The inferior limit is greater than or equal to the superior limit if and only if they are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfgelimsupuz.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminfgelimsupuz.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminfgelimsupuz.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
liminfgelimsupuz	⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹) ↔ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)))

Proof of Theorem liminfgelimsupuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		liminfgelimsupuz.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
2		liminfgelimsupuz.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	fvexi 6887	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ V
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
5	1, 4	fexd 7221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
6	5	liminfcld 46702	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
8	5	limsupcld 46622	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
9	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
10		liminfgelimsupuz.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11	10, 2, 1	liminflelimsupuz 46717	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))
12	11	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))
13		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))
14	7, 9, 12, 13	xrletrid 13253	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))
15	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
16		id 23	. . . . 5 ⊢ ((lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹) → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))
17	16	eqcomd 2766	. . . 4 ⊢ ((lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹) → (lim sup‘𝐹) = (lim inf‘𝐹))
18	17	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)) → (lim sup‘𝐹) = (lim inf‘𝐹))
19	15, 18	xreqled 46264	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)) → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))
20	14, 19	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹) ↔ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   class class class wbr 5102  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  ℝ^*cxr 11313   ≤ cle 11315  ℤcz 12662  ℤ_≥cuz 12934  lim supclsp 15604  lim infclsi 46683

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-ioo 13449  df-ico 13451  df-fl 13900  df-ceil 13901  df-limsup 15605  df-liminf 46684

This theorem is used by:  climliminflimsup2  46741  climliminflimsup3  46742  climliminflimsup4  46743  xlimlimsupleliminf  46795