Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfgelimsupuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfgelimsupuz 40815
 Description: The inferior limit is greater than or equal to the superior limit if and only if they are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfgelimsupuz.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
liminfgelimsupuz.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
liminfgelimsupuz.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
liminfgelimsupuz (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹) ↔ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)))

Proof of Theorem liminfgelimsupuz
StepHypRef Expression
1 liminfgelimsupuz.3 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
2 liminfgelimsupuz.2 . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
32fvexi 6447 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V
43a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ V)
51, 4fexd 40111 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ V)
65liminfcld 40797 . . . 4 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
76adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
85limsupcld 40717 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
98adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
10 liminfgelimsupuz.1 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
111frexr 40401 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
1210, 2, 11liminflelimsupuz 40812 . . . 4 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))
1312adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))
14 simpr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))
157, 9, 13, 14xrletrid 12274 . 2 ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))
168adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
17 id 22 . . . . 5 ((lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹) → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))
1817eqcomd 2831 . . . 4 ((lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹) → (lim sup‘𝐹) = (lim inf‘𝐹))
1918adantl 475 . . 3 ((𝜑 ∧ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)) → (lim sup‘𝐹) = (lim inf‘𝐹))
2016, 19xreqled 40343 . 2 ((𝜑 ∧ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)) → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))
2115, 20impbida 837 1 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹) ↔ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  Vcvv 3414   class class class wbr 4873  ⟶wf 6119  ‘cfv 6123  ℝcr 10251  ℝ*cxr 10390   ≤ cle 10392  ℤcz 11704  ℤ≥cuz 11968  lim supclsp 14578  lim infclsi 40778 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-sup 8617  df-inf 8618  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-ioo 12467  df-ico 12469  df-fl 12888  df-ceil 12889  df-limsup 14579  df-liminf 40779 This theorem is referenced by:  climliminflimsup2  40836  climliminflimsup3  40837  climliminflimsup4  40838
 Copyright terms: Public domain W3C validator