Theorem liminfgelimsupuz 46454

Description: The inferior limit is greater than or equal to the superior limit if and only if they are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfgelimsupuz.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminfgelimsupuz.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminfgelimsupuz.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
liminfgelimsupuz	⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹) ↔ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)))

Proof of Theorem liminfgelimsupuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		liminfgelimsupuz.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
2		liminfgelimsupuz.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	fvexi 6899	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ V
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
5	1, 4	fexd 7229	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
6	5	liminfcld 46436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
7	6	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
8	5	limsupcld 46356	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
9	8	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
10		liminfgelimsupuz.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11	10, 2, 1	liminflelimsupuz 46451	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))
12	11	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))
13		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))
14	7, 9, 12, 13	xrletrid 13183	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹)) → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))
15	8	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
16		id 23	. . . . 5 ⊢ ((lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹) → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))
17	16	eqcomd 2776	. . . 4 ⊢ ((lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹) → (lim sup‘𝐹) = (lim inf‘𝐹))
18	17	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)) → (lim sup‘𝐹) = (lim inf‘𝐹))
19	15, 18	xreqled 45998	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)) → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹))
20	14, 19	impbida 812	1 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ≤ (lim inf‘𝐹) ↔ (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2150  Vcvv 3462   class class class wbr 5114  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  ℝ^*cxr 11245   ≤ cle 11247  ℤcz 12594  ℤ_≥cuz 12865  lim supclsp 15524  lim infclsi 46417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180  ax-pre-sup 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-n0 12508  df-z 12595  df-uz 12866  df-ioo 13379  df-ico 13381  df-fl 13828  df-ceil 13829  df-limsup 15525  df-liminf 46418

This theorem is referenced by:  climliminflimsup2  46475  climliminflimsup3  46476  climliminflimsup4  46477  xlimlimsupleliminf  46529