Theorem xleadd1d 43717

Description: Addition of extended reals preserves the "less than or equal to" relation, in the left slot. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xleadd1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xleadd1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xleadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xleadd1d.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xleadd1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))

Proof of Theorem xleadd1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xleadd1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xleadd1d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xleadd1d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
4		xleadd1d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5		xleadd1a 13197	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl31anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5125  (class class class)co 7377  ℝ^*cxr 11212   ≤ cle 11214   +_𝑒 cxad 13055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-id 5551  df-po 5565  df-so 5566  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-xadd 13058

This theorem is referenced by:  xle2addd  43724  infleinflem1  43758  sge0prle  44795