Theorem xleadd1d 45516

Description: Addition of extended reals preserves the "less than or equal to" relation, in the left slot. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xleadd1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xleadd1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xleadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xleadd1d.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xleadd1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))

Proof of Theorem xleadd1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xleadd1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xleadd1d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xleadd1d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
4		xleadd1d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5		xleadd1a 13166	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl31anc 1375	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  (class class class)co 7356  ℝ^*cxr 11163   ≤ cle 11165   +_𝑒 cxad 13022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-xadd 13025

This theorem is referenced by:  xle2addd  45523  infleinflem1  45556  sge0prle  46587