MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrre3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrre3 13182
Description: A way of proving that an extended real is real. (Contributed by FL, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
xrre3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < +∞)) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem xrre3
StepHypRef Expression
1 mnflt 13135 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → -∞ < 𝐵)
21adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → -∞ < 𝐵)
3 mnfxr 11301 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
4 rexr 11290 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
54adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
7 xrltletr 13168 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 𝐵𝐵𝐴) → -∞ < 𝐴))
83, 5, 6, 7mp3an2i 1463 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((-∞ < 𝐵𝐵𝐴) → -∞ < 𝐴))
92, 8mpand 694 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴 → -∞ < 𝐴))
109imp 406 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵𝐴) → -∞ < 𝐴)
1110adantrr 716 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < +∞)) → -∞ < 𝐴)
12 simprr 772 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < +∞)) → 𝐴 < +∞)
13 xrrebnd 13179 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))
1413ad2antrr 725 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < +∞)) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))
1511, 12, 14mpbir2and 712 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < +∞)) → 𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wcel 2099   class class class wbr 5148  cr 11137  +∞cpnf 11275  -∞cmnf 11276  *cxr 11277   < clt 11278  cle 11279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284
This theorem is referenced by:  elicore  13408  sibfinima  33959  orvcgteel  34087  ismblfin  37134
  Copyright terms: Public domain W3C validator