Theorem orvcgteel 35183

Description: Preimage maps produced by the "greater than or equal to" relation are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
orvcgteel.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
orvcgteel.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orvcgteel.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
orvcgteel	⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐◡ ≤ 𝐴) ∈ dom 𝑃)

Proof of Theorem orvcgteel

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orvcgteel.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2		orvcgteel.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
3		orvcgteel.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
5	3	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		brcnvg 5865	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥◡ ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ 𝑥))
7	4, 5, 6	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥◡ ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ 𝑥))
8	7	pm5.32da 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥◡ ≤ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥)))
9		rexr 11385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
10	9	ad2antrl 741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
11		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
12		ltpnf 13279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
13	12	ad2antrl 741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥)) → 𝑥 < +∞)
14	11, 13	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥)) → (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
15	10, 14	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)))
16		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
17	3	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))) → 𝐴 ∈ ℝ)
18		simprrl 793	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))) → 𝐴 ≤ 𝑥)
19		simprrr 794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))) → 𝑥 < +∞)
20		xrre3 13331	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
21	16, 17, 18, 19, 20	syl22anc 852	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))) → 𝑥 ∈ ℝ)
22	21, 18	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥))
23	15, 22	impbida 813	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))))
24	8, 23	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥◡ ≤ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))))
25	24	rabbidva2 3418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥◡ ≤ 𝐴} = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)})
26	3	rexrd 11389	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
27		pnfxr 11393	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
28		icoval 13544	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴[,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)})
29	26, 27, 28	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)})
30	25, 29	eqtr4d 2801	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥◡ ≤ 𝐴} = (𝐴[,)+∞))
31		icopnfcld 25119	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
32	3, 31	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
33	30, 32	eqeltrd 2864	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥◡ ≤ 𝐴} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
34	1, 2, 3, 33	orrvccel 35182	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐◡ ≤ 𝐴) ∈ dom 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416   class class class wbr 5106  ^◡ccnv 5655  dom cdm 5656  ran crn 5657  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℝcr 11229  +∞cpnf 11370  ℝ^*cxr 11372   < clt 11373   ≤ cle 11374  (,)cioo 13506  [,)cico 13508  topGenctg 17640  Clsdccld 23367  Probcprb 35122  rRndVarcrrv 35155  ∘_RV/𝑐corvc 35171

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-dju 10012  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-q 13106  df-ioo 13510  df-ico 13512  df-topgen 17646  df-top 23245  df-bases 23297  df-cld 23370  df-esum 34743  df-siga 34824  df-sigagen 34855  df-brsiga 34898  df-meas 34912  df-mbfm 34966  df-prob 35123  df-rrv 35156  df-orvc 35172

This theorem is used by: (None)