Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvcgteel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orvcgteel 34144
Description: Preimage maps produced by the "greater than or equal to" relation are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
orvcgteel.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
orvcgteel.2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
orvcgteel.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
orvcgteel (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐◑ ≀ 𝐴) ∈ dom 𝑃)

Proof of Theorem orvcgteel
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orvcgteel.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
2 orvcgteel.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
3 orvcgteel.3 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
53adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6 brcnvg 5876 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯β—‘ ≀ 𝐴 ↔ 𝐴 ≀ π‘₯))
74, 5, 6syl2anc 582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯β—‘ ≀ 𝐴 ↔ 𝐴 ≀ π‘₯))
87pm5.32da 577 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯β—‘ ≀ 𝐴) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯)))
9 rexr 11290 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
109ad2antrl 726 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
11 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
12 ltpnf 13132 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ < +∞)
1312ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ < +∞)
1411, 13jca 510 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯)) β†’ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞))
1510, 14jca 510 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞)))
16 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
173adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
18 simprrl 779 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞))) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
19 simprrr 780 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞))) β†’ π‘₯ < +∞)
20 xrre3 13182 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2116, 17, 18, 19, 20syl22anc 837 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2221, 18jca 510 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯))
2315, 22impbida 799 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞))))
248, 23bitrd 278 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯β—‘ ≀ 𝐴) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞))))
2524rabbidva2 3421 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯β—‘ ≀ 𝐴} = {π‘₯ ∈ ℝ* ∣ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞)})
263rexrd 11294 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
27 pnfxr 11298 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
28 icoval 13394 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (𝐴[,)+∞) = {π‘₯ ∈ ℝ* ∣ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞)})
2926, 27, 28sylancl 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴[,)+∞) = {π‘₯ ∈ ℝ* ∣ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞)})
3025, 29eqtr4d 2768 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯β—‘ ≀ 𝐴} = (𝐴[,)+∞))
31 icopnfcld 24702 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴[,)+∞) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
323, 31syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴[,)+∞) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
3330, 32eqeltrd 2825 . 2 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯β—‘ ≀ 𝐴} ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
341, 2, 3, 33orrvccel 34143 1 (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐◑ ≀ 𝐴) ∈ dom 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419   class class class wbr 5143  β—‘ccnv 5671  dom cdm 5672  ran crn 5673  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„cr 11137  +∞cpnf 11275  β„*cxr 11277   < clt 11278   ≀ cle 11279  (,)cioo 13356  [,)cico 13358  topGenctg 17418  Clsdccld 22938  Probcprb 34084  rRndVarcrrv 34117  βˆ˜RV/𝑐corvc 34132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-ac2 10486  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-acn 9965  df-ac 10139  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-ioo 13360  df-ico 13362  df-topgen 17424  df-top 22814  df-bases 22867  df-cld 22941  df-esum 33704  df-siga 33785  df-sigagen 33815  df-brsiga 33858  df-meas 33872  df-mbfm 33926  df-prob 34085  df-rrv 34118  df-orvc 34133
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator