Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvcgteel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orvcgteel 34449
Description: Preimage maps produced by the "greater than or equal to" relation are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
orvcgteel.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
orvcgteel.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orvcgteel.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
orvcgteel (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝐴) ∈ dom 𝑃)

Proof of Theorem orvcgteel
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orvcgteel.1 . 2 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
2 orvcgteel.2 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
3 orvcgteel.3 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
53adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 brcnvg 5893 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴𝐴𝑥))
74, 5, 6syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴𝐴𝑥))
87pm5.32da 579 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥)))
9 rexr 11305 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
109ad2antrl 728 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
11 simprr 773 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥)) → 𝐴𝑥)
12 ltpnf 13160 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
1312ad2antrl 728 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥)) → 𝑥 < +∞)
1411, 13jca 511 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥)) → (𝐴𝑥𝑥 < +∞))
1510, 14jca 511 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥 < +∞)))
16 simprl 771 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥 < +∞))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
173adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥 < +∞))) → 𝐴 ∈ ℝ)
18 simprrl 781 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥 < +∞))) → 𝐴𝑥)
19 simprrr 782 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥 < +∞))) → 𝑥 < +∞)
20 xrre3 13210 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝑥𝑥 < +∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
2116, 17, 18, 19, 20syl22anc 839 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥 < +∞))) → 𝑥 ∈ ℝ)
2221, 18jca 511 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥 < +∞))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥))
2315, 22impbida 801 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥 < +∞))))
248, 23bitrd 279 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥 < +∞))))
2524rabbidva2 3435 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴} = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥 < +∞)})
263rexrd 11309 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
27 pnfxr 11313 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
28 icoval 13422 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴[,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥 < +∞)})
2926, 27, 28sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥 < +∞)})
3025, 29eqtr4d 2778 . . 3 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴} = (𝐴[,)+∞))
31 icopnfcld 24804 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
323, 31syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
3330, 32eqeltrd 2839 . 2 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
341, 2, 3, 33orrvccel 34448 1 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝐴) ∈ dom 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433   class class class wbr 5148  ccnv 5688  dom cdm 5689  ran crn 5690  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  +∞cpnf 11290  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  (,)cioo 13384  [,)cico 13386  topGenctg 17484  Clsdccld 23040  Probcprb 34389  rRndVarcrrv 34422  RV/𝑐corvc 34437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-topgen 17490  df-top 22916  df-bases 22969  df-cld 23043  df-esum 34009  df-siga 34090  df-sigagen 34120  df-brsiga 34163  df-meas 34177  df-mbfm 34231  df-prob 34390  df-rrv 34423  df-orvc 34438
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator