Theorem orvcgteel 35146

Description: Preimage maps produced by the "greater than or equal to" relation are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
orvcgteel.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
orvcgteel.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orvcgteel.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
orvcgteel	⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐◡ ≤ 𝐴) ∈ dom 𝑃)

Proof of Theorem orvcgteel

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orvcgteel.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2		orvcgteel.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
3		orvcgteel.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
5	3	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		brcnvg 5856	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥◡ ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ 𝑥))
7	4, 5, 6	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥◡ ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ 𝑥))
8	7	pm5.32da 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥◡ ≤ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥)))
9		rexr 11358	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
10	9	ad2antrl 741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
11		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
12		ltpnf 13252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
13	12	ad2antrl 741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥)) → 𝑥 < +∞)
14	11, 13	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥)) → (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
15	10, 14	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)))
16		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
17	3	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))) → 𝐴 ∈ ℝ)
18		simprrl 793	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))) → 𝐴 ≤ 𝑥)
19		simprrr 794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))) → 𝑥 < +∞)
20		xrre3 13304	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
21	16, 17, 18, 19, 20	syl22anc 852	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))) → 𝑥 ∈ ℝ)
22	21, 18	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥))
23	15, 22	impbida 813	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))))
24	8, 23	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥◡ ≤ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))))
25	24	rabbidva2 3414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥◡ ≤ 𝐴} = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)})
26	3	rexrd 11362	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
27		pnfxr 11366	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
28		icoval 13517	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴[,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)})
29	26, 27, 28	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)})
30	25, 29	eqtr4d 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥◡ ≤ 𝐴} = (𝐴[,)+∞))
31		icopnfcld 25091	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
32	3, 31	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
33	30, 32	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥◡ ≤ 𝐴} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
34	1, 2, 3, 33	orrvccel 35145	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐◡ ≤ 𝐴) ∈ dom 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650  ran crn 5651  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11202  +∞cpnf 11343  ℝ^*cxr 11345   < clt 11346   ≤ cle 11347  (,)cioo 13479  [,)cico 13481  topGenctg 17613  Clsdccld 23339  Probcprb 35085  rRndVarcrrv 35118  ∘_RV/𝑐corvc 35134

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-dju 9985  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-q 13079  df-ioo 13483  df-ico 13485  df-topgen 17619  df-top 23217  df-bases 23269  df-cld 23342  df-esum 34706  df-siga 34787  df-sigagen 34818  df-brsiga 34861  df-meas 34875  df-mbfm 34929  df-prob 35086  df-rrv 35119  df-orvc 35135

This theorem is used by: (None)