Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvcgteel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orvcgteel 31624
Description: Preimage maps produced by the "greater than or equal to" relation are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
orvcgteel.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
orvcgteel.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orvcgteel.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
orvcgteel (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝐴) ∈ dom 𝑃)

Proof of Theorem orvcgteel
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orvcgteel.1 . 2 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
2 orvcgteel.2 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
3 orvcgteel.3 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
53adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 brcnvg 5743 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴𝐴𝑥))
74, 5, 6syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴𝐴𝑥))
87pm5.32da 579 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥)))
9 rexr 10675 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
109ad2antrl 724 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
11 simprr 769 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥)) → 𝐴𝑥)
12 ltpnf 12503 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
1312ad2antrl 724 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥)) → 𝑥 < +∞)
1411, 13jca 512 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥)) → (𝐴𝑥𝑥 < +∞))
1510, 14jca 512 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥 < +∞)))
16 simprl 767 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥 < +∞))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
173adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥 < +∞))) → 𝐴 ∈ ℝ)
18 simprrl 777 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥 < +∞))) → 𝐴𝑥)
19 simprrr 778 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥 < +∞))) → 𝑥 < +∞)
20 xrre3 12552 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝑥𝑥 < +∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
2116, 17, 18, 19, 20syl22anc 834 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥 < +∞))) → 𝑥 ∈ ℝ)
2221, 18jca 512 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥 < +∞))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥))
2315, 22impbida 797 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥 < +∞))))
248, 23bitrd 280 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥 < +∞))))
2524rabbidva2 3474 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴} = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥 < +∞)})
263rexrd 10679 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
27 pnfxr 10683 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
28 icoval 12764 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴[,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥 < +∞)})
2926, 27, 28sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥 < +∞)})
3025, 29eqtr4d 2856 . . 3 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴} = (𝐴[,)+∞))
31 icopnfcld 23303 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
323, 31syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
3330, 32eqeltrd 2910 . 2 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
341, 2, 3, 33orrvccel 31623 1 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝐴) ∈ dom 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  {crab 3139   class class class wbr 5057  ccnv 5547  dom cdm 5548  ran crn 5549  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  +∞cpnf 10660  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  (,)cioo 12726  [,)cico 12728  topGenctg 16699  Clsdccld 21552  Probcprb 31564  rRndVarcrrv 31597  RV/𝑐corvc 31612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-ac2 9873  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-ac 9530  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-topgen 16705  df-top 21430  df-bases 21482  df-cld 21555  df-esum 31186  df-siga 31267  df-sigagen 31297  df-brsiga 31340  df-meas 31354  df-mbfm 31408  df-prob 31565  df-rrv 31598  df-orvc 31613
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator