Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvcgteel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orvcgteel 33996
Description: Preimage maps produced by the "greater than or equal to" relation are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
orvcgteel.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
orvcgteel.2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
orvcgteel.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
orvcgteel (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐◑ ≀ 𝐴) ∈ dom 𝑃)

Proof of Theorem orvcgteel
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orvcgteel.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
2 orvcgteel.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
3 orvcgteel.3 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
53adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6 brcnvg 5873 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯β—‘ ≀ 𝐴 ↔ 𝐴 ≀ π‘₯))
74, 5, 6syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯β—‘ ≀ 𝐴 ↔ 𝐴 ≀ π‘₯))
87pm5.32da 578 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯β—‘ ≀ 𝐴) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯)))
9 rexr 11264 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
109ad2antrl 725 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
11 simprr 770 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
12 ltpnf 13106 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ < +∞)
1312ad2antrl 725 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ < +∞)
1411, 13jca 511 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯)) β†’ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞))
1510, 14jca 511 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞)))
16 simprl 768 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
173adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
18 simprrl 778 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞))) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
19 simprrr 779 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞))) β†’ π‘₯ < +∞)
20 xrre3 13156 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2116, 17, 18, 19, 20syl22anc 836 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2221, 18jca 511 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯))
2315, 22impbida 798 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞))))
248, 23bitrd 279 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯β—‘ ≀ 𝐴) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞))))
2524rabbidva2 3428 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯β—‘ ≀ 𝐴} = {π‘₯ ∈ ℝ* ∣ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞)})
263rexrd 11268 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
27 pnfxr 11272 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
28 icoval 13368 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (𝐴[,)+∞) = {π‘₯ ∈ ℝ* ∣ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞)})
2926, 27, 28sylancl 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴[,)+∞) = {π‘₯ ∈ ℝ* ∣ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞)})
3025, 29eqtr4d 2769 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯β—‘ ≀ 𝐴} = (𝐴[,)+∞))
31 icopnfcld 24639 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴[,)+∞) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
323, 31syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴[,)+∞) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
3330, 32eqeltrd 2827 . 2 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯β—‘ ≀ 𝐴} ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
341, 2, 3, 33orrvccel 33995 1 (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐◑ ≀ 𝐴) ∈ dom 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426   class class class wbr 5141  β—‘ccnv 5668  dom cdm 5669  ran crn 5670  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„cr 11111  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  (,)cioo 13330  [,)cico 13332  topGenctg 17392  Clsdccld 22875  Probcprb 33936  rRndVarcrrv 33969  βˆ˜RV/𝑐corvc 33984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-topgen 17398  df-top 22751  df-bases 22804  df-cld 22878  df-esum 33556  df-siga 33637  df-sigagen 33667  df-brsiga 33710  df-meas 33724  df-mbfm 33778  df-prob 33937  df-rrv 33970  df-orvc 33985
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator