MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrre2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrre2 12556
Description: An extended real between two others is real. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrre2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)

Proof of Theorem xrre2
StepHypRef Expression
1 mnfle 12522 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
21adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → -∞ ≤ 𝐴)
3 mnfxr 10690 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
4 xrlelttr 12542 . . . . . . 7 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((-∞ ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) → -∞ < 𝐵))
53, 4mp3an1 1441 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((-∞ ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) → -∞ < 𝐵))
62, 5mpand 691 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → -∞ < 𝐵))
763adant3 1126 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → -∞ < 𝐵))
8 pnfge 12518 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≤ +∞)
98adantl 482 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐶 ≤ +∞)
10 pnfxr 10687 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
11 xrltletr 12543 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐵 < 𝐶𝐶 ≤ +∞) → 𝐵 < +∞))
1210, 11mp3an3 1443 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐵 < 𝐶𝐶 ≤ +∞) → 𝐵 < +∞))
139, 12mpan2d 690 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐶𝐵 < +∞))
14133adant1 1124 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐶𝐵 < +∞))
157, 14anim12d 608 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞)))
16 xrrebnd 12554 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞)))
17163ad2ant2 1128 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞)))
1815, 17sylibrd 260 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ))
1918imp 407 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081  wcel 2107   class class class wbr 5062  cr 10528  +∞cpnf 10664  -∞cmnf 10665  *cxr 10666   < clt 10667  cle 10668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-po 5472  df-so 5473  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673
This theorem is referenced by:  elioore  12761  xrsdsreclblem  20509  pnfnei  21746  mnfnei  21747  tgioo  23321  ovolunnul  24018  icombl  24082  ioombl  24083  ioorcl2  24090  volivth  24125  dvferm2lem  24500  itg2gt0cn  34816  iccpartipre  43415
  Copyright terms: Public domain W3C validator