MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrre2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrre2 13209
Description: An extended real between two others is real. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrre2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)

Proof of Theorem xrre2
StepHypRef Expression
1 mnfle 13174 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
21adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → -∞ ≤ 𝐴)
3 mnfxr 11316 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
4 xrlelttr 13195 . . . . . . 7 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((-∞ ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) → -∞ < 𝐵))
53, 4mp3an1 1447 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((-∞ ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) → -∞ < 𝐵))
62, 5mpand 695 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → -∞ < 𝐵))
763adant3 1131 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → -∞ < 𝐵))
8 pnfge 13170 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≤ +∞)
98adantl 481 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐶 ≤ +∞)
10 pnfxr 11313 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
11 xrltletr 13196 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐵 < 𝐶𝐶 ≤ +∞) → 𝐵 < +∞))
1210, 11mp3an3 1449 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐵 < 𝐶𝐶 ≤ +∞) → 𝐵 < +∞))
139, 12mpan2d 694 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐶𝐵 < +∞))
14133adant1 1129 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐶𝐵 < +∞))
157, 14anim12d 609 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞)))
16 xrrebnd 13207 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞)))
17163ad2ant2 1133 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞)))
1815, 17sylibrd 259 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ))
1918imp 406 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086  wcel 2106   class class class wbr 5148  cr 11152  +∞cpnf 11290  -∞cmnf 11291  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299
This theorem is referenced by:  elioore  13414  xrsdsreclblem  21448  pnfnei  23244  mnfnei  23245  tgioo  24832  ovolunnul  25549  icombl  25613  ioombl  25614  ioorcl2  25621  volivth  25656  dvferm2lem  26039  itg2gt0cn  37662  iccpartipre  47346
  Copyright terms: Public domain W3C validator