MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrre2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrre2 13173
Description: An extended real between two others is real. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrre2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)

Proof of Theorem xrre2
StepHypRef Expression
1 mnfle 13138 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
21adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → -∞ ≤ 𝐴)
3 mnfxr 11293 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
4 xrlelttr 13159 . . . . . . 7 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((-∞ ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) → -∞ < 𝐵))
53, 4mp3an1 1445 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((-∞ ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) → -∞ < 𝐵))
62, 5mpand 694 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → -∞ < 𝐵))
763adant3 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → -∞ < 𝐵))
8 pnfge 13134 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≤ +∞)
98adantl 481 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐶 ≤ +∞)
10 pnfxr 11290 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
11 xrltletr 13160 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐵 < 𝐶𝐶 ≤ +∞) → 𝐵 < +∞))
1210, 11mp3an3 1447 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐵 < 𝐶𝐶 ≤ +∞) → 𝐵 < +∞))
139, 12mpan2d 693 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐶𝐵 < +∞))
14133adant1 1128 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐶𝐵 < +∞))
157, 14anim12d 608 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞)))
16 xrrebnd 13171 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞)))
17163ad2ant2 1132 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞)))
1815, 17sylibrd 259 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ))
1918imp 406 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085  wcel 2099   class class class wbr 5142  cr 11129  +∞cpnf 11267  -∞cmnf 11268  *cxr 11269   < clt 11270  cle 11271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276
This theorem is referenced by:  elioore  13378  xrsdsreclblem  21332  pnfnei  23111  mnfnei  23112  tgioo  24699  ovolunnul  25416  icombl  25480  ioombl  25481  ioorcl2  25488  volivth  25523  dvferm2lem  25905  itg2gt0cn  37083  iccpartipre  46684
  Copyright terms: Public domain W3C validator