MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrre2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrre2 13146
Description: An extended real between two others is real. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrre2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)

Proof of Theorem xrre2
StepHypRef Expression
1 mnfle 13111 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
21adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → -∞ ≤ 𝐴)
3 mnfxr 11268 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
4 xrlelttr 13132 . . . . . . 7 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((-∞ ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) → -∞ < 𝐵))
53, 4mp3an1 1444 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((-∞ ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) → -∞ < 𝐵))
62, 5mpand 692 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → -∞ < 𝐵))
763adant3 1129 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → -∞ < 𝐵))
8 pnfge 13107 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≤ +∞)
98adantl 481 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐶 ≤ +∞)
10 pnfxr 11265 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
11 xrltletr 13133 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐵 < 𝐶𝐶 ≤ +∞) → 𝐵 < +∞))
1210, 11mp3an3 1446 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐵 < 𝐶𝐶 ≤ +∞) → 𝐵 < +∞))
139, 12mpan2d 691 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐶𝐵 < +∞))
14133adant1 1127 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐶𝐵 < +∞))
157, 14anim12d 608 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞)))
16 xrrebnd 13144 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞)))
17163ad2ant2 1131 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞)))
1815, 17sylibrd 259 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ))
1918imp 406 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084  wcel 2098   class class class wbr 5138  cr 11105  +∞cpnf 11242  -∞cmnf 11243  *cxr 11244   < clt 11245  cle 11246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251
This theorem is referenced by:  elioore  13351  xrsdsreclblem  21275  pnfnei  23046  mnfnei  23047  tgioo  24634  ovolunnul  25351  icombl  25415  ioombl  25416  ioorcl2  25423  volivth  25458  dvferm2lem  25840  itg2gt0cn  37033  iccpartipre  46574
  Copyright terms: Public domain W3C validator