MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ge0gtmnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ge0gtmnf 13210
Description: A nonnegative extended real is greater than negative infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ge0gtmnf ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → -∞ < 𝐴)

Proof of Theorem ge0gtmnf
StepHypRef Expression
1 mnflt0 13164 . 2 -∞ < 0
2 mnfxr 11315 . . . 4 -∞ ∈ ℝ*
3 0xr 11305 . . . 4 0 ∈ ℝ*
4 xrltletr 13195 . . . 4 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -∞ < 𝐴))
52, 3, 4mp3an12 1450 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -∞ < 𝐴))
65imp 406 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)) → -∞ < 𝐴)
71, 6mpanr1 703 1 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → -∞ < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2105   class class class wbr 5147  0cc0 11152  -∞cmnf 11290  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-addrcl 11213  ax-rnegex 11223  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298
This theorem is referenced by:  ge0nemnf  13211  xrrege0  13212  pcgcd1  16910  pnfnei  23243  isnghm3  24761  ovolunnul  25548  radcnvle  26477  psercnlem1  26483
  Copyright terms: Public domain W3C validator