Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elicore Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elicore 12779
 Description: A member of a left-closed right-open interval of reals is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
elicore ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)

Proof of Theorem elicore
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ico 12734 . . . . . . 7 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
21elixx3g 12741 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
32biimpi 219 . . . . 5 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
43simpld 498 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))
54simp3d 1141 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
65adantl 485 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7 simpl 486 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
83simprd 499 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵))
98simpld 498 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐴𝐶)
109adantl 485 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴𝐶)
114simp2d 1140 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
1211adantl 485 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13 pnfxr 10686 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
1413a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → +∞ ∈ ℝ*)
158simprd 499 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐶 < 𝐵)
1615adantl 485 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)
17 pnfge 12515 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≤ +∞)
1811, 17syl 17 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐵 ≤ +∞)
1918adantl 485 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐵 ≤ +∞)
206, 12, 14, 16, 19xrltletrd 12544 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 < +∞)
21 xrre3 12554 . 2 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < +∞)) → 𝐶 ∈ ℝ)
226, 7, 10, 20, 21syl22anc 837 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ℝcr 10527  +∞cpnf 10663  ℝ*cxr 10665   < clt 10666   ≤ cle 10667  [,)cico 12730 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-ico 12734 This theorem is referenced by:  relowlpssretop  34797  limsupresico  42357  liminfresico  42428  fourierdlem43  42807
 Copyright terms: Public domain W3C validator