MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elicore Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elicore 12987
Description: A member of a left-closed right-open interval of reals is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
elicore ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)

Proof of Theorem elicore
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ico 12941 . . . . . . 7 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
21elixx3g 12948 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
32biimpi 219 . . . . 5 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
43simpld 498 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))
54simp3d 1146 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
65adantl 485 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7 simpl 486 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
83simprd 499 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵))
98simpld 498 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐴𝐶)
109adantl 485 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴𝐶)
114simp2d 1145 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
1211adantl 485 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13 pnfxr 10887 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
1413a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → +∞ ∈ ℝ*)
158simprd 499 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐶 < 𝐵)
1615adantl 485 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)
17 pnfge 12722 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≤ +∞)
1811, 17syl 17 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐵 ≤ +∞)
1918adantl 485 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐵 ≤ +∞)
206, 12, 14, 16, 19xrltletrd 12751 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 < +∞)
21 xrre3 12761 . 2 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < +∞)) → 𝐶 ∈ ℝ)
226, 7, 10, 20, 21syl22anc 839 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089  wcel 2110   class class class wbr 5053  (class class class)co 7213  cr 10728  +∞cpnf 10864  *cxr 10866   < clt 10867  cle 10868  [,)cico 12937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-ico 12941
This theorem is referenced by:  relowlpssretop  35272  limsupresico  42916  liminfresico  42987  fourierdlem43  43366
  Copyright terms: Public domain W3C validator