Theorem coex 4750

Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by SF, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coex.1	⊢ A ∈ V
coex.2	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
coex	⊢ (A ∘ B) ∈ V

Proof of Theorem coex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coex.1	. 2 ⊢ A ∈ V
2		coex.2	. 2 ⊢ B ∈ V
3		coexg 4749	. 2 ⊢ ((A ∈ V ∧ B ∈ V) → (A ∘ B) ∈ V)
4	1, 2, 3	mp2an 653	1 ⊢ (A ∘ B) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 1710  Vcvv 2859   ∘ ccom 4721

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-phi 4565  df-op 4566  df-opab 4623  df-br 4640  df-co 4726

This theorem is referenced by:  2ndex  5112  ins4ex  5799  si3ex  5806  composefn  5818  addcfnex  5824  clos1ex  5876  entr  6038  xpassen  6057  enpw1lem1  6061  enmap2lem1  6063  enmap2lem2  6064  enmap2lem5  6067  enmap1lem1  6069  enmap1lem2  6070  enmap1lem5  6073  lecex  6115  ovcelem1  6171  ceex  6174  sbthlem3  6205  nclenc  6222  lenc  6223  tcfnex  6244  csucex  6259  nnltp1clem1  6261  addccan2nclem2  6264  nmembers1lem1  6268  nncdiv3lem2  6276  nnc3n3p1  6278  spacvallem1  6281  nchoicelem11  6299  nchoicelem16  6304  nchoicelem18  6306