Theorem nnltp1clem1 6262

Description: Lemma for nnltp1c 6263. Set up stratification. (Contributed by SF, 25-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nnltp1clem1	⊢ {x ∣ x <c (x +c 1c)} ∈ V

Proof of Theorem nnltp1clem1

Dummy variables y w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfix 5788	. . . 4 ⊢ (x ∈ Fix (◡ <c ∘ (w ∈ V ↦ (w +c 1c))) ↔ x(◡ <c ∘ (w ∈ V ↦ (w +c 1c)))x)
2		brco 4884	. . . . 5 ⊢ (x(◡ <c ∘ (w ∈ V ↦ (w +c 1c)))x ↔ ∃y(x(w ∈ V ↦ (w +c 1c))y ∧ y◡ <c x))
3		vex 2863	. . . . . . . . 9 ⊢ x ∈ V
4		vex 2863	. . . . . . . . 9 ⊢ y ∈ V
5	3, 4	brcsuc 6261	. . . . . . . 8 ⊢ (x(w ∈ V ↦ (w +c 1c))y ↔ y = (x +c 1c))
6		brcnv 4893	. . . . . . . 8 ⊢ (y◡ <c x ↔ x <c y)
7	5, 6	anbi12i 678	. . . . . . 7 ⊢ ((x(w ∈ V ↦ (w +c 1c))y ∧ y◡ <c x) ↔ (y = (x +c 1c) ∧ x <c y))
8	7	exbii 1582	. . . . . 6 ⊢ (∃y(x(w ∈ V ↦ (w +c 1c))y ∧ y◡ <c x) ↔ ∃y(y = (x +c 1c) ∧ x <c y))
9		1cex 4143	. . . . . . . 8 ⊢ 1c ∈ V
10	3, 9	addcex 4395	. . . . . . 7 ⊢ (x +c 1c) ∈ V
11		breq2 4644	. . . . . . 7 ⊢ (y = (x +c 1c) → (x <c y ↔ x <c (x +c 1c)))
12	10, 11	ceqsexv 2895	. . . . . 6 ⊢ (∃y(y = (x +c 1c) ∧ x <c y) ↔ x <c (x +c 1c))
13	8, 12	bitri 240	. . . . 5 ⊢ (∃y(x(w ∈ V ↦ (w +c 1c))y ∧ y◡ <c x) ↔ x <c (x +c 1c))
14	2, 13	bitri 240	. . . 4 ⊢ (x(◡ <c ∘ (w ∈ V ↦ (w +c 1c)))x ↔ x <c (x +c 1c))
15	1, 14	bitri 240	. . 3 ⊢ (x ∈ Fix (◡ <c ∘ (w ∈ V ↦ (w +c 1c))) ↔ x <c (x +c 1c))
16	15	abbi2i 2465	. 2 ⊢ Fix (◡ <c ∘ (w ∈ V ↦ (w +c 1c))) = {x ∣ x <c (x +c 1c)}
17		ltcex 6117	. . . . 5 ⊢ <c ∈ V
18	17	cnvex 5103	. . . 4 ⊢ ◡ <c ∈ V
19		csucex 6260	. . . 4 ⊢ (w ∈ V ↦ (w +c 1c)) ∈ V
20	18, 19	coex 4751	. . 3 ⊢ (◡ <c ∘ (w ∈ V ↦ (w +c 1c))) ∈ V
21	20	fixex 5790	. 2 ⊢ Fix (◡ <c ∘ (w ∈ V ↦ (w +c 1c))) ∈ V
22	16, 21	eqeltrri 2424	1 ⊢ {x ∣ x <c (x +c 1c)} ∈ V

Syntax hints:   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  {cab 2339  Vcvv 2860  1_cc1c 4135   +_c cplc 4376   class class class wbr 4640   ∘ ccom 4722  ^◡ccnv 4772   ↦ cmpt 5652   Fix cfix 5740   <_c cltc 6091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-csb 3138  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-iun 3972  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-1st 4724  df-swap 4725  df-sset 4726  df-co 4727  df-ima 4728  df-si 4729  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-res 4789  df-fun 4790  df-fn 4791  df-f 4792  df-fo 4794  df-fv 4796  df-2nd 4798  df-ov 5527  df-oprab 5529  df-mpt 5653  df-mpt2 5655  df-txp 5737  df-fix 5741  df-cup 5743  df-disj 5745  df-addcfn 5747  df-ins2 5751  df-ins3 5753  df-ins4 5757  df-si3 5759  df-lec 6100  df-ltc 6101

This theorem is referenced by:  nnltp1c  6263