New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  raliunxp GIF version

Theorem raliunxp 4823
 Description: Write a double restricted quantification as one universal quantifier. In this version of ralxp 4825, B(y) is not assumed to be constant. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
raliunxp.1 (x = y, z → (φψ))
Assertion
Ref Expression
raliunxp (x y A ({y} × B)φy A z B ψ)
Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,z   φ,y,z   ψ,x
Allowed substitution hints:   φ(x)   ψ(y,z)   B(y)

Proof of Theorem raliunxp
StepHypRef Expression
1 eliunxp 4821 . . . . . 6 (x y A ({y} × B) ↔ yz(x = y, z (y A z B)))
21imbi1i 315 . . . . 5 ((x y A ({y} × B) → φ) ↔ (yz(x = y, z (y A z B)) → φ))
3 19.23vv 1892 . . . . 5 (yz((x = y, z (y A z B)) → φ) ↔ (yz(x = y, z (y A z B)) → φ))
42, 3bitr4i 243 . . . 4 ((x y A ({y} × B) → φ) ↔ yz((x = y, z (y A z B)) → φ))
54albii 1566 . . 3 (x(x y A ({y} × B) → φ) ↔ xyz((x = y, z (y A z B)) → φ))
6 alrot3 1738 . . . 4 (xyz((x = y, z (y A z B)) → φ) ↔ yzx((x = y, z (y A z B)) → φ))
7 impexp 433 . . . . . . 7 (((x = y, z (y A z B)) → φ) ↔ (x = y, z → ((y A z B) → φ)))
87albii 1566 . . . . . 6 (x((x = y, z (y A z B)) → φ) ↔ x(x = y, z → ((y A z B) → φ)))
9 vex 2862 . . . . . . . 8 y V
10 vex 2862 . . . . . . . 8 z V
119, 10opex 4588 . . . . . . 7 y, z V
12 raliunxp.1 . . . . . . . 8 (x = y, z → (φψ))
1312imbi2d 307 . . . . . . 7 (x = y, z → (((y A z B) → φ) ↔ ((y A z B) → ψ)))
1411, 13ceqsalv 2885 . . . . . 6 (x(x = y, z → ((y A z B) → φ)) ↔ ((y A z B) → ψ))
158, 14bitri 240 . . . . 5 (x((x = y, z (y A z B)) → φ) ↔ ((y A z B) → ψ))
16152albii 1567 . . . 4 (yzx((x = y, z (y A z B)) → φ) ↔ yz((y A z B) → ψ))
176, 16bitri 240 . . 3 (xyz((x = y, z (y A z B)) → φ) ↔ yz((y A z B) → ψ))
185, 17bitri 240 . 2 (x(x y A ({y} × B) → φ) ↔ yz((y A z B) → ψ))
19 df-ral 2619 . 2 (x y A ({y} × B)φx(x y A ({y} × B) → φ))
20 r2al 2651 . 2 (y A z B ψyz((y A z B) → ψ))
2118, 19, 203bitr4i 268 1 (x y A ({y} × B)φy A z B ψ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∀wal 1540  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∀wral 2614  {csn 3737  ∪ciun 3969  ⟨cop 4561   × cxp 4770 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-csb 3137  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3971  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-xp 4784 This theorem is referenced by:  rexiunxp  4824  ralxp  4825  fmpt2x  5730
 Copyright terms: Public domain W3C validator