Theorem eliunxp 4821

Description: Membership in a union of Cartesian products. Analogue of elxp 4801 for nonconstant B(x). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eliunxp	⊢ (C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B) ↔ ∃x∃y(C = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ B)))

Distinct variable groups:   y,A   y,B   x,y,C

Allowed substitution hints:   A(x)   B(x)

Proof of Theorem eliunxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2867	. . . 4 ⊢ (C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B) → C ∈ V)
2	1	pm4.71ri 614	. . 3 ⊢ (C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B) ↔ (C ∈ V ∧ C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B)))
3		opeqexb 4620	. . . 4 ⊢ (C ∈ V ↔ ∃x∃y C = ⟨x, y⟩)
4	3	anbi1i 676	. . 3 ⊢ ((C ∈ V ∧ C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B)) ↔ (∃x∃y C = ⟨x, y⟩ ∧ C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B)))
5	2, 4	bitri 240	. 2 ⊢ (C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B) ↔ (∃x∃y C = ⟨x, y⟩ ∧ C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B)))
6		nfiu1 3997	. . . 4 ⊢ Ⅎx∪x ∈ A ({x} × B)
7	6	nfel2 2501	. . 3 ⊢ Ⅎx C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B)
8	7	19.41 1879	. 2 ⊢ (∃x(∃y C = ⟨x, y⟩ ∧ C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B)) ↔ (∃x∃y C = ⟨x, y⟩ ∧ C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B)))
9		19.41v 1901	. . . 4 ⊢ (∃y(C = ⟨x, y⟩ ∧ C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B)) ↔ (∃y C = ⟨x, y⟩ ∧ C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B)))
10		eleq1 2413	. . . . . . 7 ⊢ (C = ⟨x, y⟩ → (C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B) ↔ ⟨x, y⟩ ∈ ∪x ∈ A ({x} × B)))
11		opeliunxp 4820	. . . . . . 7 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ ∪x ∈ A ({x} × B) ↔ (x ∈ A ∧ y ∈ B))
12	10, 11	syl6bb 252	. . . . . 6 ⊢ (C = ⟨x, y⟩ → (C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B) ↔ (x ∈ A ∧ y ∈ B)))
13	12	pm5.32i 618	. . . . 5 ⊢ ((C = ⟨x, y⟩ ∧ C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B)) ↔ (C = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ B)))
14	13	exbii 1582	. . . 4 ⊢ (∃y(C = ⟨x, y⟩ ∧ C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B)) ↔ ∃y(C = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ B)))
15	9, 14	bitr3i 242	. . 3 ⊢ ((∃y C = ⟨x, y⟩ ∧ C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B)) ↔ ∃y(C = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ B)))
16	15	exbii 1582	. 2 ⊢ (∃x(∃y C = ⟨x, y⟩ ∧ C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B)) ↔ ∃x∃y(C = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ B)))
17	5, 8, 16	3bitr2i 264	1 ⊢ (C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B) ↔ ∃x∃y(C = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ B)))

Syntax hints:   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  Vcvv 2859  {csn 3737  ∪ciun 3969  ⟨cop 4561   × cxp 4770

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-csb 3137  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3971  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-xp 4784

This theorem is referenced by:  raliunxp  4823  mpt2mptx  5708