Theorem eliunxp 4822

Description: Membership in a union of Cartesian products. Analogue of elxp 4802 for nonconstant B(x). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eliunxp	⊢ (C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B) ↔ ∃x∃y(C = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ B)))

Distinct variable groups:   y,A   y,B   x,y,C

Allowed substitution hints:   A(x)   B(x)

Proof of Theorem eliunxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2868	. . . 4 ⊢ (C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B) → C ∈ V)
2	1	pm4.71ri 614	. . 3 ⊢ (C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B) ↔ (C ∈ V ∧ C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B)))
3		opeqexb 4621	. . . 4 ⊢ (C ∈ V ↔ ∃x∃y C = ⟨x, y⟩)
4	3	anbi1i 676	. . 3 ⊢ ((C ∈ V ∧ C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B)) ↔ (∃x∃y C = ⟨x, y⟩ ∧ C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B)))
5	2, 4	bitri 240	. 2 ⊢ (C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B) ↔ (∃x∃y C = ⟨x, y⟩ ∧ C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B)))
6		nfiu1 3998	. . . 4 ⊢ Ⅎx∪x ∈ A ({x} × B)
7	6	nfel2 2502	. . 3 ⊢ Ⅎx C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B)
8	7	19.41 1879	. 2 ⊢ (∃x(∃y C = ⟨x, y⟩ ∧ C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B)) ↔ (∃x∃y C = ⟨x, y⟩ ∧ C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B)))
9		19.41v 1901	. . . 4 ⊢ (∃y(C = ⟨x, y⟩ ∧ C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B)) ↔ (∃y C = ⟨x, y⟩ ∧ C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B)))
10		eleq1 2413	. . . . . . 7 ⊢ (C = ⟨x, y⟩ → (C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B) ↔ ⟨x, y⟩ ∈ ∪x ∈ A ({x} × B)))
11		opeliunxp 4821	. . . . . . 7 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ ∪x ∈ A ({x} × B) ↔ (x ∈ A ∧ y ∈ B))
12	10, 11	syl6bb 252	. . . . . 6 ⊢ (C = ⟨x, y⟩ → (C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B) ↔ (x ∈ A ∧ y ∈ B)))
13	12	pm5.32i 618	. . . . 5 ⊢ ((C = ⟨x, y⟩ ∧ C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B)) ↔ (C = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ B)))
14	13	exbii 1582	. . . 4 ⊢ (∃y(C = ⟨x, y⟩ ∧ C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B)) ↔ ∃y(C = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ B)))
15	9, 14	bitr3i 242	. . 3 ⊢ ((∃y C = ⟨x, y⟩ ∧ C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B)) ↔ ∃y(C = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ B)))
16	15	exbii 1582	. 2 ⊢ (∃x(∃y C = ⟨x, y⟩ ∧ C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B)) ↔ ∃x∃y(C = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ B)))
17	5, 8, 16	3bitr2i 264	1 ⊢ (C ∈ ∪x ∈ A ({x} × B) ↔ ∃x∃y(C = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ B)))

Syntax hints:   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  Vcvv 2860  {csn 3738  ∪ciun 3970  ⟨cop 4562   × cxp 4771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-csb 3138  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-iun 3972  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-xp 4785

This theorem is referenced by:  raliunxp  4824  mpt2mptx  5709