Theorem vtoclr 4816

Description: Variable to class conversion of transitive relation. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
vtoclr.2	⊢ ((xRy ∧ yRz) → xRz)

Assertion

Ref	Expression
vtoclr	⊢ ((ARB ∧ BRC) → ARC)

Distinct variable groups:   x,y,A   y,B   x,z,C,y   x,R,y,z

Allowed substitution hints:   A(z)   B(x,z)

Proof of Theorem vtoclr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brex 4689	. . 3 ⊢ (ARB → (A ∈ V ∧ B ∈ V))
2		brex 4689	. . . 4 ⊢ (BRC → (B ∈ V ∧ C ∈ V))
3	2	simprd 449	. . 3 ⊢ (BRC → C ∈ V)
4	1, 3	anim12i 549	. 2 ⊢ ((ARB ∧ BRC) → ((A ∈ V ∧ B ∈ V) ∧ C ∈ V))
5		breq1 4642	. . . . . . 7 ⊢ (x = A → (xRy ↔ ARy))
6	5	anbi1d 685	. . . . . 6 ⊢ (x = A → ((xRy ∧ yRC) ↔ (ARy ∧ yRC)))
7		breq1 4642	. . . . . 6 ⊢ (x = A → (xRC ↔ ARC))
8	6, 7	imbi12d 311	. . . . 5 ⊢ (x = A → (((xRy ∧ yRC) → xRC) ↔ ((ARy ∧ yRC) → ARC)))
9	8	imbi2d 307	. . . 4 ⊢ (x = A → ((C ∈ V → ((xRy ∧ yRC) → xRC)) ↔ (C ∈ V → ((ARy ∧ yRC) → ARC))))
10		breq2 4643	. . . . . . 7 ⊢ (y = B → (ARy ↔ ARB))
11		breq1 4642	. . . . . . 7 ⊢ (y = B → (yRC ↔ BRC))
12	10, 11	anbi12d 691	. . . . . 6 ⊢ (y = B → ((ARy ∧ yRC) ↔ (ARB ∧ BRC)))
13	12	imbi1d 308	. . . . 5 ⊢ (y = B → (((ARy ∧ yRC) → ARC) ↔ ((ARB ∧ BRC) → ARC)))
14	13	imbi2d 307	. . . 4 ⊢ (y = B → ((C ∈ V → ((ARy ∧ yRC) → ARC)) ↔ (C ∈ V → ((ARB ∧ BRC) → ARC))))
15		breq2 4643	. . . . . . 7 ⊢ (z = C → (yRz ↔ yRC))
16	15	anbi2d 684	. . . . . 6 ⊢ (z = C → ((xRy ∧ yRz) ↔ (xRy ∧ yRC)))
17		breq2 4643	. . . . . 6 ⊢ (z = C → (xRz ↔ xRC))
18	16, 17	imbi12d 311	. . . . 5 ⊢ (z = C → (((xRy ∧ yRz) → xRz) ↔ ((xRy ∧ yRC) → xRC)))
19		vtoclr.2	. . . . 5 ⊢ ((xRy ∧ yRz) → xRz)
20	18, 19	vtoclg 2914	. . . 4 ⊢ (C ∈ V → ((xRy ∧ yRC) → xRC))
21	9, 14, 20	vtocl2g 2918	. . 3 ⊢ ((A ∈ V ∧ B ∈ V) → (C ∈ V → ((ARB ∧ BRC) → ARC)))
22	21	imp 418	. 2 ⊢ (((A ∈ V ∧ B ∈ V) ∧ C ∈ V) → ((ARB ∧ BRC) → ARC))
23	4, 22	mpcom 32	1 ⊢ ((ARB ∧ BRC) → ARC)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  Vcvv 2859   class class class wbr 4639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-br 4640

This theorem is referenced by: (None)