New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  vtoclr GIF version

Theorem vtoclr 4816
 Description: Variable to class conversion of transitive relation. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)
Hypothesis
Ref Expression
vtoclr.2 ((xRy yRz) → xRz)
Assertion
Ref Expression
vtoclr ((ARB BRC) → ARC)
Distinct variable groups:   x,y,A   y,B   x,z,C,y   x,R,y,z
Allowed substitution hints:   A(z)   B(x,z)

Proof of Theorem vtoclr
StepHypRef Expression
1 brex 4689 . . 3 (ARB → (A V B V))
2 brex 4689 . . . 4 (BRC → (B V C V))
32simprd 449 . . 3 (BRCC V)
41, 3anim12i 549 . 2 ((ARB BRC) → ((A V B V) C V))
5 breq1 4642 . . . . . . 7 (x = A → (xRyARy))
65anbi1d 685 . . . . . 6 (x = A → ((xRy yRC) ↔ (ARy yRC)))
7 breq1 4642 . . . . . 6 (x = A → (xRCARC))
86, 7imbi12d 311 . . . . 5 (x = A → (((xRy yRC) → xRC) ↔ ((ARy yRC) → ARC)))
98imbi2d 307 . . . 4 (x = A → ((C V → ((xRy yRC) → xRC)) ↔ (C V → ((ARy yRC) → ARC))))
10 breq2 4643 . . . . . . 7 (y = B → (ARyARB))
11 breq1 4642 . . . . . . 7 (y = B → (yRCBRC))
1210, 11anbi12d 691 . . . . . 6 (y = B → ((ARy yRC) ↔ (ARB BRC)))
1312imbi1d 308 . . . . 5 (y = B → (((ARy yRC) → ARC) ↔ ((ARB BRC) → ARC)))
1413imbi2d 307 . . . 4 (y = B → ((C V → ((ARy yRC) → ARC)) ↔ (C V → ((ARB BRC) → ARC))))
15 breq2 4643 . . . . . . 7 (z = C → (yRzyRC))
1615anbi2d 684 . . . . . 6 (z = C → ((xRy yRz) ↔ (xRy yRC)))
17 breq2 4643 . . . . . 6 (z = C → (xRzxRC))
1816, 17imbi12d 311 . . . . 5 (z = C → (((xRy yRz) → xRz) ↔ ((xRy yRC) → xRC)))
19 vtoclr.2 . . . . 5 ((xRy yRz) → xRz)
2018, 19vtoclg 2914 . . . 4 (C V → ((xRy yRC) → xRC))
219, 14, 20vtocl2g 2918 . . 3 ((A V B V) → (C V → ((ARB BRC) → ARC)))
2221imp 418 . 2 (((A V B V) C V) → ((ARB BRC) → ARC))
234, 22mpcom 32 1 ((ARB BRC) → ARC)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  Vcvv 2859   class class class wbr 4639 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-br 4640 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator