Theorem brex 4690

Description: Binary relationship implies sethood of both parts. (Contributed by SF, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brex	⊢ (ARB → (A ∈ V ∧ B ∈ V))

Proof of Theorem brex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2868	. 2 ⊢ (⟨A, B⟩ ∈ R → ⟨A, B⟩ ∈ V)
2		df-br 4641	. 2 ⊢ (ARB ↔ ⟨A, B⟩ ∈ R)
3		opexb 4604	. . 3 ⊢ (⟨A, B⟩ ∈ V ↔ (A ∈ V ∧ B ∈ V))
4	3	bicomi 193	. 2 ⊢ ((A ∈ V ∧ B ∈ V) ↔ ⟨A, B⟩ ∈ V)
5	1, 2, 4	3imtr4i 257	1 ⊢ (ARB → (A ∈ V ∧ B ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 358   ∈ wcel 1710  Vcvv 2860  ⟨cop 4562   class class class wbr 4640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-br 4641

This theorem is referenced by:  brreldmex  4691  brrelrnex  4692  opelopabsb  4698  elima  4755  brsi  4762  epelc  4766  vtoclr  4817  br1st  4859  br2nd  4860  brswap2  4861  ideqg  4869  ideqg2  4870  brco  4884  brcnv  4893  brres  4950  imasn  5019  elimasn  5020  fvprc  5326  opbr1st  5502  opbr2nd  5503  brswap  5510  fununiq  5518  trtxp  5782  elfix  5788  brfns  5834  qrpprod  5837  fnfullfunlem1  5857  clos1conn  5880  trd  5922  frd  5923  extd  5924  symd  5925  refd  5928  antid  5930  connexd  5932  frds  5936  bren  6031  enpw1  6063  enmap2  6069  enpw  6088  brltc  6115  elnc  6126  eqncg  6127  ncseqnc  6129  elce  6176