Theorem 2lgslem3a1 15338

Description: Lemma 1 for 2lgslem3 15342. (Contributed by AV, 15-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2lgslem2.n	|- N = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) - ( |_ ` ( P / 4 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
2lgslem3a1	|- ( ( P e. NN /\ ( P mod 8 ) = 1 ) -> ( N mod 2 ) = 0 )

Proof of Theorem 2lgslem3a1

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 9256	. . . 4 |- ( P e. NN -> P e. NN0 )
2		8nn 9158	. . . . 5 |- 8 e. NN
3		nnq 9707	. . . . 5 |- ( 8 e. NN -> 8 e. QQ )
4	2, 3	mp1i 10	. . . 4 |- ( P e. NN -> 8 e. QQ )
5		8pos 9093	. . . . 5 |- 0 < 8
6	5	a1i 9	. . . 4 |- ( P e. NN -> 0 < 8 )
7		modqmuladdnn0 10460	. . . 4 |- ( ( P e. NN0 /\ 8 e. QQ /\ 0 < 8 ) -> ( ( P mod 8 ) = 1 -> E. k e. NN0 P = ( ( k x. 8 ) + 1 ) ) )
8	1, 4, 6, 7	syl3anc 1249	. . 3 |- ( P e. NN -> ( ( P mod 8 ) = 1 -> E. k e. NN0 P = ( ( k x. 8 ) + 1 ) ) )
9		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( P e. NN /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
10		nn0cn 9259	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> k e. CC )
11		8cn 9076	. . . . . . . . . . . 12 |- 8 e. CC
12	11	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> 8 e. CC )
13	10, 12	mulcomd 8048	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 -> ( k x. 8 ) = ( 8 x. k ) )
14	13	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( k x. 8 ) = ( 8 x. k ) )
15	14	oveq1d 5937	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( k x. 8 ) + 1 ) = ( ( 8 x. k ) + 1 ) )
16	15	eqeq2d 2208	. . . . . . 7 |- ( ( P e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( P = ( ( k x. 8 ) + 1 ) <-> P = ( ( 8 x. k ) + 1 ) ) )
17	16	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. NN /\ k e. NN0 ) /\ P = ( ( k x. 8 ) + 1 ) ) -> P = ( ( 8 x. k ) + 1 ) )
18		2lgslem2.n	. . . . . . 7 |- N = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) - ( |_ ` ( P / 4 ) ) )
19	18	2lgslem3a 15334	. . . . . 6 |- ( ( k e. NN0 /\ P = ( ( 8 x. k ) + 1 ) ) -> N = ( 2 x. k ) )
20	9, 17, 19	syl2an2r 595	. . . . 5 |- ( ( ( P e. NN /\ k e. NN0 ) /\ P = ( ( k x. 8 ) + 1 ) ) -> N = ( 2 x. k ) )
21		oveq1 5929	. . . . . 6 |- ( N = ( 2 x. k ) -> ( N mod 2 ) = ( ( 2 x. k ) mod 2 ) )
22		2cnd 9063	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> 2 e. CC )
23	22, 10	mulcomd 8048	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( 2 x. k ) = ( k x. 2 ) )
24	23	oveq1d 5937	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( ( 2 x. k ) mod 2 ) = ( ( k x. 2 ) mod 2 ) )
25		nn0z 9346	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> k e. ZZ )
26		2nn 9152	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
27		nnq 9707	. . . . . . . . 9 |- ( 2 e. NN -> 2 e. QQ )
28	26, 27	mp1i 10	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> 2 e. QQ )
29		2pos 9081	. . . . . . . . 9 |- 0 < 2
30	29	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> 0 < 2 )
31		mulqmod0 10422	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ZZ /\ 2 e. QQ /\ 0 < 2 ) -> ( ( k x. 2 ) mod 2 ) = 0 )
32	25, 28, 30, 31	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( ( k x. 2 ) mod 2 ) = 0 )
33	24, 32	eqtrd 2229	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( 2 x. k ) mod 2 ) = 0 )
34	21, 33	sylan9eqr 2251	. . . . 5 |- ( ( k e. NN0 /\ N = ( 2 x. k ) ) -> ( N mod 2 ) = 0 )
35	9, 20, 34	syl2an2r 595	. . . 4 |- ( ( ( P e. NN /\ k e. NN0 ) /\ P = ( ( k x. 8 ) + 1 ) ) -> ( N mod 2 ) = 0 )
36	35	rexlimdva2 2617	. . 3 |- ( P e. NN -> ( E. k e. NN0 P = ( ( k x. 8 ) + 1 ) -> ( N mod 2 ) = 0 ) )
37	8, 36	syld 45	. 2 |- ( P e. NN -> ( ( P mod 8 ) = 1 -> ( N mod 2 ) = 0 ) )
38	37	imp 124	1 |- ( ( P e. NN /\ ( P mod 8 ) = 1 ) -> ( N mod 2 ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   E.wrex 2476   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   CCcc 7877   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   x. cmul 7884   < clt 8061   - cmin 8197   / cdiv 8699   NNcn 8990   2c2 9041   4c4 9043   8c8 9047   NN0cn0 9249   ZZcz 9326   QQcq 9693   |_cfl 10358   mod cmo 10414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-n0 9250  df-z 9327  df-q 9694  df-rp 9729  df-ico 9969  df-fl 10360  df-mod 10415

This theorem is referenced by:  2lgslem3  15342