Theorem 2lgslem3a1 15855

Description: Lemma 1 for 2lgslem3 15859. (Contributed by AV, 15-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2lgslem2.n	⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem3a1	⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 1) → (𝑁 mod 2) = 0)

Proof of Theorem 2lgslem3a1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 9414	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
2		8nn 9316	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		nnq 9872	. . . . 5 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℚ)
4	2, 3	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 8 ∈ ℚ)
5		8pos 9251	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
6	5	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 0 < 8)
7		modqmuladdnn0 10636	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8) → ((𝑃 mod 8) = 1 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1)))
8	1, 4, 6, 7	syl3anc 1273	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 mod 8) = 1 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1)))
9		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10		nn0cn 9417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
11		8cn 9234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 8 ∈ ℂ
12	11	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
13	10, 12	mulcomd 8206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
14	13	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
15	14	oveq1d 6038	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 · 8) + 1) = ((8 · 𝑘) + 1))
16	15	eqeq2d 2242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1) ↔ 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 1)))
17	16	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1)) → 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 1))
18		2lgslem2.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
19	18	2lgslem3a 15851	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 1)) → 𝑁 = (2 · 𝑘))
20	9, 17, 19	syl2an2r 599	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1)) → 𝑁 = (2 · 𝑘))
21		oveq1 6030	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (2 · 𝑘) → (𝑁 mod 2) = ((2 · 𝑘) mod 2))
22		2cnd 9221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
23	22, 10	mulcomd 8206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) = (𝑘 · 2))
24	23	oveq1d 6038	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) mod 2) = ((𝑘 · 2) mod 2))
25		nn0z 9504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
26		2nn 9310	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
27		nnq 9872	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℕ → 2 ∈ ℚ)
28	26, 27	mp1i 10	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℚ)
29		2pos 9239	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
30	29	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 < 2)
31		mulqmod0 10598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℚ ∧ 0 < 2) → ((𝑘 · 2) mod 2) = 0)
32	25, 28, 30, 31	syl3anc 1273	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 · 2) mod 2) = 0)
33	24, 32	eqtrd 2263	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) mod 2) = 0)
34	21, 33	sylan9eqr 2285	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 = (2 · 𝑘)) → (𝑁 mod 2) = 0)
35	9, 20, 34	syl2an2r 599	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1)) → (𝑁 mod 2) = 0)
36	35	rexlimdva2 2652	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1) → (𝑁 mod 2) = 0))
37	8, 36	syld 45	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 mod 8) = 1 → (𝑁 mod 2) = 0))
38	37	imp 124	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 1) → (𝑁 mod 2) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  ∃wrex 2510   class class class wbr 4089  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  ℂcc 8035  0cc0 8037  1c1 8038   + caddc 8040   · cmul 8042   < clt 8219   − cmin 8355   / cdiv 8857  ℕcn 9148  2c2 9199  4c4 9201  8c8 9205  ℕ₀cn0 9407  ℤcz 9484  ℚcq 9858  ⌊cfl 10534   mod cmo 10590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-n0 9408  df-z 9485  df-q 9859  df-rp 9894  df-ico 10134  df-fl 10536  df-mod 10591

This theorem is referenced by:  2lgslem3  15859