Theorem 2lgslem3a1 15819

Description: Lemma 1 for 2lgslem3 15823. (Contributed by AV, 15-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2lgslem2.n	⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem3a1	⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 1) → (𝑁 mod 2) = 0)

Proof of Theorem 2lgslem3a1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 9402	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
2		8nn 9304	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		nnq 9860	. . . . 5 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℚ)
4	2, 3	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 8 ∈ ℚ)
5		8pos 9239	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
6	5	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 0 < 8)
7		modqmuladdnn0 10623	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8) → ((𝑃 mod 8) = 1 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1)))
8	1, 4, 6, 7	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 mod 8) = 1 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1)))
9		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10		nn0cn 9405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
11		8cn 9222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 8 ∈ ℂ
12	11	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
13	10, 12	mulcomd 8194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
14	13	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
15	14	oveq1d 6028	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 · 8) + 1) = ((8 · 𝑘) + 1))
16	15	eqeq2d 2241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1) ↔ 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 1)))
17	16	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1)) → 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 1))
18		2lgslem2.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
19	18	2lgslem3a 15815	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 1)) → 𝑁 = (2 · 𝑘))
20	9, 17, 19	syl2an2r 597	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1)) → 𝑁 = (2 · 𝑘))
21		oveq1 6020	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (2 · 𝑘) → (𝑁 mod 2) = ((2 · 𝑘) mod 2))
22		2cnd 9209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
23	22, 10	mulcomd 8194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) = (𝑘 · 2))
24	23	oveq1d 6028	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) mod 2) = ((𝑘 · 2) mod 2))
25		nn0z 9492	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
26		2nn 9298	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
27		nnq 9860	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℕ → 2 ∈ ℚ)
28	26, 27	mp1i 10	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℚ)
29		2pos 9227	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
30	29	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 < 2)
31		mulqmod0 10585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℚ ∧ 0 < 2) → ((𝑘 · 2) mod 2) = 0)
32	25, 28, 30, 31	syl3anc 1271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 · 2) mod 2) = 0)
33	24, 32	eqtrd 2262	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) mod 2) = 0)
34	21, 33	sylan9eqr 2284	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 = (2 · 𝑘)) → (𝑁 mod 2) = 0)
35	9, 20, 34	syl2an2r 597	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1)) → (𝑁 mod 2) = 0)
36	35	rexlimdva2 2651	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 1) → (𝑁 mod 2) = 0))
37	8, 36	syld 45	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 mod 8) = 1 → (𝑁 mod 2) = 0))
38	37	imp 124	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 1) → (𝑁 mod 2) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509   class class class wbr 4086  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℂcc 8023  0cc0 8025  1c1 8026   + caddc 8028   · cmul 8030   < clt 8207   − cmin 8343   / cdiv 8845  ℕcn 9136  2c2 9187  4c4 9189  8c8 9193  ℕ₀cn0 9395  ℤcz 9472  ℚcq 9846  ⌊cfl 10521   mod cmo 10577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-n0 9396  df-z 9473  df-q 9847  df-rp 9882  df-ico 10122  df-fl 10523  df-mod 10578

This theorem is referenced by:  2lgslem3  15823