Theorem abstri 11744

Description: Triangle inequality for absolute value. Proposition 10-3.7(h) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 7-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
abstri	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A + B ) ) <_ ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) )

Proof of Theorem abstri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9272	. . . . . 6 |- 2 e. RR
2	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 2 e. RR )
3		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
4		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
5	4	cjcld 11580	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` B ) e. CC )
6	3, 5	mulcld 8259	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. ( * ` B ) ) e. CC )
7	6	recld 11578	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) e. RR )
8	2, 7	remulcld 8269	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) ) e. RR )
9		abscl 11691	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
10	3, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` A ) e. RR )
11		abscl 11691	. . . . . . 7 |- ( B e. CC -> ( abs ` B ) e. RR )
12	4, 11	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` B ) e. RR )
13	10, 12	remulcld 8269	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) e. RR )
14	2, 13	remulcld 8269	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) e. RR )
15	10	resqcld 11024	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. RR )
16	12	resqcld 11024	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` B ) ^ 2 ) e. RR )
17	15, 16	readdcld 8268	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) e. RR )
18		releabs 11736	. . . . . . 7 |- ( ( A x. ( * ` B ) ) e. CC -> ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) <_ ( abs ` ( A x. ( * ` B ) ) ) )
19	6, 18	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) <_ ( abs ` ( A x. ( * ` B ) ) ) )
20		absmul 11709	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( * ` B ) e. CC ) -> ( abs ` ( A x. ( * ` B ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` ( * ` B ) ) ) )
21	3, 5, 20	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A x. ( * ` B ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` ( * ` B ) ) ) )
22		abscj 11692	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( abs ` ( * ` B ) ) = ( abs ` B ) )
23	4, 22	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( * ` B ) ) = ( abs ` B ) )
24	23	oveq2d 6044	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` ( * ` B ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )
25	21, 24	eqtrd 2264	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A x. ( * ` B ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )
26	19, 25	breqtrd 4119	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) <_ ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )
27		2rp 9954	. . . . . . 7 |- 2 e. RR+
28	27	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 2 e. RR+ )
29	7, 13, 28	lemul2d 10037	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) <_ ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) <-> ( 2 x. ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) ) <_ ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) ) )
30	26, 29	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) ) <_ ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) )
31	8, 14, 17, 30	leadd2dd 8799	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) ) ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) ) )
32		sqabsadd 11695	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` ( A + B ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) ) ) )
33	10	recnd 8267	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` A ) e. CC )
34	12	recnd 8267	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` B ) e. CC )
35		binom2 10976	. . . . 5 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ ( abs ` B ) e. CC ) -> ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) )
36	33, 34, 35	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) )
37	15	recnd 8267	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. CC )
38	14	recnd 8267	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) e. CC )
39	16	recnd 8267	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` B ) ^ 2 ) e. CC )
40	37, 38, 39	add32d 8406	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) ) )
41	36, 40	eqtrd 2264	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) ) )
42	31, 32, 41	3brtr4d 4125	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` ( A + B ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) ^ 2 ) )
43		addcl 8217	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
44		abscl 11691	. . . 4 |- ( ( A + B ) e. CC -> ( abs ` ( A + B ) ) e. RR )
45	43, 44	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A + B ) ) e. RR )
46	10, 12	readdcld 8268	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) e. RR )
47		absge0 11700	. . . 4 |- ( ( A + B ) e. CC -> 0 <_ ( abs ` ( A + B ) ) )
48	43, 47	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( abs ` ( A + B ) ) )
49		absge0 11700	. . . . 5 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( abs ` A ) )
50	3, 49	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
51		absge0 11700	. . . . 5 |- ( B e. CC -> 0 <_ ( abs ` B ) )
52	4, 51	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( abs ` B ) )
53	10, 12, 50, 52	addge0d 8761	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) )
54	45, 46, 48, 53	le2sqd 11030	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` ( A + B ) ) <_ ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) <-> ( ( abs ` ( A + B ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) ^ 2 ) ) )
55	42, 54	mpbird 167	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A + B ) ) <_ ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8090   RRcr 8091   0cc0 8092   + caddc 8095   x. cmul 8097   <_ cle 8274   2c2 9253   RR+crp 9949   ^cexp 10863   *ccj 11479   Recre 11480   abscabs 11637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-rp 9950  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639

This theorem is referenced by:  abs3dif  11745  abs2dif2  11747  abstrii  11795  abstrid  11836