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Theorem abstri 11094
Description: Triangle inequality for absolute value. Proposition 10-3.7(h) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 7-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
abstri  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  +  B )
)  <_  ( ( abs `  A )  +  ( abs `  B
) ) )

Proof of Theorem abstri
StepHypRef Expression
1 2re 8975 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
21a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  2  e.  RR )
3 simpl 109 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
4 simpr 110 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
54cjcld 10930 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( * `  B
)  e.  CC )
63, 5mulcld 7965 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
* `  B )
)  e.  CC )
76recld 10928 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  ( * `  B ) ) )  e.  RR )
82, 7remulcld 7975 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
Re `  ( A  x.  ( * `  B
) ) ) )  e.  RR )
9 abscl 11041 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
103, 9syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
11 abscl 11041 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
124, 11syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  B
)  e.  RR )
1310, 12remulcld 7975 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  B ) )  e.  RR )
142, 13remulcld 7975 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( abs `  A
)  x.  ( abs `  B ) ) )  e.  RR )
1510resqcld 10662 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
) ^ 2 )  e.  RR )
1612resqcld 10662 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  B
) ^ 2 )  e.  RR )
1715, 16readdcld 7974 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )  e.  RR )
18 releabs 11086 . . . . . . 7  |-  ( ( A  x.  ( * `
 B ) )  e.  CC  ->  (
Re `  ( A  x.  ( * `  B
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  x.  ( * `  B ) ) ) )
196, 18syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  ( * `  B ) ) )  <_  ( abs `  ( A  x.  ( * `  B ) ) ) )
20 absmul 11059 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( * `  B
)  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  x.  ( * `  B ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  ( * `  B ) ) ) )
213, 5, 20syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  x.  ( * `  B ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  ( * `  B ) ) ) )
22 abscj 11042 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( abs `  ( * `  B ) )  =  ( abs `  B
) )
234, 22syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  (
* `  B )
)  =  ( abs `  B ) )
2423oveq2d 5885 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  ( * `  B
) ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  B ) ) )
2521, 24eqtrd 2210 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  x.  ( * `  B ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B ) ) )
2619, 25breqtrd 4026 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  ( * `  B ) ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B ) ) )
27 2rp 9642 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR+
2827a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  2  e.  RR+ )
297, 13, 28lemul2d 9725 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  ( A  x.  (
* `  B )
) )  <_  (
( abs `  A
)  x.  ( abs `  B ) )  <->  ( 2  x.  ( Re `  ( A  x.  (
* `  B )
) ) )  <_ 
( 2  x.  (
( abs `  A
)  x.  ( abs `  B ) ) ) ) )
3026, 29mpbid 147 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
Re `  ( A  x.  ( * `  B
) ) ) )  <_  ( 2  x.  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  B ) ) ) )
318, 14, 17, 30leadd2dd 8504 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  B
) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( Re `  ( A  x.  (
* `  B )
) ) ) )  <_  ( ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B
) ) ) ) )
32 sqabsadd 11045 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( A  +  B )
) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( Re
`  ( A  x.  ( * `  B
) ) ) ) ) )
3310recnd 7973 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  A
)  e.  CC )
3412recnd 7973 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  B
)  e.  CC )
35 binom2 10614 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  ( abs `  B )  e.  CC )  -> 
( ( ( abs `  A )  +  ( abs `  B ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  B ) ) ) )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) ) )
3633, 34, 35syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  A )  +  ( abs `  B ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  B ) ) ) )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) ) )
3715recnd 7973 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
3814recnd 7973 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( abs `  A
)  x.  ( abs `  B ) ) )  e.  CC )
3916recnd 7973 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  B
) ^ 2 )  e.  CC )
4037, 38, 39add32d 8112 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( abs `  A
)  x.  ( abs `  B ) ) ) )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B
) ) ) ) )
4136, 40eqtrd 2210 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  A )  +  ( abs `  B ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B
) ) ) ) )
4231, 32, 413brtr4d 4032 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( A  +  B )
) ^ 2 )  <_  ( ( ( abs `  A )  +  ( abs `  B
) ) ^ 2 ) )
43 addcl 7924 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
44 abscl 11041 . . . 4  |-  ( ( A  +  B )  e.  CC  ->  ( abs `  ( A  +  B ) )  e.  RR )
4543, 44syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  +  B )
)  e.  RR )
4610, 12readdcld 7974 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
)  +  ( abs `  B ) )  e.  RR )
47 absge0 11050 . . . 4  |-  ( ( A  +  B )  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  ( A  +  B )
) )
4843, 47syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  0  <_  ( abs `  ( A  +  B
) ) )
49 absge0 11050 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
503, 49syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
51 absge0 11050 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
524, 51syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  0  <_  ( abs `  B ) )
5310, 12, 50, 52addge0d 8466 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  0  <_  ( ( abs `  A )  +  ( abs `  B
) ) )
5445, 46, 48, 53le2sqd 10668 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( A  +  B )
)  <_  ( ( abs `  A )  +  ( abs `  B
) )  <->  ( ( abs `  ( A  +  B ) ) ^
2 )  <_  (
( ( abs `  A
)  +  ( abs `  B ) ) ^
2 ) ) )
5542, 54mpbird 167 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  +  B )
)  <_  ( ( abs `  A )  +  ( abs `  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   class class class wbr 4000   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   CCcc 7797   RRcr 7798   0cc0 7799    + caddc 7802    x. cmul 7804    <_ cle 7980   2c2 8956   RR+crp 9637   ^cexp 10502   *ccj 10829   Recre 10830   abscabs 10987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-mulrcl 7898  ax-addcom 7899  ax-mulcom 7900  ax-addass 7901  ax-mulass 7902  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-1rid 7906  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-precex 7909  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-apti 7914  ax-pre-ltadd 7915  ax-pre-mulgt0 7916  ax-pre-mulext 7917  ax-arch 7918  ax-caucvg 7919
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-reap 8519  df-ap 8526  df-div 8616  df-inn 8906  df-2 8964  df-3 8965  df-4 8966  df-n0 9163  df-z 9240  df-uz 9515  df-rp 9638  df-seqfrec 10429  df-exp 10503  df-cj 10832  df-re 10833  df-im 10834  df-rsqrt 10988  df-abs 10989
This theorem is referenced by:  abs3dif  11095  abs2dif2  11097  abstrii  11145  abstrid  11186
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