Theorem abstri 11615

Description: Triangle inequality for absolute value. Proposition 10-3.7(h) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 7-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
abstri	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A + B ) ) <_ ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) )

Proof of Theorem abstri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9180	. . . . . 6 |- 2 e. RR
2	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 2 e. RR )
3		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
4		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
5	4	cjcld 11451	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` B ) e. CC )
6	3, 5	mulcld 8167	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. ( * ` B ) ) e. CC )
7	6	recld 11449	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) e. RR )
8	2, 7	remulcld 8177	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) ) e. RR )
9		abscl 11562	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
10	3, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` A ) e. RR )
11		abscl 11562	. . . . . . 7 |- ( B e. CC -> ( abs ` B ) e. RR )
12	4, 11	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` B ) e. RR )
13	10, 12	remulcld 8177	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) e. RR )
14	2, 13	remulcld 8177	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) e. RR )
15	10	resqcld 10921	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. RR )
16	12	resqcld 10921	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` B ) ^ 2 ) e. RR )
17	15, 16	readdcld 8176	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) e. RR )
18		releabs 11607	. . . . . . 7 |- ( ( A x. ( * ` B ) ) e. CC -> ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) <_ ( abs ` ( A x. ( * ` B ) ) ) )
19	6, 18	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) <_ ( abs ` ( A x. ( * ` B ) ) ) )
20		absmul 11580	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( * ` B ) e. CC ) -> ( abs ` ( A x. ( * ` B ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` ( * ` B ) ) ) )
21	3, 5, 20	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A x. ( * ` B ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` ( * ` B ) ) ) )
22		abscj 11563	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( abs ` ( * ` B ) ) = ( abs ` B ) )
23	4, 22	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( * ` B ) ) = ( abs ` B ) )
24	23	oveq2d 6017	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` ( * ` B ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )
25	21, 24	eqtrd 2262	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A x. ( * ` B ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )
26	19, 25	breqtrd 4109	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) <_ ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )
27		2rp 9854	. . . . . . 7 |- 2 e. RR+
28	27	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 2 e. RR+ )
29	7, 13, 28	lemul2d 9937	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) <_ ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) <-> ( 2 x. ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) ) <_ ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) ) )
30	26, 29	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) ) <_ ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) )
31	8, 14, 17, 30	leadd2dd 8707	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) ) ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) ) )
32		sqabsadd 11566	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` ( A + B ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) ) ) )
33	10	recnd 8175	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` A ) e. CC )
34	12	recnd 8175	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` B ) e. CC )
35		binom2 10873	. . . . 5 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ ( abs ` B ) e. CC ) -> ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) )
36	33, 34, 35	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) )
37	15	recnd 8175	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. CC )
38	14	recnd 8175	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) e. CC )
39	16	recnd 8175	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` B ) ^ 2 ) e. CC )
40	37, 38, 39	add32d 8314	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) ) )
41	36, 40	eqtrd 2262	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) ) )
42	31, 32, 41	3brtr4d 4115	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` ( A + B ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) ^ 2 ) )
43		addcl 8124	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
44		abscl 11562	. . . 4 |- ( ( A + B ) e. CC -> ( abs ` ( A + B ) ) e. RR )
45	43, 44	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A + B ) ) e. RR )
46	10, 12	readdcld 8176	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) e. RR )
47		absge0 11571	. . . 4 |- ( ( A + B ) e. CC -> 0 <_ ( abs ` ( A + B ) ) )
48	43, 47	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( abs ` ( A + B ) ) )
49		absge0 11571	. . . . 5 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( abs ` A ) )
50	3, 49	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
51		absge0 11571	. . . . 5 |- ( B e. CC -> 0 <_ ( abs ` B ) )
52	4, 51	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( abs ` B ) )
53	10, 12, 50, 52	addge0d 8669	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) )
54	45, 46, 48, 53	le2sqd 10927	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` ( A + B ) ) <_ ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) <-> ( ( abs ` ( A + B ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) ^ 2 ) ) )
55	42, 54	mpbird 167	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A + B ) ) <_ ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   CCcc 7997   RRcr 7998   0cc0 7999   + caddc 8002   x. cmul 8004   <_ cle 8182   2c2 9161   RR+crp 9849   ^cexp 10760   *ccj 11350   Recre 11351   abscabs 11508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118  ax-caucvg 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-rp 9850  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510

This theorem is referenced by:  abs3dif  11616  abs2dif2  11618  abstrii  11666  abstrid  11707