Theorem abstri 11115

Description: Triangle inequality for absolute value. Proposition 10-3.7(h) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 7-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
abstri	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A + B ) ) <_ ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) )

Proof of Theorem abstri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 8991	. . . . . 6 |- 2 e. RR
2	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 2 e. RR )
3		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
4		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
5	4	cjcld 10951	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` B ) e. CC )
6	3, 5	mulcld 7980	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. ( * ` B ) ) e. CC )
7	6	recld 10949	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) e. RR )
8	2, 7	remulcld 7990	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) ) e. RR )
9		abscl 11062	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
10	3, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` A ) e. RR )
11		abscl 11062	. . . . . . 7 |- ( B e. CC -> ( abs ` B ) e. RR )
12	4, 11	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` B ) e. RR )
13	10, 12	remulcld 7990	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) e. RR )
14	2, 13	remulcld 7990	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) e. RR )
15	10	resqcld 10682	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. RR )
16	12	resqcld 10682	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` B ) ^ 2 ) e. RR )
17	15, 16	readdcld 7989	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) e. RR )
18		releabs 11107	. . . . . . 7 |- ( ( A x. ( * ` B ) ) e. CC -> ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) <_ ( abs ` ( A x. ( * ` B ) ) ) )
19	6, 18	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) <_ ( abs ` ( A x. ( * ` B ) ) ) )
20		absmul 11080	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( * ` B ) e. CC ) -> ( abs ` ( A x. ( * ` B ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` ( * ` B ) ) ) )
21	3, 5, 20	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A x. ( * ` B ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` ( * ` B ) ) ) )
22		abscj 11063	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( abs ` ( * ` B ) ) = ( abs ` B ) )
23	4, 22	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( * ` B ) ) = ( abs ` B ) )
24	23	oveq2d 5893	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` ( * ` B ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )
25	21, 24	eqtrd 2210	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A x. ( * ` B ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )
26	19, 25	breqtrd 4031	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) <_ ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )
27		2rp 9660	. . . . . . 7 |- 2 e. RR+
28	27	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 2 e. RR+ )
29	7, 13, 28	lemul2d 9743	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) <_ ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) <-> ( 2 x. ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) ) <_ ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) ) )
30	26, 29	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) ) <_ ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) )
31	8, 14, 17, 30	leadd2dd 8519	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) ) ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) ) )
32		sqabsadd 11066	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` ( A + B ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) ) ) )
33	10	recnd 7988	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` A ) e. CC )
34	12	recnd 7988	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` B ) e. CC )
35		binom2 10634	. . . . 5 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ ( abs ` B ) e. CC ) -> ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) )
36	33, 34, 35	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) )
37	15	recnd 7988	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. CC )
38	14	recnd 7988	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) e. CC )
39	16	recnd 7988	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` B ) ^ 2 ) e. CC )
40	37, 38, 39	add32d 8127	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) ) )
41	36, 40	eqtrd 2210	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) ) )
42	31, 32, 41	3brtr4d 4037	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` ( A + B ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) ^ 2 ) )
43		addcl 7938	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
44		abscl 11062	. . . 4 |- ( ( A + B ) e. CC -> ( abs ` ( A + B ) ) e. RR )
45	43, 44	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A + B ) ) e. RR )
46	10, 12	readdcld 7989	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) e. RR )
47		absge0 11071	. . . 4 |- ( ( A + B ) e. CC -> 0 <_ ( abs ` ( A + B ) ) )
48	43, 47	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( abs ` ( A + B ) ) )
49		absge0 11071	. . . . 5 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( abs ` A ) )
50	3, 49	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
51		absge0 11071	. . . . 5 |- ( B e. CC -> 0 <_ ( abs ` B ) )
52	4, 51	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( abs ` B ) )
53	10, 12, 50, 52	addge0d 8481	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) )
54	45, 46, 48, 53	le2sqd 10688	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` ( A + B ) ) <_ ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) <-> ( ( abs ` ( A + B ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) ^ 2 ) ) )
55	42, 54	mpbird 167	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A + B ) ) <_ ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   CCcc 7811   RRcr 7812   0cc0 7813   + caddc 7816   x. cmul 7818   <_ cle 7995   2c2 8972   RR+crp 9655   ^cexp 10521   *ccj 10850   Recre 10851   abscabs 11008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010

This theorem is referenced by:  abs3dif  11116  abs2dif2  11118  abstrii  11166  abstrid  11207