Theorem abstri 11113

Description: Triangle inequality for absolute value. Proposition 10-3.7(h) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 7-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
abstri	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 + 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem abstri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 8989	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℝ)
3		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	cjcld 10949	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
6	3, 5	mulcld 7978	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (∗‘𝐵)) ∈ ℂ)
7	6	recld 10947	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) ∈ ℝ)
8	2, 7	remulcld 7988	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵)))) ∈ ℝ)
9		abscl 11060	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
10	3, 9	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
11		abscl 11060	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
12	4, 11	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
13	10, 12	remulcld 7988	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) ∈ ℝ)
14	2, 13	remulcld 7988	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵))) ∈ ℝ)
15	10	resqcld 10680	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
16	12	resqcld 10680	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐵)↑2) ∈ ℝ)
17	15, 16	readdcld 7987	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) ∈ ℝ)
18		releabs 11105	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 · (∗‘𝐵)) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 · (∗‘𝐵))))
19	6, 18	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 · (∗‘𝐵))))
20		absmul 11078	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐵) ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = ((abs‘𝐴) · (abs‘(∗‘𝐵))))
21	3, 5, 20	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = ((abs‘𝐴) · (abs‘(∗‘𝐵))))
22		abscj 11061	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘(∗‘𝐵)) = (abs‘𝐵))
23	4, 22	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(∗‘𝐵)) = (abs‘𝐵))
24	23	oveq2d 5891	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) · (abs‘(∗‘𝐵))) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
25	21, 24	eqtrd 2210	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
26	19, 25	breqtrd 4030	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) ≤ ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
27		2rp 9658	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
28	27	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℝ+)
29	7, 13, 28	lemul2d 9741	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) ≤ ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) ↔ (2 · (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵)))) ≤ (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))))
30	26, 29	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵)))) ≤ (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵))))
31	8, 14, 17, 30	leadd2dd 8517	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) + (2 · (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) + (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))))
32		sqabsadd 11064	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) + (2 · (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))))))
33	10	recnd 7986	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
34	12	recnd 7986	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘𝐵) ∈ ℂ)
35		binom2 10632	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℂ) → (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵))↑2) = ((((abs‘𝐴)↑2) + (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))) + ((abs‘𝐵)↑2)))
36	33, 34, 35	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵))↑2) = ((((abs‘𝐴)↑2) + (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))) + ((abs‘𝐵)↑2)))
37	15	recnd 7986	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
38	14	recnd 7986	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵))) ∈ ℂ)
39	16	recnd 7986	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐵)↑2) ∈ ℂ)
40	37, 38, 39	add32d 8125	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((abs‘𝐴)↑2) + (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))) + ((abs‘𝐵)↑2)) = ((((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) + (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))))
41	36, 40	eqtrd 2210	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵))↑2) = ((((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) + (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))))
42	31, 32, 41	3brtr4d 4036	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 + 𝐵))↑2) ≤ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵))↑2))
43		addcl 7936	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
44		abscl 11060	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
45	43, 44	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
46	10, 12	readdcld 7987	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵)) ∈ ℝ)
47		absge0 11069	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘(𝐴 + 𝐵)))
48	43, 47	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ (abs‘(𝐴 + 𝐵)))
49		absge0 11069	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
50	3, 49	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
51		absge0 11069	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐵))
52	4, 51	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
53	10, 12, 50, 52	addge0d 8479	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵)))
54	45, 46, 48, 53	le2sqd 10686	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 + 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵)) ↔ ((abs‘(𝐴 + 𝐵))↑2) ≤ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵))↑2)))
55	42, 54	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 + 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4004  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  ℂcc 7809  ℝcr 7810  0cc0 7811   + caddc 7814   · cmul 7816   ≤ cle 7993  2c2 8970  ℝ⁺crp 9653  ↑cexp 10519  ∗ccj 10848  ℜcre 10849  abscabs 11006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-rp 9654  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008

This theorem is referenced by:  abs3dif  11114  abs2dif2  11116  abstrii  11164  abstrid  11205