Theorem abstri 11655

Description: Triangle inequality for absolute value. Proposition 10-3.7(h) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 7-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
abstri	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 + 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem abstri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9203	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℝ)
3		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	cjcld 11491	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
6	3, 5	mulcld 8190	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (∗‘𝐵)) ∈ ℂ)
7	6	recld 11489	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) ∈ ℝ)
8	2, 7	remulcld 8200	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵)))) ∈ ℝ)
9		abscl 11602	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
10	3, 9	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
11		abscl 11602	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
12	4, 11	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
13	10, 12	remulcld 8200	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) ∈ ℝ)
14	2, 13	remulcld 8200	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵))) ∈ ℝ)
15	10	resqcld 10951	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
16	12	resqcld 10951	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐵)↑2) ∈ ℝ)
17	15, 16	readdcld 8199	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) ∈ ℝ)
18		releabs 11647	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 · (∗‘𝐵)) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 · (∗‘𝐵))))
19	6, 18	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 · (∗‘𝐵))))
20		absmul 11620	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐵) ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = ((abs‘𝐴) · (abs‘(∗‘𝐵))))
21	3, 5, 20	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = ((abs‘𝐴) · (abs‘(∗‘𝐵))))
22		abscj 11603	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘(∗‘𝐵)) = (abs‘𝐵))
23	4, 22	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(∗‘𝐵)) = (abs‘𝐵))
24	23	oveq2d 6029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) · (abs‘(∗‘𝐵))) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
25	21, 24	eqtrd 2262	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
26	19, 25	breqtrd 4112	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) ≤ ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
27		2rp 9883	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
28	27	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℝ+)
29	7, 13, 28	lemul2d 9966	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) ≤ ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) ↔ (2 · (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵)))) ≤ (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))))
30	26, 29	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵)))) ≤ (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵))))
31	8, 14, 17, 30	leadd2dd 8730	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) + (2 · (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) + (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))))
32		sqabsadd 11606	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) + (2 · (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))))))
33	10	recnd 8198	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
34	12	recnd 8198	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘𝐵) ∈ ℂ)
35		binom2 10903	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℂ) → (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵))↑2) = ((((abs‘𝐴)↑2) + (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))) + ((abs‘𝐵)↑2)))
36	33, 34, 35	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵))↑2) = ((((abs‘𝐴)↑2) + (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))) + ((abs‘𝐵)↑2)))
37	15	recnd 8198	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
38	14	recnd 8198	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵))) ∈ ℂ)
39	16	recnd 8198	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐵)↑2) ∈ ℂ)
40	37, 38, 39	add32d 8337	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((abs‘𝐴)↑2) + (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))) + ((abs‘𝐵)↑2)) = ((((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) + (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))))
41	36, 40	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵))↑2) = ((((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) + (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))))
42	31, 32, 41	3brtr4d 4118	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 + 𝐵))↑2) ≤ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵))↑2))
43		addcl 8147	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
44		abscl 11602	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
45	43, 44	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
46	10, 12	readdcld 8199	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵)) ∈ ℝ)
47		absge0 11611	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘(𝐴 + 𝐵)))
48	43, 47	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ (abs‘(𝐴 + 𝐵)))
49		absge0 11611	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
50	3, 49	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
51		absge0 11611	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐵))
52	4, 51	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
53	10, 12, 50, 52	addge0d 8692	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵)))
54	45, 46, 48, 53	le2sqd 10957	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 + 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵)) ↔ ((abs‘(𝐴 + 𝐵))↑2) ≤ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵))↑2)))
55	42, 54	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 + 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℂcc 8020  ℝcr 8021  0cc0 8022   + caddc 8025   · cmul 8027   ≤ cle 8205  2c2 9184  ℝ⁺crp 9878  ↑cexp 10790  ∗ccj 11390  ℜcre 11391  abscabs 11548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-rp 9879  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550

This theorem is referenced by:  abs3dif  11656  abs2dif2  11658  abstrii  11706  abstrid  11747