Theorem addcomsrg 8066

Description: Addition of signed reals is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
addcomsrg	⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (𝐴 +R 𝐵) = (𝐵 +R 𝐴))

Proof of Theorem addcomsrg

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 8038	. 2 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		addsrpr 8056	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = [⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩] ~R )
3		addsrpr 8056	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R +R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ) = [⟨(𝑧 +P 𝑥), (𝑤 +P 𝑦)⟩] ~R )
4		addcomprg 7889	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑥 +P 𝑧) = (𝑧 +P 𝑥))
5	4	ad2ant2r 509	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → (𝑥 +P 𝑧) = (𝑧 +P 𝑥))
6		addcomprg 7889	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) → (𝑦 +P 𝑤) = (𝑤 +P 𝑦))
7	6	ad2ant2l 508	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → (𝑦 +P 𝑤) = (𝑤 +P 𝑦))
8	1, 2, 3, 5, 7	ecovicom 6876	1 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (𝐴 +R 𝐵) = (𝐵 +R 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  (class class class)co 6049  Pcnp 7602   +_P cpp 7604   ~_R cer 7607  Rcnr 7608   +_R cplr 7612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-eprel 4409  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-1o 6646  df-2o 6647  df-oadd 6650  df-omul 6651  df-er 6766  df-ec 6768  df-qs 6772  df-ni 7615  df-pli 7616  df-mi 7617  df-lti 7618  df-plpq 7655  df-mpq 7656  df-enq 7658  df-nqqs 7659  df-plqqs 7660  df-mqqs 7661  df-1nqqs 7662  df-rq 7663  df-ltnqqs 7664  df-enq0 7735  df-nq0 7736  df-0nq0 7737  df-plq0 7738  df-mq0 7739  df-inp 7777  df-iplp 7779  df-enr 8037  df-nr 8038  df-plr 8039

This theorem is referenced by:  pn0sr  8082  caucvgsrlemoffval  8107  caucvgsrlemoffcau  8109  caucvgsrlemoffgt1  8110  caucvgsrlemoffres  8111  caucvgsr  8113  map2psrprg  8116  axaddcom  8181  axmulcom  8182  axmulass  8184  axdistr  8185  axi2m1  8186  axcnre  8192