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Description: Bézout's identity:
For any integers ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
The proof is constructive, in the sense that it applies the Extended
Euclidian Algorithm to constuct a number which can be shown to be
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Ref | Expression |
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bezout |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | bezoutlembi 12020 |
. 2
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2 | simprrr 540 |
. . 3
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3 | nfv 1538 |
. . . . 5
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4 | nfv 1538 |
. . . . . 6
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5 | nfv 1538 |
. . . . . . 7
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6 | nfre1 2530 |
. . . . . . 7
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7 | 5, 6 | nfan 1575 |
. . . . . 6
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8 | 4, 7 | nfan 1575 |
. . . . 5
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9 | 3, 8 | nfan 1575 |
. . . 4
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10 | nfv 1538 |
. . . . . 6
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11 | nfv 1538 |
. . . . . . 7
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12 | nfv 1538 |
. . . . . . . 8
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13 | nfcv 2329 |
. . . . . . . . 9
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14 | nfre1 2530 |
. . . . . . . . 9
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15 | 13, 14 | nfrexya 2528 |
. . . . . . . 8
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16 | 12, 15 | nfan 1575 |
. . . . . . 7
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17 | 11, 16 | nfan 1575 |
. . . . . 6
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18 | 10, 17 | nfan 1575 |
. . . . 5
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19 | dfgcd3 12025 |
. . . . . . . 8
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20 | 19 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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21 | simprrl 539 |
. . . . . . . 8
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22 | simprl 529 |
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23 | simpll 527 |
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24 | simplr 528 |
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25 | 23, 24, 22, 21 | bezoutlemeu 12022 |
. . . . . . . . 9
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26 | breq2 4019 |
. . . . . . . . . . . 12
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27 | 26 | bibi1d 233 |
. . . . . . . . . . 11
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28 | 27 | ralbidv 2487 |
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29 | 28 | riota2 5866 |
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30 | 22, 25, 29 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
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31 | 21, 30 | mpbid 147 |
. . . . . . 7
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32 | 20, 31 | eqtrd 2220 |
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33 | 32 | eqeq1d 2196 |
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34 | 18, 33 | rexbid 2486 |
. . . 4
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35 | 9, 34 | rexbid 2486 |
. . 3
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37 | 1, 36 | rexlimddv 2609 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-13 2160 ax-14 2161 ax-ext 2169 ax-coll 4130 ax-sep 4133 ax-nul 4141 ax-pow 4186 ax-pr 4221 ax-un 4445 ax-setind 4548 ax-iinf 4599 ax-cnex 7916 ax-resscn 7917 ax-1cn 7918 ax-1re 7919 ax-icn 7920 ax-addcl 7921 ax-addrcl 7922 ax-mulcl 7923 ax-mulrcl 7924 ax-addcom 7925 ax-mulcom 7926 ax-addass 7927 ax-mulass 7928 ax-distr 7929 ax-i2m1 7930 ax-0lt1 7931 ax-1rid 7932 ax-0id 7933 ax-rnegex 7934 ax-precex 7935 ax-cnre 7936 ax-pre-ltirr 7937 ax-pre-ltwlin 7938 ax-pre-lttrn 7939 ax-pre-apti 7940 ax-pre-ltadd 7941 ax-pre-mulgt0 7942 ax-pre-mulext 7943 ax-arch 7944 ax-caucvg 7945 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 980 df-3an 981 df-tru 1366 df-fal 1369 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2039 df-mo 2040 df-clab 2174 df-cleq 2180 df-clel 2183 df-nfc 2318 df-ne 2358 df-nel 2453 df-ral 2470 df-rex 2471 df-reu 2472 df-rmo 2473 df-rab 2474 df-v 2751 df-sbc 2975 df-csb 3070 df-dif 3143 df-un 3145 df-in 3147 df-ss 3154 df-nul 3435 df-if 3547 df-pw 3589 df-sn 3610 df-pr 3611 df-op 3613 df-uni 3822 df-int 3857 df-iun 3900 df-br 4016 df-opab 4077 df-mpt 4078 df-tr 4114 df-id 4305 df-po 4308 df-iso 4309 df-iord 4378 df-on 4380 df-ilim 4381 df-suc 4383 df-iom 4602 df-xp 4644 df-rel 4645 df-cnv 4646 df-co 4647 df-dm 4648 df-rn 4649 df-res 4650 df-ima 4651 df-iota 5190 df-fun 5230 df-fn 5231 df-f 5232 df-f1 5233 df-fo 5234 df-f1o 5235 df-fv 5236 df-riota 5844 df-ov 5891 df-oprab 5892 df-mpo 5893 df-1st 6155 df-2nd 6156 df-recs 6320 df-frec 6406 df-sup 6997 df-pnf 8008 df-mnf 8009 df-xr 8010 df-ltxr 8011 df-le 8012 df-sub 8144 df-neg 8145 df-reap 8546 df-ap 8553 df-div 8644 df-inn 8934 df-2 8992 df-3 8993 df-4 8994 df-n0 9191 df-z 9268 df-uz 9543 df-q 9634 df-rp 9668 df-fz 10023 df-fzo 10157 df-fl 10284 df-mod 10337 df-seqfrec 10460 df-exp 10534 df-cj 10865 df-re 10866 df-im 10867 df-rsqrt 11021 df-abs 11022 df-dvds 11809 df-gcd 11958 |
This theorem is referenced by: dvdsgcd 12027 dvdsmulgcd 12040 lcmgcdlem 12091 divgcdcoprm0 12115 |
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