Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bezout Unicode version

Theorem bezout 11710
 Description: Bézout's identity: For any integers and , there are integers such that . This is Metamath 100 proof #60. The proof is constructive, in the sense that it applies the Extended Euclidian Algorithm to constuct a number which can be shown to be and which satisfies the rest of the theorem. In the presence of excluded middle, it is common to prove Bézout's identity by taking the smallest number which satisfies the Bézout condition, and showing it is the greatest common divisor. But we do not have the ability to show that number exists other than by providing a way to determine it. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
bezout
Distinct variable groups:   ,,   ,,

Proof of Theorem bezout
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bezoutlembi 11704 . 2
2 simprrr 529 . . 3
3 nfv 1508 . . . . 5
4 nfv 1508 . . . . . 6
5 nfv 1508 . . . . . . 7
6 nfre1 2476 . . . . . . 7
75, 6nfan 1544 . . . . . 6
84, 7nfan 1544 . . . . 5
93, 8nfan 1544 . . . 4
10 nfv 1508 . . . . . 6
11 nfv 1508 . . . . . . 7
12 nfv 1508 . . . . . . . 8
13 nfcv 2281 . . . . . . . . 9
14 nfre1 2476 . . . . . . . . 9
1513, 14nfrexya 2474 . . . . . . . 8
1612, 15nfan 1544 . . . . . . 7
1711, 16nfan 1544 . . . . . 6
1810, 17nfan 1544 . . . . 5
19 dfgcd3 11709 . . . . . . . 8
2019adantr 274 . . . . . . 7
21 simprrl 528 . . . . . . . 8
22 simprl 520 . . . . . . . . 9
23 simpll 518 . . . . . . . . . 10
24 simplr 519 . . . . . . . . . 10
2523, 24, 22, 21bezoutlemeu 11706 . . . . . . . . 9
26 breq2 3933 . . . . . . . . . . . 12
2726bibi1d 232 . . . . . . . . . . 11
2827ralbidv 2437 . . . . . . . . . 10
2928riota2 5752 . . . . . . . . 9
3022, 25, 29syl2anc 408 . . . . . . . 8
3121, 30mpbid 146 . . . . . . 7
3220, 31eqtrd 2172 . . . . . 6
3332eqeq1d 2148 . . . . 5
3418, 33rexbid 2436 . . . 4
359, 34rexbid 2436 . . 3
362, 35mpbird 166 . 2
371, 36rexlimddv 2554 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1331   wcel 1480  wral 2416  wrex 2417  wreu 2418   class class class wbr 3929  crio 5729  (class class class)co 5774   caddc 7635   cmul 7637  cn0 8989  cz 9066   cdvds 11504   cgcd 11646 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-sup 6871  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-fz 9803  df-fzo 9932  df-fl 10055  df-mod 10108  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783  df-dvds 11505  df-gcd 11647 This theorem is referenced by:  dvdsgcd  11711  dvdsmulgcd  11724  lcmgcdlem  11769  divgcdcoprm0  11793
 Copyright terms: Public domain W3C validator