Theorem bezoutlemaz 11987

Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlemzz 11986 but where ' A ' can be any integer, not just a nonnegative one. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemaz	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, d, x, y   B, d, x, y   z, A, d   z, B

Proof of Theorem bezoutlemaz

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemzz 11986	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
2	1	ancoms 268	. . 3 |- ( ( B e. NN0 /\ A e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
3	2	adantll 476	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ A e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
4		bezoutlemzz 11986	. . . . 5 |- ( ( -u A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || -u A /\ z || B ) ) /\ E. t e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) ) )
5	4	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( B e. NN0 /\ -u A e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || -u A /\ z || B ) ) /\ E. t e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) ) )
6	5	adantll 476	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || -u A /\ z || B ) ) /\ E. t e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) ) )
7		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> z e. ZZ )
8		simpll 527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) -> A e. ZZ )
9	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> A e. ZZ )
10		dvdsnegb 11799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( z || A <-> z || -u A ) )
11	7, 9, 10	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( z || A <-> z || -u A ) )
12	11	biimprd 158	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( z || -u A -> z || A ) )
13	12	anim1d 336	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( ( z || -u A /\ z || B ) -> ( z || A /\ z || B ) ) )
14	13	imim2d 54	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( ( z || d -> ( z || -u A /\ z || B ) ) -> ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
15	14	ralimdva 2544	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || -u A /\ z || B ) ) -> A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
16	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> A e. ZZ )
17	16	zcnd 9365	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> A e. CC )
18		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> t e. ZZ )
19	18	zcnd 9365	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> t e. CC )
20		mulneg12 8344	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ t e. CC ) -> ( -u A x. t ) = ( A x. -u t ) )
21	17, 19, 20	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( -u A x. t ) = ( A x. -u t ) )
22	21	oveq1d 5884	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) )
23	22	eqeq2d 2189	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( d = ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) <-> d = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) ) )
24	23	rexbidv 2478	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( E. y e. ZZ d = ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) <-> E. y e. ZZ d = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) ) )
25		znegcl 9273	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. ZZ -> -u t e. ZZ )
26		oveq2 5877	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = -u t -> ( A x. x ) = ( A x. -u t ) )
27	26	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = -u t -> ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) )
28	27	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = -u t -> ( d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> d = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) ) )
29	28	rexbidv 2478	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = -u t -> ( E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> E. y e. ZZ d = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) ) )
30	29	rspcev 2841	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u t e. ZZ /\ E. y e. ZZ d = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) )
31	25, 30	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( t e. ZZ /\ E. y e. ZZ d = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) )
32	31	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( t e. ZZ -> ( E. y e. ZZ d = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
33	32	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( E. y e. ZZ d = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
34	24, 33	sylbid 150	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( E. y e. ZZ d = ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
35	34	rexlimdva 2594	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( E. t e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
36	15, 35	anim12d 335	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || -u A /\ z || B ) ) /\ E. t e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) ) -> ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
37	36	reximdva 2579	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) -> ( E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || -u A /\ z || B ) ) /\ E. t e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
38	6, 37	mpd 13	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
39		elznn0 9257	. . . 4 |- ( A e. ZZ <-> ( A e. RR /\ ( A e. NN0 \/ -u A e. NN0 ) ) )
40	39	simprbi 275	. . 3 |- ( A e. ZZ -> ( A e. NN0 \/ -u A e. NN0 ) )
41	40	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) -> ( A e. NN0 \/ -u A e. NN0 ) )
42	3, 38, 41	mpjaodan 798	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869   CCcc 7800   RRcr 7801   + caddc 7805   x. cmul 7807   -ucneg 8119   NN0cn0 9165   ZZcz 9242   || cdvds 11778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-dvds 11779

This theorem is referenced by:  bezoutlembz  11988