Theorem bezoutlemaz 12357

Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlemzz 12356 but where ' A ' can be any integer, not just a nonnegative one. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemaz	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, d, x, y   B, d, x, y   z, A, d   z, B

Proof of Theorem bezoutlemaz

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemzz 12356	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
2	1	ancoms 268	. . 3 |- ( ( B e. NN0 /\ A e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
3	2	adantll 476	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ A e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
4		bezoutlemzz 12356	. . . . 5 |- ( ( -u A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || -u A /\ z || B ) ) /\ E. t e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) ) )
5	4	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( B e. NN0 /\ -u A e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || -u A /\ z || B ) ) /\ E. t e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) ) )
6	5	adantll 476	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || -u A /\ z || B ) ) /\ E. t e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) ) )
7		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> z e. ZZ )
8		simpll 527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) -> A e. ZZ )
9	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> A e. ZZ )
10		dvdsnegb 12152	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( z || A <-> z || -u A ) )
11	7, 9, 10	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( z || A <-> z || -u A ) )
12	11	biimprd 158	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( z || -u A -> z || A ) )
13	12	anim1d 336	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( ( z || -u A /\ z || B ) -> ( z || A /\ z || B ) ) )
14	13	imim2d 54	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( ( z || d -> ( z || -u A /\ z || B ) ) -> ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
15	14	ralimdva 2573	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || -u A /\ z || B ) ) -> A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
16	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> A e. ZZ )
17	16	zcnd 9498	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> A e. CC )
18		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> t e. ZZ )
19	18	zcnd 9498	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> t e. CC )
20		mulneg12 8471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ t e. CC ) -> ( -u A x. t ) = ( A x. -u t ) )
21	17, 19, 20	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( -u A x. t ) = ( A x. -u t ) )
22	21	oveq1d 5961	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) )
23	22	eqeq2d 2217	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( d = ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) <-> d = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) ) )
24	23	rexbidv 2507	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( E. y e. ZZ d = ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) <-> E. y e. ZZ d = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) ) )
25		znegcl 9405	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. ZZ -> -u t e. ZZ )
26		oveq2 5954	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = -u t -> ( A x. x ) = ( A x. -u t ) )
27	26	oveq1d 5961	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = -u t -> ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) )
28	27	eqeq2d 2217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = -u t -> ( d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> d = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) ) )
29	28	rexbidv 2507	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = -u t -> ( E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> E. y e. ZZ d = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) ) )
30	29	rspcev 2877	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u t e. ZZ /\ E. y e. ZZ d = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) )
31	25, 30	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( t e. ZZ /\ E. y e. ZZ d = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) )
32	31	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( t e. ZZ -> ( E. y e. ZZ d = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
33	32	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( E. y e. ZZ d = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
34	24, 33	sylbid 150	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( E. y e. ZZ d = ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
35	34	rexlimdva 2623	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( E. t e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
36	15, 35	anim12d 335	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || -u A /\ z || B ) ) /\ E. t e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) ) -> ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
37	36	reximdva 2608	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) -> ( E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || -u A /\ z || B ) ) /\ E. t e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
38	6, 37	mpd 13	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
39		elznn0 9389	. . . 4 |- ( A e. ZZ <-> ( A e. RR /\ ( A e. NN0 \/ -u A e. NN0 ) ) )
40	39	simprbi 275	. . 3 |- ( A e. ZZ -> ( A e. NN0 \/ -u A e. NN0 ) )
41	40	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) -> ( A e. NN0 \/ -u A e. NN0 ) )
42	3, 38, 41	mpjaodan 800	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   class class class wbr 4045  (class class class)co 5946   CCcc 7925   RRcr 7926   + caddc 7930   x. cmul 7932   -ucneg 8246   NN0cn0 9297   ZZcz 9374   || cdvds 12131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045  ax-arch 8046

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-frec 6479  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-2 9097  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-q 9743  df-rp 9778  df-fz 10133  df-fl 10415  df-mod 10470  df-seqfrec 10595  df-exp 10686  df-cj 11186  df-re 11187  df-im 11188  df-rsqrt 11342  df-abs 11343  df-dvds 12132

This theorem is referenced by:  bezoutlembz  12358