Theorem bezoutlemaz 11698

Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlemzz 11697 but where ' A ' can be any integer, not just a nonnegative one. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemaz	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, d, x, y   B, d, x, y   z, A, d   z, B

Proof of Theorem bezoutlemaz

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemzz 11697	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
2	1	ancoms 266	. . 3 |- ( ( B e. NN0 /\ A e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
3	2	adantll 467	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ A e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
4		bezoutlemzz 11697	. . . . 5 |- ( ( -u A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || -u A /\ z || B ) ) /\ E. t e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) ) )
5	4	ancoms 266	. . . 4 |- ( ( B e. NN0 /\ -u A e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || -u A /\ z || B ) ) /\ E. t e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) ) )
6	5	adantll 467	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || -u A /\ z || B ) ) /\ E. t e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) ) )
7		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> z e. ZZ )
8		simpll 518	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) -> A e. ZZ )
9	8	ad2antrr 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> A e. ZZ )
10		dvdsnegb 11517	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( z || A <-> z || -u A ) )
11	7, 9, 10	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( z || A <-> z || -u A ) )
12	11	biimprd 157	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( z || -u A -> z || A ) )
13	12	anim1d 334	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( ( z || -u A /\ z || B ) -> ( z || A /\ z || B ) ) )
14	13	imim2d 54	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( ( z || d -> ( z || -u A /\ z || B ) ) -> ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
15	14	ralimdva 2499	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || -u A /\ z || B ) ) -> A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
16	8	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> A e. ZZ )
17	16	zcnd 9181	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> A e. CC )
18		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> t e. ZZ )
19	18	zcnd 9181	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> t e. CC )
20		mulneg12 8166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ t e. CC ) -> ( -u A x. t ) = ( A x. -u t ) )
21	17, 19, 20	syl2anc 408	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( -u A x. t ) = ( A x. -u t ) )
22	21	oveq1d 5789	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) )
23	22	eqeq2d 2151	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( d = ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) <-> d = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) ) )
24	23	rexbidv 2438	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( E. y e. ZZ d = ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) <-> E. y e. ZZ d = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) ) )
25		znegcl 9092	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. ZZ -> -u t e. ZZ )
26		oveq2 5782	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = -u t -> ( A x. x ) = ( A x. -u t ) )
27	26	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = -u t -> ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) )
28	27	eqeq2d 2151	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = -u t -> ( d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> d = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) ) )
29	28	rexbidv 2438	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = -u t -> ( E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> E. y e. ZZ d = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) ) )
30	29	rspcev 2789	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u t e. ZZ /\ E. y e. ZZ d = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) )
31	25, 30	sylan 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( t e. ZZ /\ E. y e. ZZ d = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) )
32	31	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( t e. ZZ -> ( E. y e. ZZ d = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
33	32	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( E. y e. ZZ d = ( ( A x. -u t ) + ( B x. y ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
34	24, 33	sylbid 149	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( E. y e. ZZ d = ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
35	34	rexlimdva 2549	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( E. t e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
36	15, 35	anim12d 333	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || -u A /\ z || B ) ) /\ E. t e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) ) -> ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
37	36	reximdva 2534	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) -> ( E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || -u A /\ z || B ) ) /\ E. t e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( -u A x. t ) + ( B x. y ) ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
38	6, 37	mpd 13	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) /\ -u A e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
39		elznn0 9076	. . . 4 |- ( A e. ZZ <-> ( A e. RR /\ ( A e. NN0 \/ -u A e. NN0 ) ) )
40	39	simprbi 273	. . 3 |- ( A e. ZZ -> ( A e. NN0 \/ -u A e. NN0 ) )
41	40	adantr 274	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) -> ( A e. NN0 \/ -u A e. NN0 ) )
42	3, 38, 41	mpjaodan 787	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   CCcc 7625   RRcr 7626   + caddc 7630   x. cmul 7632   -ucneg 7941   NN0cn0 8984   ZZcz 9061   || cdvds 11500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-fz 9798  df-fl 10050  df-mod 10103  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-dvds 11501

This theorem is referenced by:  bezoutlembz  11699