Theorem bezoutlemzz 12194

Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlemex 12193 but where ' z ' is any integer, not just a nonnegative one. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemzz	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑥,𝑦   𝐵,𝑑,𝑥,𝑦   𝑧,𝐴,𝑑   𝑧,𝐵

Proof of Theorem bezoutlemzz

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemex 12193	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
2		nfv 1542	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0)
3		nfra1 2528	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))
4	2, 3	nfan 1579	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧(((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
5		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ∈ ℕ0)
6		rsp 2544	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
7	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
8	5, 7	mpd 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
9	8	adantlll 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
10		breq1 4037	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = -𝑧 → (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ -𝑧 ∥ 𝑑))
11		breq1 4037	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = -𝑧 → (𝑤 ∥ 𝐴 ↔ -𝑧 ∥ 𝐴))
12		breq1 4037	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = -𝑧 → (𝑤 ∥ 𝐵 ↔ -𝑧 ∥ 𝐵))
13	11, 12	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = -𝑧 → ((𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵) ↔ (-𝑧 ∥ 𝐴 ∧ -𝑧 ∥ 𝐵)))
14	10, 13	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = -𝑧 → ((𝑤 ∥ 𝑑 → (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)) ↔ (-𝑧 ∥ 𝑑 → (-𝑧 ∥ 𝐴 ∧ -𝑧 ∥ 𝐵))))
15		breq1 4037	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 𝑤 ∥ 𝑑))
16		breq1 4037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝐴 ↔ 𝑤 ∥ 𝐴))
17		breq1 4037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝐵 ↔ 𝑤 ∥ 𝐵))
18	16, 17	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
19	15, 18	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑤 ∥ 𝑑 → (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵))))
20	19	cbvralv 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℕ0 (𝑤 ∥ 𝑑 → (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
21	20	biimpi 120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → ∀𝑤 ∈ ℕ0 (𝑤 ∥ 𝑑 → (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
22	21	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → ∀𝑤 ∈ ℕ0 (𝑤 ∥ 𝑑 → (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
23		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → -𝑧 ∈ ℕ0)
24	14, 22, 23	rspcdva 2873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (-𝑧 ∥ 𝑑 → (-𝑧 ∥ 𝐴 ∧ -𝑧 ∥ 𝐵)))
25	24	adantlll 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (-𝑧 ∥ 𝑑 → (-𝑧 ∥ 𝐴 ∧ -𝑧 ∥ 𝐵)))
26		simplr 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ∈ ℤ)
27		simpllr 534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑑 ∈ ℕ0)
28	27	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑑 ∈ ℕ0)
29	28	nn0zd 9463	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑑 ∈ ℤ)
30		negdvdsb 11989	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ -𝑧 ∥ 𝑑))
31	26, 29, 30	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ -𝑧 ∥ 𝑑))
32		simplll 533	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℕ0)
33	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ0)
34	33	nn0zd 9463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
35		negdvdsb 11989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝐴 ↔ -𝑧 ∥ 𝐴))
36	26, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∥ 𝐴 ↔ -𝑧 ∥ 𝐴))
37		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℕ0)
38	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
39	38	nn0zd 9463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
40		negdvdsb 11989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝐵 ↔ -𝑧 ∥ 𝐵))
41	26, 39, 40	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∥ 𝐵 ↔ -𝑧 ∥ 𝐵))
42	36, 41	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) ↔ (-𝑧 ∥ 𝐴 ∧ -𝑧 ∥ 𝐵)))
43	25, 31, 42	3imtr4d 203	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
44		elznn0 9358	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℕ0 ∨ -𝑧 ∈ ℕ0)))
45	44	simprbi 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 ∈ ℕ0 ∨ -𝑧 ∈ ℕ0))
46	45	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ ℕ0 ∨ -𝑧 ∈ ℕ0))
47	9, 43, 46	mpjaodan 799	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
48	47	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
49	4, 48	ralrimi 2568	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
50	49	ex 115	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
51	50	anim1d 336	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
52	51	reximdva 2599	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
53	1, 52	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  ℝcr 7895   + caddc 7899   · cmul 7901  -cneg 8215  ℕ₀cn0 9266  ℤcz 9343   ∥ cdvds 11969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fl 10377  df-mod 10432  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-dvds 11970

This theorem is referenced by:  bezoutlemaz  12195