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Theorem bezoutlemzz 11968
Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlemex 11967 but where ' z ' is any integer, not just a nonnegative one. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
bezoutlemzz ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑥,𝑦   𝐵,𝑑,𝑥,𝑦   𝑧,𝐴,𝑑   𝑧,𝐵

Proof of Theorem bezoutlemzz
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bezoutlemex 11967 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
2 nfv 1526 . . . . . . 7 𝑧((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0)
3 nfra1 2506 . . . . . . 7 𝑧𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))
42, 3nfan 1563 . . . . . 6 𝑧(((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
5 simpr 110 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ∈ ℕ0)
6 rsp 2522 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))))
76ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))))
85, 7mpd 13 . . . . . . . . 9 (((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
98adantlll 480 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
10 breq1 4001 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = -𝑧 → (𝑤𝑑 ↔ -𝑧𝑑))
11 breq1 4001 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = -𝑧 → (𝑤𝐴 ↔ -𝑧𝐴))
12 breq1 4001 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = -𝑧 → (𝑤𝐵 ↔ -𝑧𝐵))
1311, 12anbi12d 473 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = -𝑧 → ((𝑤𝐴𝑤𝐵) ↔ (-𝑧𝐴 ∧ -𝑧𝐵)))
1410, 13imbi12d 234 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = -𝑧 → ((𝑤𝑑 → (𝑤𝐴𝑤𝐵)) ↔ (-𝑧𝑑 → (-𝑧𝐴 ∧ -𝑧𝐵))))
15 breq1 4001 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝑑𝑤𝑑))
16 breq1 4001 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝐴𝑤𝐴))
17 breq1 4001 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝐵𝑤𝐵))
1816, 17anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧𝐴𝑧𝐵) ↔ (𝑤𝐴𝑤𝐵)))
1915, 18imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ↔ (𝑤𝑑 → (𝑤𝐴𝑤𝐵))))
2019cbvralv 2701 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℕ0 (𝑤𝑑 → (𝑤𝐴𝑤𝐵)))
2120biimpi 120 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → ∀𝑤 ∈ ℕ0 (𝑤𝑑 → (𝑤𝐴𝑤𝐵)))
2221ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → ∀𝑤 ∈ ℕ0 (𝑤𝑑 → (𝑤𝐴𝑤𝐵)))
23 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → -𝑧 ∈ ℕ0)
2414, 22, 23rspcdva 2844 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (-𝑧𝑑 → (-𝑧𝐴 ∧ -𝑧𝐵)))
2524adantlll 480 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (-𝑧𝑑 → (-𝑧𝐴 ∧ -𝑧𝐵)))
26 simplr 528 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ∈ ℤ)
27 simpllr 534 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑑 ∈ ℕ0)
2827adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑑 ∈ ℕ0)
2928nn0zd 9344 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑑 ∈ ℤ)
30 negdvdsb 11780 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (𝑧𝑑 ↔ -𝑧𝑑))
3126, 29, 30syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑑 ↔ -𝑧𝑑))
32 simplll 533 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) → 𝐴 ∈ ℕ0)
3332ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ0)
3433nn0zd 9344 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
35 negdvdsb 11780 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑧𝐴 ↔ -𝑧𝐴))
3626, 34, 35syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧𝐴 ↔ -𝑧𝐴))
37 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) → 𝐵 ∈ ℕ0)
3837ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
3938nn0zd 9344 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
40 negdvdsb 11780 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑧𝐵 ↔ -𝑧𝐵))
4126, 39, 40syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧𝐵 ↔ -𝑧𝐵))
4236, 41anbi12d 473 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → ((𝑧𝐴𝑧𝐵) ↔ (-𝑧𝐴 ∧ -𝑧𝐵)))
4325, 31, 423imtr4d 203 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
44 elznn0 9239 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℤ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℕ0 ∨ -𝑧 ∈ ℕ0)))
4544simprbi 275 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 ∈ ℕ0 ∨ -𝑧 ∈ ℕ0))
4645adantl 277 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ ℕ0 ∨ -𝑧 ∈ ℕ0))
479, 43, 46mpjaodan 798 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
4847ex 115 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) → (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))))
494, 48ralrimi 2546 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
5049ex 115 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))))
5150anim1d 336 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
5251reximdva 2577 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
531, 52mpd 13 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708   = wceq 1353  wcel 2146  wral 2453  wrex 2454   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865  cr 7785   + caddc 7789   · cmul 7791  -cneg 8103  0cn0 9147  cz 9224  cdvds 11760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-q 9591  df-rp 9623  df-fz 9978  df-fl 10238  df-mod 10291  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-cj 10817  df-re 10818  df-im 10819  df-rsqrt 10973  df-abs 10974  df-dvds 11761
This theorem is referenced by:  bezoutlemaz  11969
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