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Theorem bezoutlemzz 11483
Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlemex 11482 but where ' z ' is any integer, not just a nonnegative one. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
bezoutlemzz ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑥,𝑦   𝐵,𝑑,𝑥,𝑦   𝑧,𝐴,𝑑   𝑧,𝐵

Proof of Theorem bezoutlemzz
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bezoutlemex 11482 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
2 nfv 1476 . . . . . . 7 𝑧((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0)
3 nfra1 2425 . . . . . . 7 𝑧𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))
42, 3nfan 1512 . . . . . 6 𝑧(((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
5 simpr 109 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ∈ ℕ0)
6 rsp 2439 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))))
76ad2antrr 475 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))))
85, 7mpd 13 . . . . . . . . 9 (((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
98adantlll 467 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
10 breq1 3878 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = -𝑧 → (𝑤𝑑 ↔ -𝑧𝑑))
11 breq1 3878 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = -𝑧 → (𝑤𝐴 ↔ -𝑧𝐴))
12 breq1 3878 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = -𝑧 → (𝑤𝐵 ↔ -𝑧𝐵))
1311, 12anbi12d 460 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = -𝑧 → ((𝑤𝐴𝑤𝐵) ↔ (-𝑧𝐴 ∧ -𝑧𝐵)))
1410, 13imbi12d 233 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = -𝑧 → ((𝑤𝑑 → (𝑤𝐴𝑤𝐵)) ↔ (-𝑧𝑑 → (-𝑧𝐴 ∧ -𝑧𝐵))))
15 breq1 3878 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝑑𝑤𝑑))
16 breq1 3878 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝐴𝑤𝐴))
17 breq1 3878 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝐵𝑤𝐵))
1816, 17anbi12d 460 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧𝐴𝑧𝐵) ↔ (𝑤𝐴𝑤𝐵)))
1915, 18imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ↔ (𝑤𝑑 → (𝑤𝐴𝑤𝐵))))
2019cbvralv 2612 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℕ0 (𝑤𝑑 → (𝑤𝐴𝑤𝐵)))
2120biimpi 119 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → ∀𝑤 ∈ ℕ0 (𝑤𝑑 → (𝑤𝐴𝑤𝐵)))
2221ad2antrr 475 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → ∀𝑤 ∈ ℕ0 (𝑤𝑑 → (𝑤𝐴𝑤𝐵)))
23 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → -𝑧 ∈ ℕ0)
2414, 22, 23rspcdva 2749 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (-𝑧𝑑 → (-𝑧𝐴 ∧ -𝑧𝐵)))
2524adantlll 467 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (-𝑧𝑑 → (-𝑧𝐴 ∧ -𝑧𝐵)))
26 simplr 500 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ∈ ℤ)
27 simpllr 504 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑑 ∈ ℕ0)
2827adantr 272 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑑 ∈ ℕ0)
2928nn0zd 9023 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑑 ∈ ℤ)
30 negdvdsb 11304 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (𝑧𝑑 ↔ -𝑧𝑑))
3126, 29, 30syl2anc 406 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑑 ↔ -𝑧𝑑))
32 simplll 503 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) → 𝐴 ∈ ℕ0)
3332ad2antrr 475 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ0)
3433nn0zd 9023 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
35 negdvdsb 11304 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑧𝐴 ↔ -𝑧𝐴))
3626, 34, 35syl2anc 406 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧𝐴 ↔ -𝑧𝐴))
37 simpllr 504 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) → 𝐵 ∈ ℕ0)
3837ad2antrr 475 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
3938nn0zd 9023 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
40 negdvdsb 11304 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑧𝐵 ↔ -𝑧𝐵))
4126, 39, 40syl2anc 406 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧𝐵 ↔ -𝑧𝐵))
4236, 41anbi12d 460 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → ((𝑧𝐴𝑧𝐵) ↔ (-𝑧𝐴 ∧ -𝑧𝐵)))
4325, 31, 423imtr4d 202 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
44 elznn0 8921 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℤ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℕ0 ∨ -𝑧 ∈ ℕ0)))
4544simprbi 271 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 ∈ ℕ0 ∨ -𝑧 ∈ ℕ0))
4645adantl 273 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ ℕ0 ∨ -𝑧 ∈ ℕ0))
479, 43, 46mpjaodan 753 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
4847ex 114 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) → (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))))
494, 48ralrimi 2462 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
5049ex 114 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))))
5150anim1d 332 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
5251reximdva 2493 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
531, 52mpd 13 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wo 670   = wceq 1299  wcel 1448  wral 2375  wrex 2376   class class class wbr 3875  (class class class)co 5706  cr 7499   + caddc 7503   · cmul 7505  -cneg 7805  0cn0 8829  cz 8906  cdvds 11288
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-q 9262  df-rp 9292  df-fz 9632  df-fl 9884  df-mod 9937  df-seqfrec 10060  df-exp 10134  df-cj 10455  df-re 10456  df-im 10457  df-rsqrt 10610  df-abs 10611  df-dvds 11289
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