Theorem bezoutlemzz 11968

Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlemex 11967 but where ' z ' is any integer, not just a nonnegative one. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemzz	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑥,𝑦   𝐵,𝑑,𝑥,𝑦   𝑧,𝐴,𝑑   𝑧,𝐵

Proof of Theorem bezoutlemzz

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemex 11967	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
2		nfv 1526	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0)
3		nfra1 2506	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))
4	2, 3	nfan 1563	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧(((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
5		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ∈ ℕ0)
6		rsp 2522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
7	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
8	5, 7	mpd 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
9	8	adantlll 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
10		breq1 4001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = -𝑧 → (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ -𝑧 ∥ 𝑑))
11		breq1 4001	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = -𝑧 → (𝑤 ∥ 𝐴 ↔ -𝑧 ∥ 𝐴))
12		breq1 4001	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = -𝑧 → (𝑤 ∥ 𝐵 ↔ -𝑧 ∥ 𝐵))
13	11, 12	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = -𝑧 → ((𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵) ↔ (-𝑧 ∥ 𝐴 ∧ -𝑧 ∥ 𝐵)))
14	10, 13	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = -𝑧 → ((𝑤 ∥ 𝑑 → (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)) ↔ (-𝑧 ∥ 𝑑 → (-𝑧 ∥ 𝐴 ∧ -𝑧 ∥ 𝐵))))
15		breq1 4001	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 𝑤 ∥ 𝑑))
16		breq1 4001	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝐴 ↔ 𝑤 ∥ 𝐴))
17		breq1 4001	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝐵 ↔ 𝑤 ∥ 𝐵))
18	16, 17	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
19	15, 18	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑤 ∥ 𝑑 → (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵))))
20	19	cbvralv 2701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℕ0 (𝑤 ∥ 𝑑 → (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
21	20	biimpi 120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → ∀𝑤 ∈ ℕ0 (𝑤 ∥ 𝑑 → (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
22	21	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → ∀𝑤 ∈ ℕ0 (𝑤 ∥ 𝑑 → (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
23		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → -𝑧 ∈ ℕ0)
24	14, 22, 23	rspcdva 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (-𝑧 ∥ 𝑑 → (-𝑧 ∥ 𝐴 ∧ -𝑧 ∥ 𝐵)))
25	24	adantlll 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (-𝑧 ∥ 𝑑 → (-𝑧 ∥ 𝐴 ∧ -𝑧 ∥ 𝐵)))
26		simplr 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ∈ ℤ)
27		simpllr 534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑑 ∈ ℕ0)
28	27	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑑 ∈ ℕ0)
29	28	nn0zd 9344	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑑 ∈ ℤ)
30		negdvdsb 11780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ -𝑧 ∥ 𝑑))
31	26, 29, 30	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ -𝑧 ∥ 𝑑))
32		simplll 533	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℕ0)
33	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ0)
34	33	nn0zd 9344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
35		negdvdsb 11780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝐴 ↔ -𝑧 ∥ 𝐴))
36	26, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∥ 𝐴 ↔ -𝑧 ∥ 𝐴))
37		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℕ0)
38	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
39	38	nn0zd 9344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
40		negdvdsb 11780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝐵 ↔ -𝑧 ∥ 𝐵))
41	26, 39, 40	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∥ 𝐵 ↔ -𝑧 ∥ 𝐵))
42	36, 41	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) ↔ (-𝑧 ∥ 𝐴 ∧ -𝑧 ∥ 𝐵)))
43	25, 31, 42	3imtr4d 203	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
44		elznn0 9239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℕ0 ∨ -𝑧 ∈ ℕ0)))
45	44	simprbi 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 ∈ ℕ0 ∨ -𝑧 ∈ ℕ0))
46	45	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ ℕ0 ∨ -𝑧 ∈ ℕ0))
47	9, 43, 46	mpjaodan 798	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
48	47	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
49	4, 48	ralrimi 2546	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
50	49	ex 115	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
51	50	anim1d 336	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
52	51	reximdva 2577	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
53	1, 52	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2146  ∀wral 2453  ∃wrex 2454   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865  ℝcr 7785   + caddc 7789   · cmul 7791  -cneg 8103  ℕ₀cn0 9147  ℤcz 9224   ∥ cdvds 11760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-q 9591  df-rp 9623  df-fz 9978  df-fl 10238  df-mod 10291  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-cj 10817  df-re 10818  df-im 10819  df-rsqrt 10973  df-abs 10974  df-dvds 11761

This theorem is referenced by:  bezoutlemaz  11969