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Theorem bezoutlemzz 11724
Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlemex 11723 but where ' z ' is any integer, not just a nonnegative one. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
bezoutlemzz ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑥,𝑦   𝐵,𝑑,𝑥,𝑦   𝑧,𝐴,𝑑   𝑧,𝐵

Proof of Theorem bezoutlemzz
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bezoutlemex 11723 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
2 nfv 1509 . . . . . . 7 𝑧((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0)
3 nfra1 2469 . . . . . . 7 𝑧𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))
42, 3nfan 1545 . . . . . 6 𝑧(((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
5 simpr 109 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ∈ ℕ0)
6 rsp 2483 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))))
76ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))))
85, 7mpd 13 . . . . . . . . 9 (((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
98adantlll 472 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
10 breq1 3939 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = -𝑧 → (𝑤𝑑 ↔ -𝑧𝑑))
11 breq1 3939 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = -𝑧 → (𝑤𝐴 ↔ -𝑧𝐴))
12 breq1 3939 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = -𝑧 → (𝑤𝐵 ↔ -𝑧𝐵))
1311, 12anbi12d 465 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = -𝑧 → ((𝑤𝐴𝑤𝐵) ↔ (-𝑧𝐴 ∧ -𝑧𝐵)))
1410, 13imbi12d 233 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = -𝑧 → ((𝑤𝑑 → (𝑤𝐴𝑤𝐵)) ↔ (-𝑧𝑑 → (-𝑧𝐴 ∧ -𝑧𝐵))))
15 breq1 3939 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝑑𝑤𝑑))
16 breq1 3939 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝐴𝑤𝐴))
17 breq1 3939 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝐵𝑤𝐵))
1816, 17anbi12d 465 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧𝐴𝑧𝐵) ↔ (𝑤𝐴𝑤𝐵)))
1915, 18imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ↔ (𝑤𝑑 → (𝑤𝐴𝑤𝐵))))
2019cbvralv 2657 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℕ0 (𝑤𝑑 → (𝑤𝐴𝑤𝐵)))
2120biimpi 119 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → ∀𝑤 ∈ ℕ0 (𝑤𝑑 → (𝑤𝐴𝑤𝐵)))
2221ad2antrr 480 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → ∀𝑤 ∈ ℕ0 (𝑤𝑑 → (𝑤𝐴𝑤𝐵)))
23 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → -𝑧 ∈ ℕ0)
2414, 22, 23rspcdva 2797 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (-𝑧𝑑 → (-𝑧𝐴 ∧ -𝑧𝐵)))
2524adantlll 472 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (-𝑧𝑑 → (-𝑧𝐴 ∧ -𝑧𝐵)))
26 simplr 520 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ∈ ℤ)
27 simpllr 524 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑑 ∈ ℕ0)
2827adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑑 ∈ ℕ0)
2928nn0zd 9194 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑑 ∈ ℤ)
30 negdvdsb 11543 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (𝑧𝑑 ↔ -𝑧𝑑))
3126, 29, 30syl2anc 409 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑑 ↔ -𝑧𝑑))
32 simplll 523 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) → 𝐴 ∈ ℕ0)
3332ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ0)
3433nn0zd 9194 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
35 negdvdsb 11543 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑧𝐴 ↔ -𝑧𝐴))
3626, 34, 35syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧𝐴 ↔ -𝑧𝐴))
37 simpllr 524 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) → 𝐵 ∈ ℕ0)
3837ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
3938nn0zd 9194 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
40 negdvdsb 11543 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑧𝐵 ↔ -𝑧𝐵))
4126, 39, 40syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧𝐵 ↔ -𝑧𝐵))
4236, 41anbi12d 465 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → ((𝑧𝐴𝑧𝐵) ↔ (-𝑧𝐴 ∧ -𝑧𝐵)))
4325, 31, 423imtr4d 202 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
44 elznn0 9092 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℤ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℕ0 ∨ -𝑧 ∈ ℕ0)))
4544simprbi 273 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 ∈ ℕ0 ∨ -𝑧 ∈ ℕ0))
4645adantl 275 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ ℕ0 ∨ -𝑧 ∈ ℕ0))
479, 43, 46mpjaodan 788 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
4847ex 114 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) → (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))))
494, 48ralrimi 2506 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
5049ex 114 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))))
5150anim1d 334 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
5251reximdva 2537 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
531, 52mpd 13 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wo 698   = wceq 1332  wcel 1481  wral 2417  wrex 2418   class class class wbr 3936  (class class class)co 5781  cr 7642   + caddc 7646   · cmul 7648  -cneg 7957  0cn0 9000  cz 9077  cdvds 11527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-q 9438  df-rp 9470  df-fz 9821  df-fl 10073  df-mod 10126  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-cj 10645  df-re 10646  df-im 10647  df-rsqrt 10801  df-abs 10802  df-dvds 11528
This theorem is referenced by:  bezoutlemaz  11725
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