Theorem bezoutlemzz 11986

Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlemex 11985 but where ' z ' is any integer, not just a nonnegative one. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemzz	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑥,𝑦   𝐵,𝑑,𝑥,𝑦   𝑧,𝐴,𝑑   𝑧,𝐵

Proof of Theorem bezoutlemzz

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemex 11985	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
2		nfv 1528	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0)
3		nfra1 2508	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))
4	2, 3	nfan 1565	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧(((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
5		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ∈ ℕ0)
6		rsp 2524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
7	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
8	5, 7	mpd 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
9	8	adantlll 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
10		breq1 4003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = -𝑧 → (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ -𝑧 ∥ 𝑑))
11		breq1 4003	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = -𝑧 → (𝑤 ∥ 𝐴 ↔ -𝑧 ∥ 𝐴))
12		breq1 4003	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = -𝑧 → (𝑤 ∥ 𝐵 ↔ -𝑧 ∥ 𝐵))
13	11, 12	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = -𝑧 → ((𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵) ↔ (-𝑧 ∥ 𝐴 ∧ -𝑧 ∥ 𝐵)))
14	10, 13	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = -𝑧 → ((𝑤 ∥ 𝑑 → (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)) ↔ (-𝑧 ∥ 𝑑 → (-𝑧 ∥ 𝐴 ∧ -𝑧 ∥ 𝐵))))
15		breq1 4003	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 𝑤 ∥ 𝑑))
16		breq1 4003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝐴 ↔ 𝑤 ∥ 𝐴))
17		breq1 4003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝐵 ↔ 𝑤 ∥ 𝐵))
18	16, 17	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
19	15, 18	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑤 ∥ 𝑑 → (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵))))
20	19	cbvralv 2703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℕ0 (𝑤 ∥ 𝑑 → (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
21	20	biimpi 120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → ∀𝑤 ∈ ℕ0 (𝑤 ∥ 𝑑 → (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
22	21	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → ∀𝑤 ∈ ℕ0 (𝑤 ∥ 𝑑 → (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
23		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → -𝑧 ∈ ℕ0)
24	14, 22, 23	rspcdva 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (-𝑧 ∥ 𝑑 → (-𝑧 ∥ 𝐴 ∧ -𝑧 ∥ 𝐵)))
25	24	adantlll 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (-𝑧 ∥ 𝑑 → (-𝑧 ∥ 𝐴 ∧ -𝑧 ∥ 𝐵)))
26		simplr 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ∈ ℤ)
27		simpllr 534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑑 ∈ ℕ0)
28	27	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑑 ∈ ℕ0)
29	28	nn0zd 9362	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑑 ∈ ℤ)
30		negdvdsb 11798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ -𝑧 ∥ 𝑑))
31	26, 29, 30	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ -𝑧 ∥ 𝑑))
32		simplll 533	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℕ0)
33	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ0)
34	33	nn0zd 9362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
35		negdvdsb 11798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝐴 ↔ -𝑧 ∥ 𝐴))
36	26, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∥ 𝐴 ↔ -𝑧 ∥ 𝐴))
37		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℕ0)
38	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
39	38	nn0zd 9362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
40		negdvdsb 11798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝐵 ↔ -𝑧 ∥ 𝐵))
41	26, 39, 40	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∥ 𝐵 ↔ -𝑧 ∥ 𝐵))
42	36, 41	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) ↔ (-𝑧 ∥ 𝐴 ∧ -𝑧 ∥ 𝐵)))
43	25, 31, 42	3imtr4d 203	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ -𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
44		elznn0 9257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℕ0 ∨ -𝑧 ∈ ℕ0)))
45	44	simprbi 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 ∈ ℕ0 ∨ -𝑧 ∈ ℕ0))
46	45	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ ℕ0 ∨ -𝑧 ∈ ℕ0))
47	9, 43, 46	mpjaodan 798	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
48	47	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
49	4, 48	ralrimi 2548	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
50	49	ex 115	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
51	50	anim1d 336	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
52	51	reximdva 2579	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
53	1, 52	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869  ℝcr 7801   + caddc 7805   · cmul 7807  -cneg 8119  ℕ₀cn0 9165  ℤcz 9242   ∥ cdvds 11778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-dvds 11779

This theorem is referenced by:  bezoutlemaz  11987