Theorem bitsp1o 12135

Description: The M + 1-th bit of 2 N + 1 is the M-th bit of N. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsp1o	|- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( M + 1 ) e. (bits ` ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) <-> M e. (bits ` N ) ) )

Proof of Theorem bitsp1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9371	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
2	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> 2 e. ZZ )
3		id 19	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. ZZ )
4	2, 3	zmulcld 9471	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
5	4	peano2zd 9468	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. ZZ )
6		bitsp1 12133	. . 3 |- ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( M + 1 ) e. (bits ` ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) <-> M e. (bits ` ( |_ ` ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) ) ) ) )
7	5, 6	sylan 283	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( M + 1 ) e. (bits ` ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) <-> M e. (bits ` ( |_ ` ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) ) ) ) )
8		2re 9077	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
9	8	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> 2 e. RR )
10		zre 9347	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
11	9, 10	remulcld 8074	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. N ) e. RR )
12	11	recnd 8072	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. N ) e. CC )
13		1cnd 8059	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> 1 e. CC )
14		2cnd 9080	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> 2 e. CC )
15		2ap0 9100	. . . . . . . . . 10 |- 2 # 0
16	15	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> 2 # 0 )
17	12, 13, 14, 16	divdirapd 8873	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) = ( ( ( 2 x. N ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
18		zcn 9348	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
19	18, 14, 16	divcanap3d 8839	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 x. N ) / 2 ) = N )
20	19	oveq1d 5940	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( 2 x. N ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = ( N + ( 1 / 2 ) ) )
21	17, 20	eqtrd 2229	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) = ( N + ( 1 / 2 ) ) )
22	21	fveq2d 5565	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( |_ ` ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) ) = ( |_ ` ( N + ( 1 / 2 ) ) ) )
23		halfge0 9224	. . . . . . . 8 |- 0 <_ ( 1 / 2 )
24		halflt1 9225	. . . . . . . 8 |- ( 1 / 2 ) < 1
25	23, 24	pm3.2i 272	. . . . . . 7 |- ( 0 <_ ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) < 1 )
26		1z 9369	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
27		2nn 9169	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
28		znq 9715	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( 1 / 2 ) e. QQ )
29	26, 27, 28	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- ( 1 / 2 ) e. QQ
30		flqbi2 10398	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ ( 1 / 2 ) e. QQ ) -> ( ( |_ ` ( N + ( 1 / 2 ) ) ) = N <-> ( 0 <_ ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) < 1 ) ) )
31	29, 30	mpan2 425	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( ( |_ ` ( N + ( 1 / 2 ) ) ) = N <-> ( 0 <_ ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) < 1 ) ) )
32	25, 31	mpbiri 168	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( |_ ` ( N + ( 1 / 2 ) ) ) = N )
33	22, 32	eqtrd 2229	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( |_ ` ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) ) = N )
34	33	adantr 276	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) ) = N )
35	34	fveq2d 5565	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> (bits ` ( |_ ` ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) ) ) = (bits ` N ) )
36	35	eleq2d 2266	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` ( |_ ` ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) ) ) <-> M e. (bits ` N ) ) )
37	7, 36	bitrd 188	1 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( M + 1 ) e. (bits ` ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) <-> M e. (bits ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   RRcr 7895   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   x. cmul 7901   < clt 8078   <_ cle 8079   # cap 8625   / cdiv 8716   NNcn 9007   2c2 9058   NN0cn0 9266   ZZcz 9343   QQcq 9710   |_cfl 10375  bitscbits 12122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fl 10377  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-bits 12123

This theorem is referenced by: (None)