Theorem bitsp1o 12472

Description: The M + 1-th bit of 2 N + 1 is the M-th bit of N. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsp1o	|- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( M + 1 ) e. (bits ` ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) <-> M e. (bits ` N ) ) )

Proof of Theorem bitsp1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9482	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
2	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> 2 e. ZZ )
3		id 19	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. ZZ )
4	2, 3	zmulcld 9583	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
5	4	peano2zd 9580	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. ZZ )
6		bitsp1 12470	. . 3 |- ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( M + 1 ) e. (bits ` ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) <-> M e. (bits ` ( |_ ` ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) ) ) ) )
7	5, 6	sylan 283	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( M + 1 ) e. (bits ` ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) <-> M e. (bits ` ( |_ ` ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) ) ) ) )
8		2re 9188	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
9	8	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> 2 e. RR )
10		zre 9458	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
11	9, 10	remulcld 8185	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. N ) e. RR )
12	11	recnd 8183	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. N ) e. CC )
13		1cnd 8170	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> 1 e. CC )
14		2cnd 9191	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> 2 e. CC )
15		2ap0 9211	. . . . . . . . . 10 |- 2 # 0
16	15	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> 2 # 0 )
17	12, 13, 14, 16	divdirapd 8984	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) = ( ( ( 2 x. N ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
18		zcn 9459	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
19	18, 14, 16	divcanap3d 8950	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 x. N ) / 2 ) = N )
20	19	oveq1d 6022	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( 2 x. N ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = ( N + ( 1 / 2 ) ) )
21	17, 20	eqtrd 2262	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) = ( N + ( 1 / 2 ) ) )
22	21	fveq2d 5633	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( |_ ` ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) ) = ( |_ ` ( N + ( 1 / 2 ) ) ) )
23		halfge0 9335	. . . . . . . 8 |- 0 <_ ( 1 / 2 )
24		halflt1 9336	. . . . . . . 8 |- ( 1 / 2 ) < 1
25	23, 24	pm3.2i 272	. . . . . . 7 |- ( 0 <_ ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) < 1 )
26		1z 9480	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
27		2nn 9280	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
28		znq 9827	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( 1 / 2 ) e. QQ )
29	26, 27, 28	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- ( 1 / 2 ) e. QQ
30		flqbi2 10519	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ ( 1 / 2 ) e. QQ ) -> ( ( |_ ` ( N + ( 1 / 2 ) ) ) = N <-> ( 0 <_ ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) < 1 ) ) )
31	29, 30	mpan2 425	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( ( |_ ` ( N + ( 1 / 2 ) ) ) = N <-> ( 0 <_ ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) < 1 ) ) )
32	25, 31	mpbiri 168	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( |_ ` ( N + ( 1 / 2 ) ) ) = N )
33	22, 32	eqtrd 2262	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( |_ ` ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) ) = N )
34	33	adantr 276	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) ) = N )
35	34	fveq2d 5633	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> (bits ` ( |_ ` ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) ) ) = (bits ` N ) )
36	35	eleq2d 2299	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` ( |_ ` ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) ) ) <-> M e. (bits ` N ) ) )
37	7, 36	bitrd 188	1 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( M + 1 ) e. (bits ` ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) <-> M e. (bits ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   RRcr 8006   0cc0 8007   1c1 8008   + caddc 8010   x. cmul 8012   < clt 8189   <_ cle 8190   # cap 8736   / cdiv 8827   NNcn 9118   2c2 9169   NN0cn0 9377   ZZcz 9454   QQcq 9822   |_cfl 10496  bitscbits 12459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-q 9823  df-rp 9858  df-fl 10498  df-seqfrec 10678  df-exp 10769  df-bits 12460

This theorem is referenced by: (None)