ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caovord2d GIF version

Theorem caovord2d 6041
Description: Operation ordering law with commuted arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caovordg.1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝑧𝐹𝑥)𝑅(𝑧𝐹𝑦)))
caovordd.2 (𝜑𝐴𝑆)
caovordd.3 (𝜑𝐵𝑆)
caovordd.4 (𝜑𝐶𝑆)
caovord2d.com ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) = (𝑦𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
caovord2d (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ (𝐴𝐹𝐶)𝑅(𝐵𝐹𝐶)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧

Proof of Theorem caovord2d
StepHypRef Expression
1 caovordg.1 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝑧𝐹𝑥)𝑅(𝑧𝐹𝑦)))
2 caovordd.2 . . 3 (𝜑𝐴𝑆)
3 caovordd.3 . . 3 (𝜑𝐵𝑆)
4 caovordd.4 . . 3 (𝜑𝐶𝑆)
51, 2, 3, 4caovordd 6040 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ (𝐶𝐹𝐴)𝑅(𝐶𝐹𝐵)))
6 caovord2d.com . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) = (𝑦𝐹𝑥))
76, 4, 2caovcomd 6028 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝐹𝐴) = (𝐴𝐹𝐶))
86, 4, 3caovcomd 6028 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝐹𝐵) = (𝐵𝐹𝐶))
97, 8breq12d 4015 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐹𝐴)𝑅(𝐶𝐹𝐵) ↔ (𝐴𝐹𝐶)𝑅(𝐵𝐹𝐶)))
105, 9bitrd 188 1 (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ (𝐴𝐹𝐶)𝑅(𝐵𝐹𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4002  (class class class)co 5872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-iota 5177  df-fv 5223  df-ov 5875
This theorem is referenced by:  caovord3d  6042  genplt2i  7506  addnqprllem  7523  addnqprulem  7524  mulnqprl  7564  mulnqpru  7565  distrlem4prl  7580  distrlem4pru  7581  1idprl  7586  1idpru  7587  ltexprlemdisj  7602  ltexprlemloc  7603  ltexprlemfl  7605  ltexprlemfu  7607  prplnqu  7616  recexprlem1ssl  7629  recexprlem1ssu  7630  aptiprleml  7635  aptiprlemu  7636  caucvgprlemcanl  7640  cauappcvgprlemlol  7643  cauappcvgprlemloc  7648  cauappcvgprlemladdfu  7650  cauappcvgprlemladdru  7652  cauappcvgprlemladdrl  7653  cauappcvgprlem1  7655  caucvgprlemnkj  7662  caucvgprlemnbj  7663  caucvgprlemlol  7666  caucvgprlemloc  7671  caucvgprlemladdfu  7673  caucvgprlemladdrl  7674  caucvgprprlemnkltj  7685  caucvgprprlemnbj  7689  caucvgprprlemmu  7691  caucvgprprlemlol  7694  caucvgprprlemloc  7699  caucvgprprlemexbt  7702  caucvgprprlemexb  7703  caucvgprprlemaddq  7704  lttrsr  7758  ltsosr  7760  prsrlt  7783  caucvgsrlemoffcau  7794  caucvgsrlemoffgt1  7795  caucvgsrlemoffres  7796  caucvgsr  7798
  Copyright terms: Public domain W3C validator