ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caovord2d GIF version

Theorem caovord2d 5908
Description: Operation ordering law with commuted arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caovordg.1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝑧𝐹𝑥)𝑅(𝑧𝐹𝑦)))
caovordd.2 (𝜑𝐴𝑆)
caovordd.3 (𝜑𝐵𝑆)
caovordd.4 (𝜑𝐶𝑆)
caovord2d.com ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) = (𝑦𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
caovord2d (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ (𝐴𝐹𝐶)𝑅(𝐵𝐹𝐶)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧

Proof of Theorem caovord2d
StepHypRef Expression
1 caovordg.1 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝑧𝐹𝑥)𝑅(𝑧𝐹𝑦)))
2 caovordd.2 . . 3 (𝜑𝐴𝑆)
3 caovordd.3 . . 3 (𝜑𝐵𝑆)
4 caovordd.4 . . 3 (𝜑𝐶𝑆)
51, 2, 3, 4caovordd 5907 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ (𝐶𝐹𝐴)𝑅(𝐶𝐹𝐵)))
6 caovord2d.com . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) = (𝑦𝐹𝑥))
76, 4, 2caovcomd 5895 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝐹𝐴) = (𝐴𝐹𝐶))
86, 4, 3caovcomd 5895 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝐹𝐵) = (𝐵𝐹𝐶))
97, 8breq12d 3912 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐹𝐴)𝑅(𝐶𝐹𝐵) ↔ (𝐴𝐹𝐶)𝑅(𝐵𝐹𝐶)))
105, 9bitrd 187 1 (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ (𝐴𝐹𝐶)𝑅(𝐵𝐹𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 947   = wceq 1316  wcel 1465   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-un 3045  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-iota 5058  df-fv 5101  df-ov 5745
This theorem is referenced by:  caovord3d  5909  genplt2i  7286  addnqprllem  7303  addnqprulem  7304  mulnqprl  7344  mulnqpru  7345  distrlem4prl  7360  distrlem4pru  7361  1idprl  7366  1idpru  7367  ltexprlemdisj  7382  ltexprlemloc  7383  ltexprlemfl  7385  ltexprlemfu  7387  prplnqu  7396  recexprlem1ssl  7409  recexprlem1ssu  7410  aptiprleml  7415  aptiprlemu  7416  caucvgprlemcanl  7420  cauappcvgprlemlol  7423  cauappcvgprlemloc  7428  cauappcvgprlemladdfu  7430  cauappcvgprlemladdru  7432  cauappcvgprlemladdrl  7433  cauappcvgprlem1  7435  caucvgprlemnkj  7442  caucvgprlemnbj  7443  caucvgprlemlol  7446  caucvgprlemloc  7451  caucvgprlemladdfu  7453  caucvgprlemladdrl  7454  caucvgprprlemnkltj  7465  caucvgprprlemnbj  7469  caucvgprprlemmu  7471  caucvgprprlemlol  7474  caucvgprprlemloc  7479  caucvgprprlemexbt  7482  caucvgprprlemexb  7483  caucvgprprlemaddq  7484  lttrsr  7538  ltsosr  7540  prsrlt  7563  caucvgsrlemoffcau  7574  caucvgsrlemoffgt1  7575  caucvgsrlemoffres  7576  caucvgsr  7578
  Copyright terms: Public domain W3C validator