Theorem caovord2d 6249

Description: Operation ordering law with commuted arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caovordg.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝑧𝐹𝑥)𝑅(𝑧𝐹𝑦)))
caovordd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
caovordd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
caovordd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
caovord2d.com	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) = (𝑦𝐹𝑥))

Assertion

Ref	Expression
caovord2d	⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ (𝐴𝐹𝐶)𝑅(𝐵𝐹𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧

Proof of Theorem caovord2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caovordg.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝑧𝐹𝑥)𝑅(𝑧𝐹𝑦)))
2		caovordd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
3		caovordd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
4		caovordd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
5	1, 2, 3, 4	caovordd 6248	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ (𝐶𝐹𝐴)𝑅(𝐶𝐹𝐵)))
6		caovord2d.com	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) = (𝑦𝐹𝑥))
7	6, 4, 2	caovcomd 6236	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶𝐹𝐴) = (𝐴𝐹𝐶))
8	6, 4, 3	caovcomd 6236	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶𝐹𝐵) = (𝐵𝐹𝐶))
9	7, 8	breq12d 4138	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶𝐹𝐴)𝑅(𝐶𝐹𝐵) ↔ (𝐴𝐹𝐶)𝑅(𝐵𝐹𝐶)))
10	5, 9	bitrd 188	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ (𝐴𝐹𝐶)𝑅(𝐵𝐹𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-iota 5332  df-fv 5380  df-ov 6078

This theorem is referenced by:  caovord3d  6250  genplt2i  7867  addnqprllem  7884  addnqprulem  7885  mulnqprl  7925  mulnqpru  7926  distrlem4prl  7941  distrlem4pru  7942  1idprl  7947  1idpru  7948  ltexprlemdisj  7963  ltexprlemloc  7964  ltexprlemfl  7966  ltexprlemfu  7968  prplnqu  7977  recexprlem1ssl  7990  recexprlem1ssu  7991  aptiprleml  7996  aptiprlemu  7997  caucvgprlemcanl  8001  cauappcvgprlemlol  8004  cauappcvgprlemloc  8009  cauappcvgprlemladdfu  8011  cauappcvgprlemladdru  8013  cauappcvgprlemladdrl  8014  cauappcvgprlem1  8016  caucvgprlemnkj  8023  caucvgprlemnbj  8024  caucvgprlemlol  8027  caucvgprlemloc  8032  caucvgprlemladdfu  8034  caucvgprlemladdrl  8035  caucvgprprlemnkltj  8046  caucvgprprlemnbj  8050  caucvgprprlemmu  8052  caucvgprprlemlol  8055  caucvgprprlemloc  8060  caucvgprprlemexbt  8063  caucvgprprlemexb  8064  caucvgprprlemaddq  8065  lttrsr  8119  ltsosr  8121  prsrlt  8144  caucvgsrlemoffcau  8155  caucvgsrlemoffgt1  8156  caucvgsrlemoffres  8157  caucvgsr  8159