Theorem caovord2d 6259

Description: Operation ordering law with commuted arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caovordg.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝑧𝐹𝑥)𝑅(𝑧𝐹𝑦)))
caovordd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
caovordd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
caovordd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
caovord2d.com	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) = (𝑦𝐹𝑥))

Assertion

Ref	Expression
caovord2d	⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ (𝐴𝐹𝐶)𝑅(𝐵𝐹𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧

Proof of Theorem caovord2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caovordg.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝑧𝐹𝑥)𝑅(𝑧𝐹𝑦)))
2		caovordd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
3		caovordd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
4		caovordd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
5	1, 2, 3, 4	caovordd 6258	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ (𝐶𝐹𝐴)𝑅(𝐶𝐹𝐵)))
6		caovord2d.com	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) = (𝑦𝐹𝑥))
7	6, 4, 2	caovcomd 6246	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶𝐹𝐴) = (𝐴𝐹𝐶))
8	6, 4, 3	caovcomd 6246	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶𝐹𝐵) = (𝐵𝐹𝐶))
9	7, 8	breq12d 4143	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶𝐹𝐴)𝑅(𝐶𝐹𝐵) ↔ (𝐴𝐹𝐶)𝑅(𝐵𝐹𝐶)))
10	5, 9	bitrd 188	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ (𝐴𝐹𝐶)𝑅(𝐵𝐹𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088

This theorem is used by:  caovord3d  6260  genplt2i  7877  addnqprllem  7894  addnqprulem  7895  mulnqprl  7935  mulnqpru  7936  distrlem4prl  7951  distrlem4pru  7952  1idprl  7957  1idpru  7958  ltexprlemdisj  7973  ltexprlemloc  7974  ltexprlemfl  7976  ltexprlemfu  7978  prplnqu  7987  recexprlem1ssl  8000  recexprlem1ssu  8001  aptiprleml  8006  aptiprlemu  8007  caucvgprlemcanl  8011  cauappcvgprlemlol  8014  cauappcvgprlemloc  8019  cauappcvgprlemladdfu  8021  cauappcvgprlemladdru  8023  cauappcvgprlemladdrl  8024  cauappcvgprlem1  8026  caucvgprlemnkj  8033  caucvgprlemnbj  8034  caucvgprlemlol  8037  caucvgprlemloc  8042  caucvgprlemladdfu  8044  caucvgprlemladdrl  8045  caucvgprprlemnkltj  8056  caucvgprprlemnbj  8060  caucvgprprlemmu  8062  caucvgprprlemlol  8065  caucvgprprlemloc  8070  caucvgprprlemexbt  8073  caucvgprprlemexb  8074  caucvgprprlemaddq  8075  lttrsr  8129  ltsosr  8131  prsrlt  8154  caucvgsrlemoffcau  8165  caucvgsrlemoffgt1  8166  caucvgsrlemoffres  8167  caucvgsr  8169