cauappcvgprlemloc - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem cauappcvgprlemloc 7915

Description: Lemma for cauappcvgpr 7925. The putative limit is located. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cauappcvgpr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:Q⟶Q)
cauappcvgpr.app	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q 𝐴 <_Q (𝐹‘𝑝))
cauappcvgpr.lim	⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩

**Assertion**
Ref	Expression
cauappcvgprlemloc	⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑠 <_Q 𝑟 → (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2^nd ‘𝐿))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑝 𝐿,𝑝,𝑞 𝜑,𝑝,𝑞 𝐿,𝑟,𝑠 𝐴,𝑠,𝑝 𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠 𝜑,𝑟,𝑠 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑢,𝑙) 𝐴(𝑢,𝑟,𝑞,𝑙) 𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemloc Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltexnqi 7672	. . . . 5 ⊢ (𝑠 <_Q 𝑟 → ∃𝑦 ∈ Q (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)
2	1	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) → ∃𝑦 ∈ Q (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)
3		subhalfnqq 7677	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Q → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)
4	3	ad2antrl 490	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)
5		simprr 533	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) → (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)
6		simplrl 537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) → 𝑠 ∈ Q)
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) → 𝑠 ∈ Q)
8	7	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) → 𝑠 ∈ Q)
9		ltanqi 7665	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦 ∧ 𝑠 ∈ Q) → (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q (𝑠 +_Q 𝑦))
10	5, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) → (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q (𝑠 +_Q 𝑦))
11		simplrr 538	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) → (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)
12	10, 11	breqtrd 4119	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) → (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q 𝑟)
13		simprl 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) → 𝑥 ∈ Q)
14		addclnq 7638	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → (𝑥 +_Q 𝑥) ∈ Q)
15	13, 13, 14	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) → (𝑥 +_Q 𝑥) ∈ Q)
16		addclnq 7638	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) ∈ Q) → (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) ∈ Q)
17	8, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) → (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) ∈ Q)
18		simplrr 538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) → 𝑟 ∈ Q)
19	18	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) → 𝑟 ∈ Q)
20	19	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) → 𝑟 ∈ Q)
21		cauappcvgpr.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:Q⟶Q)
22	21	ad4antr 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) → 𝐹:Q⟶Q)
23	22, 13	ffvelcdmd 5791	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) ∈ Q)
24		addclnq 7638	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) ∈ Q)
25	23, 13, 24	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) → ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) ∈ Q)
26		ltsonq 7661	. . . . . . . . 9 ⊢ <_Q Or Q
27		sowlin 4423	. . . . . . . . 9 ⊢ (( <_Q Or Q ∧ ((𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) ∈ Q)) → ((𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q 𝑟 → ((𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) ∨ ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) <_Q 𝑟)))
28	26, 27	mpan 424	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) ∈ Q) → ((𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q 𝑟 → ((𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) ∨ ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) <_Q 𝑟)))
29	17, 20, 25, 28	syl3anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) → ((𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q 𝑟 → ((𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) ∨ ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) <_Q 𝑟)))
30	12, 29	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) → ((𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) ∨ ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) <_Q 𝑟))
31	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥)) → 𝑠 ∈ Q)
32		simplrl 537	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥)) → 𝑥 ∈ Q)
33		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥)) → (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥))
34		addassnqg 7645	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → ((𝑠 +_Q 𝑥) +_Q 𝑥) = (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)))
35	31, 32, 32, 34	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥)) → ((𝑠 +_Q 𝑥) +_Q 𝑥) = (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)))
36	35	breq1d 4103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥)) → (((𝑠 +_Q 𝑥) +_Q 𝑥) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) ↔ (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥)))
37	33, 36	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥)) → ((𝑠 +_Q 𝑥) +_Q 𝑥) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥))
38		ltanqg 7663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q) → (𝑓 <_Q 𝑔 ↔ (ℎ +_Q 𝑓) <_Q (ℎ +_Q 𝑔)))
39	38	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q)) → (𝑓 <_Q 𝑔 ↔ (ℎ +_Q 𝑓) <_Q (ℎ +_Q 𝑔)))
40		addclnq 7638	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → (𝑠 +_Q 𝑥) ∈ Q)
41	31, 32, 40	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥)) → (𝑠 +_Q 𝑥) ∈ Q)
42	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥)) → (𝐹‘𝑥) ∈ Q)
43		addcomnqg 7644	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q) → (𝑓 +_Q 𝑔) = (𝑔 +_Q 𝑓))
44	43	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q)) → (𝑓 +_Q 𝑔) = (𝑔 +_Q 𝑓))
45	39, 41, 42, 32, 44	caovord2d 6202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥)) → ((𝑠 +_Q 𝑥) <_Q (𝐹‘𝑥) ↔ ((𝑠 +_Q 𝑥) +_Q 𝑥) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥)))
46	37, 45	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥)) → (𝑠 +_Q 𝑥) <_Q (𝐹‘𝑥))
47		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → (𝑠 +_Q 𝑞) = (𝑠 +_Q 𝑥))
48		fveq2 5648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑥))
49	47, 48	breq12d 4106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → ((𝑠 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞) ↔ (𝑠 +_Q 𝑥) <_Q (𝐹‘𝑥)))
50	49	rspcev 2911	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑥) <_Q (𝐹‘𝑥)) → ∃𝑞 ∈ Q (𝑠 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞))
51	32, 46, 50	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥)) → ∃𝑞 ∈ Q (𝑠 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞))
52		oveq1 6035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑙 = 𝑠 → (𝑙 +_Q 𝑞) = (𝑠 +_Q 𝑞))
53	52	breq1d 4103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = 𝑠 → ((𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞) ↔ (𝑠 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)))
54	53	rexbidv 2534	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = 𝑠 → (∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑠 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)))
55		cauappcvgpr.lim	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩
56	55	fveq2i 5651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1^st ‘𝐿) = (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)
57		nqex 7626	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Q ∈ V
58	57	rabex 4239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)} ∈ V
59	57	rabex 4239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢} ∈ V
60	58, 59	op1st 6318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}
61	56, 60	eqtri 2252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1^st ‘𝐿) = {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}
62	54, 61	elrab2 2966	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ↔ (𝑠 ∈ Q ∧ ∃𝑞 ∈ Q (𝑠 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)))
63	31, 51, 62	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥)) → 𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿))
64	63	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) → ((𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) → 𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿)))
65	20	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) ∧ ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) <_Q 𝑟) → 𝑟 ∈ Q)
66		id 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → 𝑞 = 𝑥)
67	48, 66	oveq12d 6046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) = ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥))
68	67	breq1d 4103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑟 ↔ ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) <_Q 𝑟))
69	68	rspcev 2911	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) <_Q 𝑟) → ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑟)
70	13, 69	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) ∧ ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) <_Q 𝑟) → ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑟)
71		breq2 4097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑟 → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢 ↔ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑟))
72	71	rexbidv 2534	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑟 → (∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑟))
73	55	fveq2i 5651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2^nd ‘𝐿) = (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)
74	58, 59	op2nd 6319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}
75	73, 74	eqtri 2252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2^nd ‘𝐿) = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}
76	72, 75	elrab2 2966	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ (2^nd ‘𝐿) ↔ (𝑟 ∈ Q ∧ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑟))
77	65, 70, 76	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) ∧ ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) <_Q 𝑟) → 𝑟 ∈ (2^nd ‘𝐿))
78	77	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) → (((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) <_Q 𝑟 → 𝑟 ∈ (2^nd ‘𝐿)))
79	64, 78	orim12d 794	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) → (((𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) ∨ ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) <_Q 𝑟) → (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2^nd ‘𝐿))))
80	30, 79	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) → (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2^nd ‘𝐿)))
81	4, 80	rexlimddv 2656	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) → (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2^nd ‘𝐿)))
82	2, 81	rexlimddv 2656	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) → (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2^nd ‘𝐿)))
83	82	ex 115	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) → (𝑠 <_Q 𝑟 → (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2^nd ‘𝐿))))
84	83	ralrimivva 2615	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑠 <_Q 𝑟 → (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2^nd ‘𝐿))))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 716 ∧ w3a 1005 = wceq 1398 ∈ wcel 2202 ∀wral 2511 ∃wrex 2512 {crab 2515 ⟨cop 3676 class class class wbr 4093 Or wor 4398 ⟶wf 5329 ‘cfv 5333 (class class class)co 6028 1^st c1st 6310 2^nd c2nd 6311 Qcnq 7543 +_Q cplq 7545 <_Q cltq 7548

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4209 ax-sep 4212 ax-nul 4220 ax-pow 4270 ax-pr 4305 ax-un 4536 ax-setind 4641 ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2364 df-ne 2404 df-ral 2516 df-rex 2517 df-reu 2518 df-rab 2520 df-v 2805 df-sbc 3033 df-csb 3129 df-dif 3203 df-un 3205 df-in 3207 df-ss 3214 df-nul 3497 df-pw 3658 df-sn 3679 df-pr 3680 df-op 3682 df-uni 3899 df-int 3934 df-iun 3977 df-br 4094 df-opab 4156 df-mpt 4157 df-tr 4193 df-eprel 4392 df-id 4396 df-po 4399 df-iso 4400 df-iord 4469 df-on 4471 df-suc 4474 df-iom 4695 df-xp 4737 df-rel 4738 df-cnv 4739 df-co 4740 df-dm 4741 df-rn 4742 df-res 4743 df-ima 4744 df-iota 5293 df-fun 5335 df-fn 5336 df-f 5337 df-f1 5338 df-fo 5339 df-f1o 5340 df-fv 5341 df-ov 6031 df-oprab 6032 df-mpo 6033 df-1st 6312 df-2nd 6313 df-recs 6514 df-irdg 6579 df-1o 6625 df-oadd 6629 df-omul 6630 df-er 6745 df-ec 6747 df-qs 6751 df-ni 7567 df-pli 7568 df-mi 7569 df-lti 7570 df-plpq 7607 df-mpq 7608 df-enq 7610 df-nqqs 7611 df-plqqs 7612 df-mqqs 7613 df-1nqqs 7614 df-rq 7615 df-ltnqqs 7616

This theorem is referenced by: cauappcvgprlemcl 7916

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