cauappcvgprlemloc - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem cauappcvgprlemloc 8025

Description: Lemma for cauappcvgpr 8035. The putative limit is located. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cauappcvgpr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:Q⟶Q)
cauappcvgpr.app	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q 𝐴 <_Q (𝐹‘𝑝))
cauappcvgpr.lim	⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩

**Assertion**
Ref	Expression
cauappcvgprlemloc	⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑠 <_Q 𝑟 → (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2^nd ‘𝐿))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑝 𝐿,𝑝,𝑞 𝜑,𝑝,𝑞 𝐿,𝑟,𝑠 𝐴,𝑠,𝑝 𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠 𝜑,𝑟,𝑠 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑢, 𝑙) 𝐴(𝑢, 𝑟, 𝑞, 𝑙) 𝐿(𝑢, 𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemloc Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltexnqi 7782	. . . . 5 ⊢ (𝑠 <_Q 𝑟 → ∃𝑦 ∈ Q (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)
2	1	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) → ∃𝑦 ∈ Q (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)
3		subhalfnqq 7787	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Q → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)
4	3	ad2antrl 494	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)
5		simprr 537	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) → (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)
6		simplrl 541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) → 𝑠 ∈ Q)
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) → 𝑠 ∈ Q)
8	7	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) → 𝑠 ∈ Q)
9		ltanqi 7775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦 ∧ 𝑠 ∈ Q) → (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q (𝑠 +_Q 𝑦))
10	5, 8, 9	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) → (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q (𝑠 +_Q 𝑦))
11		simplrr 542	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) → (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)
12	10, 11	breqtrd 4157	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) → (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q 𝑟)
13		simprl 535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) → 𝑥 ∈ Q)
14		addclnq 7748	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → (𝑥 +_Q 𝑥) ∈ Q)
15	13, 13, 14	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) → (𝑥 +_Q 𝑥) ∈ Q)
16		addclnq 7748	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) ∈ Q) → (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) ∈ Q)
17	8, 15, 16	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) → (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) ∈ Q)
18		simplrr 542	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) → 𝑟 ∈ Q)
19	18	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) → 𝑟 ∈ Q)
20	19	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) → 𝑟 ∈ Q)
21		cauappcvgpr.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:Q⟶Q)
22	21	ad4antr 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) → 𝐹:Q⟶Q)
23	22, 13	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) ∈ Q)
24		addclnq 7748	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) ∈ Q)
25	23, 13, 24	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) → ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) ∈ Q)
26		ltsonq 7771	. . . . . . . . 9 ⊢ <_Q Or Q
27		sowlin 4467	. . . . . . . . 9 ⊢ (( <_Q Or Q ∧ ((𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) ∈ Q)) → ((𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q 𝑟 → ((𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) ∨ ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) <_Q 𝑟)))
28	26, 27	mpan 428	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) ∈ Q) → ((𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q 𝑟 → ((𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) ∨ ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) <_Q 𝑟)))
29	17, 20, 25, 28	syl3anc 1278	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) → ((𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q 𝑟 → ((𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) ∨ ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) <_Q 𝑟)))
30	12, 29	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) → ((𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) ∨ ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) <_Q 𝑟))
31	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥)) → 𝑠 ∈ Q)
32		simplrl 541	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥)) → 𝑥 ∈ Q)
33		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥)) → (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥))
34		addassnqg 7755	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → ((𝑠 +_Q 𝑥) +_Q 𝑥) = (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)))
35	31, 32, 32, 34	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥)) → ((𝑠 +_Q 𝑥) +_Q 𝑥) = (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)))
36	35	breq1d 4141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥)) → (((𝑠 +_Q 𝑥) +_Q 𝑥) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) ↔ (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥)))
37	33, 36	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥)) → ((𝑠 +_Q 𝑥) +_Q 𝑥) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥))
38		ltanqg 7773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q) → (𝑓 <_Q 𝑔 ↔ (ℎ +_Q 𝑓) <_Q (ℎ +_Q 𝑔)))
39	38	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q)) → (𝑓 <_Q 𝑔 ↔ (ℎ +_Q 𝑓) <_Q (ℎ +_Q 𝑔)))
40		addclnq 7748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → (𝑠 +_Q 𝑥) ∈ Q)
41	31, 32, 40	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥)) → (𝑠 +_Q 𝑥) ∈ Q)
42	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥)) → (𝐹‘𝑥) ∈ Q)
43		addcomnqg 7754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q) → (𝑓 +_Q 𝑔) = (𝑔 +_Q 𝑓))
44	43	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥)) ∧ (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q)) → (𝑓 +_Q 𝑔) = (𝑔 +_Q 𝑓))
45	39, 41, 42, 32, 44	caovord2d 6262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥)) → ((𝑠 +_Q 𝑥) <_Q (𝐹‘𝑥) ↔ ((𝑠 +_Q 𝑥) +_Q 𝑥) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥)))
46	37, 45	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥)) → (𝑠 +_Q 𝑥) <_Q (𝐹‘𝑥))
47		oveq2 6096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → (𝑠 +_Q 𝑞) = (𝑠 +_Q 𝑥))
48		fveq2 5698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑥))
49	47, 48	breq12d 4144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → ((𝑠 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞) ↔ (𝑠 +_Q 𝑥) <_Q (𝐹‘𝑥)))
50	49	rspcev 2929	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑥) <_Q (𝐹‘𝑥)) → ∃𝑞 ∈ Q (𝑠 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞))
51	32, 46, 50	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥)) → ∃𝑞 ∈ Q (𝑠 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞))
52		oveq1 6095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑙 = 𝑠 → (𝑙 +_Q 𝑞) = (𝑠 +_Q 𝑞))
53	52	breq1d 4141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = 𝑠 → ((𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞) ↔ (𝑠 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)))
54	53	rexbidv 2551	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = 𝑠 → (∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑠 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)))
55		cauappcvgpr.lim	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩
56	55	fveq2i 5701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1^st ‘𝐿) = (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)
57		nqex 7736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Q ∈ V
58	57	rabex 4282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)} ∈ V
59	57	rabex 4282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢} ∈ V
60	58, 59	op1st 6384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}
61	56, 60	eqtri 2259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1^st ‘𝐿) = {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}
62	54, 61	elrab2 2985	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ↔ (𝑠 ∈ Q ∧ ∃𝑞 ∈ Q (𝑠 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)))
63	31, 51, 62	sylanbrc 421	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥)) → 𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿))
64	63	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) → ((𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) → 𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿)))
65	20	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) ∧ ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) <_Q 𝑟) → 𝑟 ∈ Q)
66		id 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → 𝑞 = 𝑥)
67	48, 66	oveq12d 6106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) = ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥))
68	67	breq1d 4141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑟 ↔ ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) <_Q 𝑟))
69	68	rspcev 2929	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) <_Q 𝑟) → ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑟)
70	13, 69	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) ∧ ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) <_Q 𝑟) → ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑟)
71		breq2 4135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑟 → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢 ↔ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑟))
72	71	rexbidv 2551	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑟 → (∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑟))
73	55	fveq2i 5701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2^nd ‘𝐿) = (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)
74	58, 59	op2nd 6385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}
75	73, 74	eqtri 2259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2^nd ‘𝐿) = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}
76	72, 75	elrab2 2985	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ (2^nd ‘𝐿) ↔ (𝑟 ∈ Q ∧ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑟))
77	65, 70, 76	sylanbrc 421	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) ∧ ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) <_Q 𝑟) → 𝑟 ∈ (2^nd ‘𝐿))
78	77	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) → (((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) <_Q 𝑟 → 𝑟 ∈ (2^nd ‘𝐿)))
79	64, 78	orim12d 798	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) → (((𝑠 +_Q (𝑥 +_Q 𝑥)) <_Q ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) ∨ ((𝐹‘𝑥) +_Q 𝑥) <_Q 𝑟) → (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2^nd ‘𝐿))))
80	30, 79	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 +_Q 𝑥) <_Q 𝑦)) → (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2^nd ‘𝐿)))
81	4, 80	rexlimddv 2673	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ (𝑠 +_Q 𝑦) = 𝑟)) → (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2^nd ‘𝐿)))
82	2, 81	rexlimddv 2673	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) ∧ 𝑠 <_Q 𝑟) → (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2^nd ‘𝐿)))
83	82	ex 115	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q)) → (𝑠 <_Q 𝑟 → (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2^nd ‘𝐿))))
84	83	ralrimivva 2632	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑠 <_Q 𝑟 → (𝑠 ∈ (1^st ‘𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2^nd ‘𝐿))))

Colors of variables: wff set class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 720 ∧ w3a 1009 = wceq 1402 ∈ wcel 2209 ∀wral 2528 ∃wrex 2529 {crab 2532 ⟨cop 3712 class class class wbr 4131 Or wor 4442 ⟶wf 5376 ‘cfv 5380 (class class class)co 6088 1^st c1st 6376 2^nd c2nd 6377 Qcnq 7653 +_Q cplq 7655 <_Q cltq 7658

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4248 ax-sep 4251 ax-nul 4261 ax-pow 4313 ax-pr 4348 ax-un 4580 ax-setind 4686 ax-iinf 4737

This proof depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-iun 4014 df-br 4132 df-opab 4194 df-mpt 4195 df-tr 4232 df-eprel 4436 df-id 4440 df-po 4443 df-iso 4444 df-iord 4513 df-on 4515 df-suc 4518 df-iom 4740 df-xp 4782 df-rel 4783 df-cnv 4784 df-co 4785 df-dm 4786 df-rn 4787 df-res 4788 df-ima 4789 df-iota 5340 df-fun 5382 df-fn 5383 df-f 5384 df-f1 5385 df-fo 5386 df-f1o 5387 df-fv 5388 df-ov 6091 df-oprab 6092 df-mpo 6093 df-1st 6378 df-2nd 6379 df-recs 6580 df-irdg 6645 df-1o 6691 df-oadd 6695 df-omul 6696 df-er 6811 df-ec 6813 df-qs 6817 df-ni 7677 df-pli 7678 df-mi 7679 df-lti 7680 df-plpq 7717 df-mpq 7718 df-enq 7720 df-nqqs 7721 df-plqqs 7722 df-mqqs 7723 df-1nqqs 7724 df-rq 7725 df-ltnqqs 7726

This theorem is used by: cauappcvgprlemcl 8026

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