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Theorem cauappcvgprlemloc 7642
Description: Lemma for cauappcvgpr 7652. The putative limit is located. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f (𝜑𝐹:QQ)
cauappcvgpr.app (𝜑 → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd (𝜑 → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
cauappcvgpr.lim 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemloc (𝜑 → ∀𝑠Q𝑟Q (𝑠 <Q 𝑟 → (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2nd𝐿))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐿,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝐿,𝑟,𝑠   𝐴,𝑠,𝑝   𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠   𝜑,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑟,𝑞,𝑙)   𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemloc
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexnqi 7399 . . . . 5 (𝑠 <Q 𝑟 → ∃𝑦Q (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)
21adantl 277 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) → ∃𝑦Q (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)
3 subhalfnqq 7404 . . . . . 6 (𝑦Q → ∃𝑥Q (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)
43ad2antrl 490 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) → ∃𝑥Q (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)
5 simprr 531 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)
6 simplrl 535 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) → 𝑠Q)
76adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) → 𝑠Q)
87adantr 276 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → 𝑠Q)
9 ltanqi 7392 . . . . . . . . 9 (((𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦𝑠Q) → (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q (𝑠 +Q 𝑦))
105, 8, 9syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q (𝑠 +Q 𝑦))
11 simplrr 536 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)
1210, 11breqtrd 4026 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q 𝑟)
13 simprl 529 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → 𝑥Q)
14 addclnq 7365 . . . . . . . . . 10 ((𝑥Q𝑥Q) → (𝑥 +Q 𝑥) ∈ Q)
1513, 13, 14syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → (𝑥 +Q 𝑥) ∈ Q)
16 addclnq 7365 . . . . . . . . 9 ((𝑠Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) ∈ Q) → (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) ∈ Q)
178, 15, 16syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) ∈ Q)
18 simplrr 536 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) → 𝑟Q)
1918adantr 276 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) → 𝑟Q)
2019adantr 276 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → 𝑟Q)
21 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:QQ)
2221ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → 𝐹:QQ)
2322, 13ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → (𝐹𝑥) ∈ Q)
24 addclnq 7365 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑥) ∈ Q𝑥Q) → ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) ∈ Q)
2523, 13, 24syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) ∈ Q)
26 ltsonq 7388 . . . . . . . . 9 <Q Or Q
27 sowlin 4317 . . . . . . . . 9 (( <Q Or Q ∧ ((𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) ∈ Q𝑟Q ∧ ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) ∈ Q)) → ((𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q 𝑟 → ((𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) ∨ ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) <Q 𝑟)))
2826, 27mpan 424 . . . . . . . 8 (((𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) ∈ Q𝑟Q ∧ ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) ∈ Q) → ((𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q 𝑟 → ((𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) ∨ ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) <Q 𝑟)))
2917, 20, 25, 28syl3anc 1238 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → ((𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q 𝑟 → ((𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) ∨ ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) <Q 𝑟)))
3012, 29mpd 13 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → ((𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) ∨ ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) <Q 𝑟))
318adantr 276 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) → 𝑠Q)
32 simplrl 535 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) → 𝑥Q)
33 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) → (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥))
34 addassnqg 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠Q𝑥Q𝑥Q) → ((𝑠 +Q 𝑥) +Q 𝑥) = (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)))
3531, 32, 32, 34syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) → ((𝑠 +Q 𝑥) +Q 𝑥) = (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)))
3635breq1d 4010 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) → (((𝑠 +Q 𝑥) +Q 𝑥) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) ↔ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)))
3733, 36mpbird 167 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) → ((𝑠 +Q 𝑥) +Q 𝑥) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥))
38 ltanqg 7390 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓Q𝑔QQ) → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ ( +Q 𝑓) <Q ( +Q 𝑔)))
3938adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) ∧ (𝑓Q𝑔QQ)) → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ ( +Q 𝑓) <Q ( +Q 𝑔)))
40 addclnq 7365 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠Q𝑥Q) → (𝑠 +Q 𝑥) ∈ Q)
4131, 32, 40syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) → (𝑠 +Q 𝑥) ∈ Q)
4223adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) → (𝐹𝑥) ∈ Q)
43 addcomnqg 7371 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓Q𝑔Q) → (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓))
4443adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) ∧ (𝑓Q𝑔Q)) → (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓))
4539, 41, 42, 32, 44caovord2d 6038 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) → ((𝑠 +Q 𝑥) <Q (𝐹𝑥) ↔ ((𝑠 +Q 𝑥) +Q 𝑥) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)))
4637, 45mpbird 167 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) → (𝑠 +Q 𝑥) <Q (𝐹𝑥))
47 oveq2 5877 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑥 → (𝑠 +Q 𝑞) = (𝑠 +Q 𝑥))
48 fveq2 5511 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑥 → (𝐹𝑞) = (𝐹𝑥))
4947, 48breq12d 4013 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑥 → ((𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ (𝑠 +Q 𝑥) <Q (𝐹𝑥)))
5049rspcev 2841 . . . . . . . . . 10 ((𝑥Q ∧ (𝑠 +Q 𝑥) <Q (𝐹𝑥)) → ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))
5132, 46, 50syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) → ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))
52 oveq1 5876 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑠 → (𝑙 +Q 𝑞) = (𝑠 +Q 𝑞))
5352breq1d 4010 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑠 → ((𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
5453rexbidv 2478 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑠 → (∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
55 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
5655fveq2i 5514 . . . . . . . . . . 11 (1st𝐿) = (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)
57 nqex 7353 . . . . . . . . . . . . 13 Q ∈ V
5857rabex 4144 . . . . . . . . . . . 12 {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)} ∈ V
5957rabex 4144 . . . . . . . . . . . 12 {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢} ∈ V
6058, 59op1st 6141 . . . . . . . . . . 11 (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) = {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}
6156, 60eqtri 2198 . . . . . . . . . 10 (1st𝐿) = {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}
6254, 61elrab2 2896 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (1st𝐿) ↔ (𝑠Q ∧ ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
6331, 51, 62sylanbrc 417 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ (𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥)) → 𝑠 ∈ (1st𝐿))
6463ex 115 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → ((𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) → 𝑠 ∈ (1st𝐿)))
6520adantr 276 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) <Q 𝑟) → 𝑟Q)
66 id 19 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = 𝑥𝑞 = 𝑥)
6748, 66oveq12d 5887 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑥 → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) = ((𝐹𝑥) +Q 𝑥))
6867breq1d 4010 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑥 → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟 ↔ ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) <Q 𝑟))
6968rspcev 2841 . . . . . . . . . 10 ((𝑥Q ∧ ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) <Q 𝑟) → ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)
7013, 69sylan 283 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) <Q 𝑟) → ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)
71 breq2 4004 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑟 → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
7271rexbidv 2478 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑟 → (∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
7355fveq2i 5514 . . . . . . . . . . 11 (2nd𝐿) = (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)
7458, 59op2nd 6142 . . . . . . . . . . 11 (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) = {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}
7573, 74eqtri 2198 . . . . . . . . . 10 (2nd𝐿) = {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}
7672, 75elrab2 2896 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ (2nd𝐿) ↔ (𝑟Q ∧ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
7765, 70, 76sylanbrc 417 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) ∧ ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) <Q 𝑟) → 𝑟 ∈ (2nd𝐿))
7877ex 115 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → (((𝐹𝑥) +Q 𝑥) <Q 𝑟𝑟 ∈ (2nd𝐿)))
7964, 78orim12d 786 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → (((𝑠 +Q (𝑥 +Q 𝑥)) <Q ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) ∨ ((𝐹𝑥) +Q 𝑥) <Q 𝑟) → (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2nd𝐿))))
8030, 79mpd 13 . . . . 5 (((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) ∧ (𝑥Q ∧ (𝑥 +Q 𝑥) <Q 𝑦)) → (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2nd𝐿)))
814, 80rexlimddv 2599 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) ∧ (𝑦Q ∧ (𝑠 +Q 𝑦) = 𝑟)) → (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2nd𝐿)))
822, 81rexlimddv 2599 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) ∧ 𝑠 <Q 𝑟) → (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2nd𝐿)))
8382ex 115 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑠Q𝑟Q)) → (𝑠 <Q 𝑟 → (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2nd𝐿))))
8483ralrimivva 2559 1 (𝜑 → ∀𝑠Q𝑟Q (𝑠 <Q 𝑟 → (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2nd𝐿))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  {crab 2459  cop 3594   class class class wbr 4000   Or wor 4292  wf 5208  cfv 5212  (class class class)co 5869  1st c1st 6133  2nd c2nd 6134  Qcnq 7270   +Q cplq 7272   <Q cltq 7275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-eprel 4286  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-er 6529  df-ec 6531  df-qs 6535  df-ni 7294  df-pli 7295  df-mi 7296  df-lti 7297  df-plpq 7334  df-mpq 7335  df-enq 7337  df-nqqs 7338  df-plqqs 7339  df-mqqs 7340  df-1nqqs 7341  df-rq 7342  df-ltnqqs 7343
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemcl  7643
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