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Theorem cauappcvgprlemdisj 7189
Description: Lemma for cauappcvgpr 7200. The putative limit is disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
cauappcvgpr.lim  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemdisj  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Q.  -.  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    L, p, q    ph, p, q    L, s    A, s, p    F, l, u, p, q, s    ph, s
Allowed substitution hints:    ph( u, l)    A( u, q, l)    L( u, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlemdisj
Dummy variables  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cauappcvgpr.app . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
2 simpl 107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) )  ->  ( F `  p )  <Q  ( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) ) )
32ralimi 2438 . . . . . . . 8  |-  ( A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) )  ->  A. q  e.  Q.  ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )
43ralimi 2438 . . . . . . 7  |-  ( A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  ( ( F `
 p )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) )  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e. 
Q.  ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )
51, 4syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  ( F `  p )  <Q  ( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) ) )
65adantr 270 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L
)  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e. 
Q.  ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )
7 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  =  s  ->  (
l  +Q  q )  =  ( s  +Q  q ) )
87breq1d 3847 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  s  ->  (
( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
98rexbidv 2381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  s  ->  ( E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
10 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . . . . . 13  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
1110fveq2i 5292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1st `  L )  =  ( 1st `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >. )
12 nqex 6901 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Q.  e.  _V
1312rabex 3975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) }  e.  _V
1412rabex 3975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u }  e.  _V
1513, 14op1st 5899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1st `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u } >. )  =  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) }
1611, 15eqtri 2108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1st `  L )  =  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) }
179, 16elrab2 2772 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( 1st `  L
)  <->  ( s  e. 
Q.  /\  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
1817simprbi 269 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( 1st `  L
)  ->  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
)
19 oveq2 5642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  p  ->  (
s  +Q  q )  =  ( s  +Q  p ) )
20 fveq2 5289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  p  ->  ( F `  q )  =  ( F `  p ) )
2119, 20breq12d 3850 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  p  ->  (
( s  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  ( s  +Q  p )  <Q  ( F `  p )
) )
2221cbvrexv 2591 . . . . . . . . 9  |-  ( E. q  e.  Q.  (
s  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
)  <->  E. p  e.  Q.  ( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p ) )
2318, 22sylib 120 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( 1st `  L
)  ->  E. p  e.  Q.  ( s  +Q  p )  <Q  ( F `  p )
)
24 breq2 3841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  s  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u  <->  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )
2524rexbidv 2381 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  s  ->  ( E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u  <->  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
) )
2610fveq2i 5292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2nd `  L )  =  ( 2nd `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >. )
2713, 14op2nd 5900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2nd `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u } >. )  =  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u }
2826, 27eqtri 2108 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2nd `  L )  =  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u }
2925, 28elrab2 2772 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( 2nd `  L
)  <->  ( s  e. 
Q.  /\  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
) )
3029simprbi 269 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( 2nd `  L
)  ->  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
)
3123, 30anim12i 331 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L
) )  ->  ( E. p  e.  Q.  ( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p )  /\  E. q  e.  Q.  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )
32 reeanv 2536 . . . . . . 7  |-  ( E. p  e.  Q.  E. q  e.  Q.  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s )  <->  ( E. p  e.  Q.  (
s  +Q  p ) 
<Q  ( F `  p
)  /\  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
) )
3331, 32sylibr 132 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L
) )  ->  E. p  e.  Q.  E. q  e. 
Q.  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )
3433adantl 271 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L
)  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  ->  E. p  e.  Q.  E. q  e. 
Q.  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )
356, 34r19.29d2r 2512 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L
)  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  ->  E. p  e.  Q.  E. q  e. 
Q.  ( ( F `
 p )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p ) 
<Q  ( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) ) )
36 simprl 498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )  -> 
( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p ) )
37 simpl 107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )  -> 
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) ) )
3836, 37jca 300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )  -> 
( ( s  +Q  p )  <Q  ( F `  p )  /\  ( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) ) ) )
3917simplbi 268 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  ( 1st `  L
)  ->  s  e.  Q. )
4039adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L
) )  ->  s  e.  Q. )
4140ad3antlr 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  s  e.  Q. )
42 simplr 497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  p  e.  Q. )
43 addclnq 6913 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  e.  Q.  /\  p  e.  Q. )  ->  ( s  +Q  p
)  e.  Q. )
4441, 42, 43syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
s  +Q  p )  e.  Q. )
45 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
4645ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  F : Q. --> Q. )
4746, 42ffvelrnd 5419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  ( F `  p )  e.  Q. )
48 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  q  e.  Q. )
4946, 48ffvelrnd 5419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  ( F `  q )  e.  Q. )
50 addclnq 6913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e.  Q.  /\  q  e.  Q. )  ->  ( p  +Q  q
)  e.  Q. )
5142, 48, 50syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
p  +Q  q )  e.  Q. )
52 addclnq 6913 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  q
)  e.  Q.  /\  ( p  +Q  q
)  e.  Q. )  ->  ( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) )  e.  Q. )
5349, 51, 52syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  e.  Q. )
54 ltsonq 6936 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <Q  Or  Q.
55 sotr 4136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
<Q  Or  Q.  /\  (
( s  +Q  p
)  e.  Q.  /\  ( F `  p )  e.  Q.  /\  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  e.  Q. ) )  ->  ( ( ( s  +Q  p ) 
<Q  ( F `  p
)  /\  ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )  ->  ( s  +Q  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) ) )
5654, 55mpan 415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( s  +Q  p
)  e.  Q.  /\  ( F `  p )  e.  Q.  /\  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  e.  Q. )  -> 
( ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )  ->  ( s  +Q  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) ) )
5744, 47, 53, 56syl3anc 1174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( s  +Q  p )  <Q  ( F `  p )  /\  ( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) ) )  -> 
( s  +Q  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) ) ) )
5838, 57syl5 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )  ->  (
s  +Q  p ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
59 simprr 499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )  -> 
( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  s )
6059a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )  ->  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )
6158, 60jcad 301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )  ->  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) ) )
62 addcomnqg 6919 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  Q.  /\  p  e.  Q. )  ->  ( s  +Q  p
)  =  ( p  +Q  s ) )
6341, 42, 62syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
s  +Q  p )  =  ( p  +Q  s ) )
64 addcomnqg 6919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )  ->  ( f  +Q  g
)  =  ( g  +Q  f ) )
6564adantl 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  (
f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )
)  ->  ( f  +Q  g )  =  ( g  +Q  f ) )
66 addassnqg 6920 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  (
( f  +Q  g
)  +Q  h )  =  ( f  +Q  ( g  +Q  h
) ) )
6766adantl 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  (
f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. ) )  -> 
( ( f  +Q  g )  +Q  h
)  =  ( f  +Q  ( g  +Q  h ) ) )
6849, 42, 48, 65, 67caov12d 5808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  =  ( p  +Q  ( ( F `  q )  +Q  q
) ) )
6963, 68breq12d 3850 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  <->  ( p  +Q  s )  <Q  (
p  +Q  ( ( F `  q )  +Q  q ) ) ) )
7069anbi1d 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( s  +Q  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
)  <->  ( ( p  +Q  s )  <Q 
( p  +Q  (
( F `  q
)  +Q  q ) )  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q 
s ) ) )
7161, 70sylibd 147 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )  ->  (
( p  +Q  s
)  <Q  ( p  +Q  ( ( F `  q )  +Q  q
) )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) ) )
72 addclnq 6913 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  q
)  e.  Q.  /\  q  e.  Q. )  ->  ( ( F `  q )  +Q  q
)  e.  Q. )
7349, 48, 72syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( F `  q
)  +Q  q )  e.  Q. )
74 ltanqg 6938 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  Q.  /\  ( ( F `  q )  +Q  q
)  e.  Q.  /\  p  e.  Q. )  ->  ( s  <Q  (
( F `  q
)  +Q  q )  <-> 
( p  +Q  s
)  <Q  ( p  +Q  ( ( F `  q )  +Q  q
) ) ) )
7541, 73, 42, 74syl3anc 1174 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
s  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <->  ( p  +Q  s )  <Q  (
p  +Q  ( ( F `  q )  +Q  q ) ) ) )
7675anbi1d 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( s  <Q  (
( F `  q
)  +Q  q )  /\  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
)  <->  ( ( p  +Q  s )  <Q 
( p  +Q  (
( F `  q
)  +Q  q ) )  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q 
s ) ) )
7771, 76sylibrd 167 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )  ->  (
s  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  q )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) ) )
78 so2nr 4139 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
<Q  Or  Q.  /\  (
s  e.  Q.  /\  ( ( F `  q )  +Q  q
)  e.  Q. )
)  ->  -.  (
s  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  q )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )
7954, 78mpan 415 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  Q.  /\  ( ( F `  q )  +Q  q
)  e.  Q. )  ->  -.  ( s  <Q 
( ( F `  q )  +Q  q
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )
8041, 73, 79syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  -.  ( s  <Q  (
( F `  q
)  +Q  q )  /\  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
) )
8180pm2.21d 584 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( s  <Q  (
( F `  q
)  +Q  q )  /\  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
)  -> F.  )
)
8277, 81syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )  -> F.  ) )
8382rexlimdva 2489 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L
) ) )  /\  p  e.  Q. )  ->  ( E. q  e. 
Q.  ( ( F `
 p )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p ) 
<Q  ( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )  -> F.  ) )
8483rexlimdva 2489 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L
)  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  ->  ( E. p  e.  Q.  E. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )  -> F.  ) )
8535, 84mpd 13 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L
)  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  -> F.  )
8685inegd 1308 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( s  e.  ( 1st `  L
)  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )
8786ralrimivw 2447 1  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Q.  -.  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 924    = wceq 1289   F. wfal 1294    e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360   {crab 2363   <.cop 3444   class class class wbr 3837    Or wor 4113   -->wf 4998   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   1stc1st 5891   2ndc2nd 5892   Q.cnq 6818    +Q cplq 6820    <Q cltq 6823
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-eprel 4107  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-oadd 6167  df-omul 6168  df-er 6272  df-ec 6274  df-qs 6278  df-ni 6842  df-pli 6843  df-mi 6844  df-lti 6845  df-plpq 6882  df-enq 6885  df-nqqs 6886  df-plqqs 6887  df-ltnqqs 6891
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemcl  7191
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