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Theorem cauappcvgprlemdisj 7679
Description: Lemma for cauappcvgpr 7690. The putative limit is disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
cauappcvgpr.lim  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemdisj  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Q.  -.  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    L, p, q    ph, p, q    L, s    A, s, p    F, l, u, p, q, s    ph, s
Allowed substitution hints:    ph( u, l)    A( u, q, l)    L( u, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlemdisj
Dummy variables  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cauappcvgpr.app . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
2 simpl 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) )  ->  ( F `  p )  <Q  ( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) ) )
32ralimi 2553 . . . . . . . 8  |-  ( A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) )  ->  A. q  e.  Q.  ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )
43ralimi 2553 . . . . . . 7  |-  ( A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  ( ( F `
 p )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) )  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e. 
Q.  ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )
51, 4syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  ( F `  p )  <Q  ( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) ) )
65adantr 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L
)  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e. 
Q.  ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )
7 oveq1 5902 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  =  s  ->  (
l  +Q  q )  =  ( s  +Q  q ) )
87breq1d 4028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  s  ->  (
( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
98rexbidv 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  s  ->  ( E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
10 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . . . . . 13  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
1110fveq2i 5537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1st `  L )  =  ( 1st `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >. )
12 nqex 7391 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Q.  e.  _V
1312rabex 4162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) }  e.  _V
1412rabex 4162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u }  e.  _V
1513, 14op1st 6170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1st `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u } >. )  =  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) }
1611, 15eqtri 2210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1st `  L )  =  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) }
179, 16elrab2 2911 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( 1st `  L
)  <->  ( s  e. 
Q.  /\  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
1817simprbi 275 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( 1st `  L
)  ->  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
)
19 oveq2 5903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  p  ->  (
s  +Q  q )  =  ( s  +Q  p ) )
20 fveq2 5534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  p  ->  ( F `  q )  =  ( F `  p ) )
2119, 20breq12d 4031 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  p  ->  (
( s  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  ( s  +Q  p )  <Q  ( F `  p )
) )
2221cbvrexv 2719 . . . . . . . . 9  |-  ( E. q  e.  Q.  (
s  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
)  <->  E. p  e.  Q.  ( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p ) )
2318, 22sylib 122 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( 1st `  L
)  ->  E. p  e.  Q.  ( s  +Q  p )  <Q  ( F `  p )
)
24 breq2 4022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  s  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u  <->  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )
2524rexbidv 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  s  ->  ( E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u  <->  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
) )
2610fveq2i 5537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2nd `  L )  =  ( 2nd `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >. )
2713, 14op2nd 6171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2nd `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u } >. )  =  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u }
2826, 27eqtri 2210 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2nd `  L )  =  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u }
2925, 28elrab2 2911 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( 2nd `  L
)  <->  ( s  e. 
Q.  /\  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
) )
3029simprbi 275 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( 2nd `  L
)  ->  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
)
3123, 30anim12i 338 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L
) )  ->  ( E. p  e.  Q.  ( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p )  /\  E. q  e.  Q.  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )
32 reeanv 2660 . . . . . . 7  |-  ( E. p  e.  Q.  E. q  e.  Q.  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s )  <->  ( E. p  e.  Q.  (
s  +Q  p ) 
<Q  ( F `  p
)  /\  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
) )
3331, 32sylibr 134 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L
) )  ->  E. p  e.  Q.  E. q  e. 
Q.  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )
3433adantl 277 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L
)  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  ->  E. p  e.  Q.  E. q  e. 
Q.  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )
356, 34r19.29d2r 2634 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L
)  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  ->  E. p  e.  Q.  E. q  e. 
Q.  ( ( F `
 p )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p ) 
<Q  ( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) ) )
36 simprl 529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )  -> 
( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p ) )
37 simpl 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )  -> 
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) ) )
3836, 37jca 306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )  -> 
( ( s  +Q  p )  <Q  ( F `  p )  /\  ( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) ) ) )
3917simplbi 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  ( 1st `  L
)  ->  s  e.  Q. )
4039adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L
) )  ->  s  e.  Q. )
4140ad3antlr 493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  s  e.  Q. )
42 simplr 528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  p  e.  Q. )
43 addclnq 7403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  e.  Q.  /\  p  e.  Q. )  ->  ( s  +Q  p
)  e.  Q. )
4441, 42, 43syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
s  +Q  p )  e.  Q. )
45 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
4645ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  F : Q. --> Q. )
4746, 42ffvelcdmd 5672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  ( F `  p )  e.  Q. )
48 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  q  e.  Q. )
4946, 48ffvelcdmd 5672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  ( F `  q )  e.  Q. )
50 addclnq 7403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e.  Q.  /\  q  e.  Q. )  ->  ( p  +Q  q
)  e.  Q. )
5142, 48, 50syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
p  +Q  q )  e.  Q. )
52 addclnq 7403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  q
)  e.  Q.  /\  ( p  +Q  q
)  e.  Q. )  ->  ( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) )  e.  Q. )
5349, 51, 52syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  e.  Q. )
54 ltsonq 7426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <Q  Or  Q.
55 sotr 4336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
<Q  Or  Q.  /\  (
( s  +Q  p
)  e.  Q.  /\  ( F `  p )  e.  Q.  /\  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  e.  Q. ) )  ->  ( ( ( s  +Q  p ) 
<Q  ( F `  p
)  /\  ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )  ->  ( s  +Q  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) ) )
5654, 55mpan 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( s  +Q  p
)  e.  Q.  /\  ( F `  p )  e.  Q.  /\  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  e.  Q. )  -> 
( ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )  ->  ( s  +Q  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) ) )
5744, 47, 53, 56syl3anc 1249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( s  +Q  p )  <Q  ( F `  p )  /\  ( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) ) )  -> 
( s  +Q  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) ) ) )
5838, 57syl5 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )  ->  (
s  +Q  p ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
59 simprr 531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )  -> 
( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  s )
6059a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )  ->  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )
6158, 60jcad 307 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )  ->  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) ) )
62 addcomnqg 7409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  Q.  /\  p  e.  Q. )  ->  ( s  +Q  p
)  =  ( p  +Q  s ) )
6341, 42, 62syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
s  +Q  p )  =  ( p  +Q  s ) )
64 addcomnqg 7409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )  ->  ( f  +Q  g
)  =  ( g  +Q  f ) )
6564adantl 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  (
f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )
)  ->  ( f  +Q  g )  =  ( g  +Q  f ) )
66 addassnqg 7410 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  (
( f  +Q  g
)  +Q  h )  =  ( f  +Q  ( g  +Q  h
) ) )
6766adantl 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  (
f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. ) )  -> 
( ( f  +Q  g )  +Q  h
)  =  ( f  +Q  ( g  +Q  h ) ) )
6849, 42, 48, 65, 67caov12d 6077 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  =  ( p  +Q  ( ( F `  q )  +Q  q
) ) )
6963, 68breq12d 4031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  <->  ( p  +Q  s )  <Q  (
p  +Q  ( ( F `  q )  +Q  q ) ) ) )
7069anbi1d 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( s  +Q  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
)  <->  ( ( p  +Q  s )  <Q 
( p  +Q  (
( F `  q
)  +Q  q ) )  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q 
s ) ) )
7161, 70sylibd 149 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )  ->  (
( p  +Q  s
)  <Q  ( p  +Q  ( ( F `  q )  +Q  q
) )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) ) )
72 addclnq 7403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  q
)  e.  Q.  /\  q  e.  Q. )  ->  ( ( F `  q )  +Q  q
)  e.  Q. )
7349, 48, 72syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( F `  q
)  +Q  q )  e.  Q. )
74 ltanqg 7428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  Q.  /\  ( ( F `  q )  +Q  q
)  e.  Q.  /\  p  e.  Q. )  ->  ( s  <Q  (
( F `  q
)  +Q  q )  <-> 
( p  +Q  s
)  <Q  ( p  +Q  ( ( F `  q )  +Q  q
) ) ) )
7541, 73, 42, 74syl3anc 1249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
s  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <->  ( p  +Q  s )  <Q  (
p  +Q  ( ( F `  q )  +Q  q ) ) ) )
7675anbi1d 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( s  <Q  (
( F `  q
)  +Q  q )  /\  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
)  <->  ( ( p  +Q  s )  <Q 
( p  +Q  (
( F `  q
)  +Q  q ) )  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q 
s ) ) )
7771, 76sylibrd 169 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )  ->  (
s  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  q )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) ) )
78 so2nr 4339 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
<Q  Or  Q.  /\  (
s  e.  Q.  /\  ( ( F `  q )  +Q  q
)  e.  Q. )
)  ->  -.  (
s  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  q )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )
7954, 78mpan 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  Q.  /\  ( ( F `  q )  +Q  q
)  e.  Q. )  ->  -.  ( s  <Q 
( ( F `  q )  +Q  q
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )
8041, 73, 79syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  -.  ( s  <Q  (
( F `  q
)  +Q  q )  /\  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
) )
8180pm2.21d 620 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( s  <Q  (
( F `  q
)  +Q  q )  /\  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
)  -> F.  )
)
8277, 81syld 45 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )  -> F.  ) )
8382rexlimdva 2607 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L
) ) )  /\  p  e.  Q. )  ->  ( E. q  e. 
Q.  ( ( F `
 p )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p ) 
<Q  ( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )  -> F.  ) )
8483rexlimdva 2607 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L
)  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  ->  ( E. p  e.  Q.  E. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )  -> F.  ) )
8535, 84mpd 13 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L
)  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  -> F.  )
8685inegd 1383 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( s  e.  ( 1st `  L
)  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )
8786ralrimivw 2564 1  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Q.  -.  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 980    = wceq 1364   F. wfal 1369    e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   {crab 2472   <.cop 3610   class class class wbr 4018    Or wor 4313   -->wf 5231   ` cfv 5235  (class class class)co 5895   1stc1st 6162   2ndc2nd 6163   Q.cnq 7308    +Q cplq 7310    <Q cltq 7313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-recs 6329  df-irdg 6394  df-oadd 6444  df-omul 6445  df-er 6558  df-ec 6560  df-qs 6564  df-ni 7332  df-pli 7333  df-mi 7334  df-lti 7335  df-plpq 7372  df-enq 7375  df-nqqs 7376  df-plqqs 7377  df-ltnqqs 7381
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemcl  7681
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