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Theorem cauappcvgprlemdisj 7466
Description: Lemma for cauappcvgpr 7477. The putative limit is disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
cauappcvgpr.lim  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemdisj  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Q.  -.  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    L, p, q    ph, p, q    L, s    A, s, p    F, l, u, p, q, s    ph, s
Allowed substitution hints:    ph( u, l)    A( u, q, l)    L( u, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlemdisj
Dummy variables  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cauappcvgpr.app . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
2 simpl 108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) )  ->  ( F `  p )  <Q  ( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) ) )
32ralimi 2495 . . . . . . . 8  |-  ( A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) )  ->  A. q  e.  Q.  ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )
43ralimi 2495 . . . . . . 7  |-  ( A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  ( ( F `
 p )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) )  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e. 
Q.  ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )
51, 4syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  ( F `  p )  <Q  ( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) ) )
65adantr 274 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L
)  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e. 
Q.  ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )
7 oveq1 5781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  =  s  ->  (
l  +Q  q )  =  ( s  +Q  q ) )
87breq1d 3939 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  s  ->  (
( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
98rexbidv 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  s  ->  ( E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
10 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . . . . . 13  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
1110fveq2i 5424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1st `  L )  =  ( 1st `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >. )
12 nqex 7178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Q.  e.  _V
1312rabex 4072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) }  e.  _V
1412rabex 4072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u }  e.  _V
1513, 14op1st 6044 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1st `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u } >. )  =  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) }
1611, 15eqtri 2160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1st `  L )  =  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) }
179, 16elrab2 2843 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( 1st `  L
)  <->  ( s  e. 
Q.  /\  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
1817simprbi 273 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( 1st `  L
)  ->  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
)
19 oveq2 5782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  p  ->  (
s  +Q  q )  =  ( s  +Q  p ) )
20 fveq2 5421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  p  ->  ( F `  q )  =  ( F `  p ) )
2119, 20breq12d 3942 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  p  ->  (
( s  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  ( s  +Q  p )  <Q  ( F `  p )
) )
2221cbvrexv 2655 . . . . . . . . 9  |-  ( E. q  e.  Q.  (
s  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
)  <->  E. p  e.  Q.  ( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p ) )
2318, 22sylib 121 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( 1st `  L
)  ->  E. p  e.  Q.  ( s  +Q  p )  <Q  ( F `  p )
)
24 breq2 3933 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  s  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u  <->  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )
2524rexbidv 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  s  ->  ( E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u  <->  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
) )
2610fveq2i 5424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2nd `  L )  =  ( 2nd `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >. )
2713, 14op2nd 6045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2nd `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u } >. )  =  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u }
2826, 27eqtri 2160 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2nd `  L )  =  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u }
2925, 28elrab2 2843 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( 2nd `  L
)  <->  ( s  e. 
Q.  /\  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
) )
3029simprbi 273 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( 2nd `  L
)  ->  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
)
3123, 30anim12i 336 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L
) )  ->  ( E. p  e.  Q.  ( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p )  /\  E. q  e.  Q.  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )
32 reeanv 2600 . . . . . . 7  |-  ( E. p  e.  Q.  E. q  e.  Q.  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s )  <->  ( E. p  e.  Q.  (
s  +Q  p ) 
<Q  ( F `  p
)  /\  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
) )
3331, 32sylibr 133 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L
) )  ->  E. p  e.  Q.  E. q  e. 
Q.  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )
3433adantl 275 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L
)  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  ->  E. p  e.  Q.  E. q  e. 
Q.  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )
356, 34r19.29d2r 2576 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L
)  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  ->  E. p  e.  Q.  E. q  e. 
Q.  ( ( F `
 p )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p ) 
<Q  ( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) ) )
36 simprl 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )  -> 
( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p ) )
37 simpl 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )  -> 
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) ) )
3836, 37jca 304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )  -> 
( ( s  +Q  p )  <Q  ( F `  p )  /\  ( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) ) ) )
3917simplbi 272 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  ( 1st `  L
)  ->  s  e.  Q. )
4039adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L
) )  ->  s  e.  Q. )
4140ad3antlr 484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  s  e.  Q. )
42 simplr 519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  p  e.  Q. )
43 addclnq 7190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  e.  Q.  /\  p  e.  Q. )  ->  ( s  +Q  p
)  e.  Q. )
4441, 42, 43syl2anc 408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
s  +Q  p )  e.  Q. )
45 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
4645ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  F : Q. --> Q. )
4746, 42ffvelrnd 5556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  ( F `  p )  e.  Q. )
48 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  q  e.  Q. )
4946, 48ffvelrnd 5556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  ( F `  q )  e.  Q. )
50 addclnq 7190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e.  Q.  /\  q  e.  Q. )  ->  ( p  +Q  q
)  e.  Q. )
5142, 48, 50syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
p  +Q  q )  e.  Q. )
52 addclnq 7190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  q
)  e.  Q.  /\  ( p  +Q  q
)  e.  Q. )  ->  ( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) )  e.  Q. )
5349, 51, 52syl2anc 408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  e.  Q. )
54 ltsonq 7213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <Q  Or  Q.
55 sotr 4240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
<Q  Or  Q.  /\  (
( s  +Q  p
)  e.  Q.  /\  ( F `  p )  e.  Q.  /\  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  e.  Q. ) )  ->  ( ( ( s  +Q  p ) 
<Q  ( F `  p
)  /\  ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )  ->  ( s  +Q  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) ) )
5654, 55mpan 420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( s  +Q  p
)  e.  Q.  /\  ( F `  p )  e.  Q.  /\  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  e.  Q. )  -> 
( ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )  ->  ( s  +Q  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) ) )
5744, 47, 53, 56syl3anc 1216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( s  +Q  p )  <Q  ( F `  p )  /\  ( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) ) )  -> 
( s  +Q  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) ) ) )
5838, 57syl5 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )  ->  (
s  +Q  p ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
59 simprr 521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )  -> 
( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  s )
6059a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )  ->  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )
6158, 60jcad 305 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )  ->  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) ) )
62 addcomnqg 7196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  Q.  /\  p  e.  Q. )  ->  ( s  +Q  p
)  =  ( p  +Q  s ) )
6341, 42, 62syl2anc 408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
s  +Q  p )  =  ( p  +Q  s ) )
64 addcomnqg 7196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )  ->  ( f  +Q  g
)  =  ( g  +Q  f ) )
6564adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  (
f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )
)  ->  ( f  +Q  g )  =  ( g  +Q  f ) )
66 addassnqg 7197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  (
( f  +Q  g
)  +Q  h )  =  ( f  +Q  ( g  +Q  h
) ) )
6766adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  (
f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. ) )  -> 
( ( f  +Q  g )  +Q  h
)  =  ( f  +Q  ( g  +Q  h ) ) )
6849, 42, 48, 65, 67caov12d 5952 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  =  ( p  +Q  ( ( F `  q )  +Q  q
) ) )
6963, 68breq12d 3942 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  <->  ( p  +Q  s )  <Q  (
p  +Q  ( ( F `  q )  +Q  q ) ) ) )
7069anbi1d 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( s  +Q  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
)  <->  ( ( p  +Q  s )  <Q 
( p  +Q  (
( F `  q
)  +Q  q ) )  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q 
s ) ) )
7161, 70sylibd 148 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )  ->  (
( p  +Q  s
)  <Q  ( p  +Q  ( ( F `  q )  +Q  q
) )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) ) )
72 addclnq 7190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  q
)  e.  Q.  /\  q  e.  Q. )  ->  ( ( F `  q )  +Q  q
)  e.  Q. )
7349, 48, 72syl2anc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( F `  q
)  +Q  q )  e.  Q. )
74 ltanqg 7215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  Q.  /\  ( ( F `  q )  +Q  q
)  e.  Q.  /\  p  e.  Q. )  ->  ( s  <Q  (
( F `  q
)  +Q  q )  <-> 
( p  +Q  s
)  <Q  ( p  +Q  ( ( F `  q )  +Q  q
) ) ) )
7541, 73, 42, 74syl3anc 1216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
s  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <->  ( p  +Q  s )  <Q  (
p  +Q  ( ( F `  q )  +Q  q ) ) ) )
7675anbi1d 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( s  <Q  (
( F `  q
)  +Q  q )  /\  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
)  <->  ( ( p  +Q  s )  <Q 
( p  +Q  (
( F `  q
)  +Q  q ) )  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q 
s ) ) )
7771, 76sylibrd 168 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )  ->  (
s  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  q )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) ) )
78 so2nr 4243 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
<Q  Or  Q.  /\  (
s  e.  Q.  /\  ( ( F `  q )  +Q  q
)  e.  Q. )
)  ->  -.  (
s  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  q )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )
7954, 78mpan 420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  Q.  /\  ( ( F `  q )  +Q  q
)  e.  Q. )  ->  -.  ( s  <Q 
( ( F `  q )  +Q  q
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )
8041, 73, 79syl2anc 408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  -.  ( s  <Q  (
( F `  q
)  +Q  q )  /\  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
) )
8180pm2.21d 608 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( s  <Q  (
( F `  q
)  +Q  q )  /\  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
)  -> F.  )
)
8277, 81syld 45 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )  -> F.  ) )
8382rexlimdva 2549 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L
) ) )  /\  p  e.  Q. )  ->  ( E. q  e. 
Q.  ( ( F `
 p )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p ) 
<Q  ( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )  -> F.  ) )
8483rexlimdva 2549 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L
)  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  ->  ( E. p  e.  Q.  E. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )  -> F.  ) )
8535, 84mpd 13 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L
)  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  -> F.  )
8685inegd 1350 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( s  e.  ( 1st `  L
)  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )
8786ralrimivw 2506 1  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Q.  -.  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331   F. wfal 1336    e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   {crab 2420   <.cop 3530   class class class wbr 3929    Or wor 4217   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   1stc1st 6036   2ndc2nd 6037   Q.cnq 7095    +Q cplq 7097    <Q cltq 7100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7119  df-pli 7120  df-mi 7121  df-lti 7122  df-plpq 7159  df-enq 7162  df-nqqs 7163  df-plqqs 7164  df-ltnqqs 7168
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemcl  7468
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