Theorem cauappcvgprlemdisj 7483

Description: Lemma for cauappcvgpr 7494. The putative limit is disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cauappcvgpr.f	|- ( ph -> F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app	|- ( ph -> A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd	|- ( ph -> A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) )
cauappcvgpr.lim	|- L = <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >.

Assertion

Ref	Expression
cauappcvgprlemdisj	|- ( ph -> A. s e. Q. -. ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) )

Distinct variable groups:   A, p   L, p, q   ph, p, q   L, s   A, s, p   F, l, u, p, q, s   ph, s

Allowed substitution hints:   ph( u, l)   A( u, q, l)   L( u, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlemdisj

Dummy variables f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cauappcvgpr.app	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
2		simpl 108	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) -> ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) )
3	2	ralimi 2498	. . . . . . . 8 |- ( A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) -> A. q e. Q. ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) )
4	3	ralimi 2498	. . . . . . 7 |- ( A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) -> A. p e. Q. A. q e. Q. ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) )
5	1, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> A. p e. Q. A. q e. Q. ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) )
6	5	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) ) -> A. p e. Q. A. q e. Q. ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) )
7		oveq1 5789	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( l = s -> ( l +Q q ) = ( s +Q q ) )
8	7	breq1d 3947	. . . . . . . . . . . 12 |- ( l = s -> ( ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) <-> ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) ) )
9	8	rexbidv 2439	. . . . . . . . . . 11 |- ( l = s -> ( E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) <-> E. q e. Q. ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) ) )
10		cauappcvgpr.lim	. . . . . . . . . . . . 13 |- L = <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >.
11	10	fveq2i 5432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1st ` L ) = ( 1st ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. )
12		nqex 7195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Q. e. _V
13	12	rabex 4080	. . . . . . . . . . . . 13 |- { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } e. _V
14	12	rabex 4080	. . . . . . . . . . . . 13 |- { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } e. _V
15	13, 14	op1st 6052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1st ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. ) = { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) }
16	11, 15	eqtri 2161	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1st ` L ) = { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) }
17	9, 16	elrab2 2847	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( 1st ` L ) <-> ( s e. Q. /\ E. q e. Q. ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) ) )
18	17	simprbi 273	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( 1st ` L ) -> E. q e. Q. ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) )
19		oveq2 5790	. . . . . . . . . . 11 |- ( q = p -> ( s +Q q ) = ( s +Q p ) )
20		fveq2 5429	. . . . . . . . . . 11 |- ( q = p -> ( F ` q ) = ( F ` p ) )
21	19, 20	breq12d 3950	. . . . . . . . . 10 |- ( q = p -> ( ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) <-> ( s +Q p ) <Q ( F ` p ) ) )
22	21	cbvrexv 2658	. . . . . . . . 9 |- ( E. q e. Q. ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) <-> E. p e. Q. ( s +Q p ) <Q ( F ` p ) )
23	18, 22	sylib 121	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( 1st ` L ) -> E. p e. Q. ( s +Q p ) <Q ( F ` p ) )
24		breq2 3941	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = s -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u <-> ( ( F ` q ) +Q q ) <Q s ) )
25	24	rexbidv 2439	. . . . . . . . . 10 |- ( u = s -> ( E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u <-> E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q s ) )
26	10	fveq2i 5432	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2nd ` L ) = ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. )
27	13, 14	op2nd 6053	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. ) = { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u }
28	26, 27	eqtri 2161	. . . . . . . . . 10 |- ( 2nd ` L ) = { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u }
29	25, 28	elrab2 2847	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( 2nd ` L ) <-> ( s e. Q. /\ E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q s ) )
30	29	simprbi 273	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( 2nd ` L ) -> E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q s )
31	23, 30	anim12i 336	. . . . . . 7 |- ( ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) -> ( E. p e. Q. ( s +Q p ) <Q ( F ` p ) /\ E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q s ) )
32		reeanv 2603	. . . . . . 7 |- ( E. p e. Q. E. q e. Q. ( ( s +Q p ) <Q ( F ` p ) /\ ( ( F ` q ) +Q q ) <Q s ) <-> ( E. p e. Q. ( s +Q p ) <Q ( F ` p ) /\ E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q s ) )
33	31, 32	sylibr 133	. . . . . 6 |- ( ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) -> E. p e. Q. E. q e. Q. ( ( s +Q p ) <Q ( F ` p ) /\ ( ( F ` q ) +Q q ) <Q s ) )
34	33	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) ) -> E. p e. Q. E. q e. Q. ( ( s +Q p ) <Q ( F ` p ) /\ ( ( F ` q ) +Q q ) <Q s ) )
35	6, 34	r19.29d2r 2579	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) ) -> E. p e. Q. E. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( ( s +Q p ) <Q ( F ` p ) /\ ( ( F ` q ) +Q q ) <Q s ) ) )
36		simprl 521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( ( s +Q p ) <Q ( F ` p ) /\ ( ( F ` q ) +Q q ) <Q s ) ) -> ( s +Q p ) <Q ( F ` p ) )
37		simpl 108	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( ( s +Q p ) <Q ( F ` p ) /\ ( ( F ` q ) +Q q ) <Q s ) ) -> ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) )
38	36, 37	jca 304	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( ( s +Q p ) <Q ( F ` p ) /\ ( ( F ` q ) +Q q ) <Q s ) ) -> ( ( s +Q p ) <Q ( F ` p ) /\ ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
39	17	simplbi 272	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. ( 1st ` L ) -> s e. Q. )
40	39	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) -> s e. Q. )
41	40	ad3antlr 485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) ) /\ p e. Q. ) /\ q e. Q. ) -> s e. Q. )
42		simplr 520	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) ) /\ p e. Q. ) /\ q e. Q. ) -> p e. Q. )
43		addclnq 7207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s e. Q. /\ p e. Q. ) -> ( s +Q p ) e. Q. )
44	41, 42, 43	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) ) /\ p e. Q. ) /\ q e. Q. ) -> ( s +Q p ) e. Q. )
45		cauappcvgpr.f	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F : Q. --> Q. )
46	45	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) ) /\ p e. Q. ) /\ q e. Q. ) -> F : Q. --> Q. )
47	46, 42	ffvelrnd 5564	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) ) /\ p e. Q. ) /\ q e. Q. ) -> ( F ` p ) e. Q. )
48		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) ) /\ p e. Q. ) /\ q e. Q. ) -> q e. Q. )
49	46, 48	ffvelrnd 5564	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) ) /\ p e. Q. ) /\ q e. Q. ) -> ( F ` q ) e. Q. )
50		addclnq 7207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. Q. /\ q e. Q. ) -> ( p +Q q ) e. Q. )
51	42, 48, 50	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) ) /\ p e. Q. ) /\ q e. Q. ) -> ( p +Q q ) e. Q. )
52		addclnq 7207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` q ) e. Q. /\ ( p +Q q ) e. Q. ) -> ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) e. Q. )
53	49, 51, 52	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) ) /\ p e. Q. ) /\ q e. Q. ) -> ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) e. Q. )
54		ltsonq 7230	. . . . . . . . . . . . 13 |- <Q Or Q.
55		sotr 4248	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( <Q Or Q. /\ ( ( s +Q p ) e. Q. /\ ( F ` p ) e. Q. /\ ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) e. Q. ) ) -> ( ( ( s +Q p ) <Q ( F ` p ) /\ ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) ) -> ( s +Q p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
56	54, 55	mpan 421	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( s +Q p ) e. Q. /\ ( F ` p ) e. Q. /\ ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) e. Q. ) -> ( ( ( s +Q p ) <Q ( F ` p ) /\ ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) ) -> ( s +Q p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
57	44, 47, 53, 56	syl3anc 1217	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) ) /\ p e. Q. ) /\ q e. Q. ) -> ( ( ( s +Q p ) <Q ( F ` p ) /\ ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) ) -> ( s +Q p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
58	38, 57	syl5 32	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) ) /\ p e. Q. ) /\ q e. Q. ) -> ( ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( ( s +Q p ) <Q ( F ` p ) /\ ( ( F ` q ) +Q q ) <Q s ) ) -> ( s +Q p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
59		simprr 522	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( ( s +Q p ) <Q ( F ` p ) /\ ( ( F ` q ) +Q q ) <Q s ) ) -> ( ( F ` q ) +Q q ) <Q s )
60	59	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) ) /\ p e. Q. ) /\ q e. Q. ) -> ( ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( ( s +Q p ) <Q ( F ` p ) /\ ( ( F ` q ) +Q q ) <Q s ) ) -> ( ( F ` q ) +Q q ) <Q s ) )
61	58, 60	jcad 305	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) ) /\ p e. Q. ) /\ q e. Q. ) -> ( ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( ( s +Q p ) <Q ( F ` p ) /\ ( ( F ` q ) +Q q ) <Q s ) ) -> ( ( s +Q p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( ( F ` q ) +Q q ) <Q s ) ) )
62		addcomnqg 7213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s e. Q. /\ p e. Q. ) -> ( s +Q p ) = ( p +Q s ) )
63	41, 42, 62	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) ) /\ p e. Q. ) /\ q e. Q. ) -> ( s +Q p ) = ( p +Q s ) )
64		addcomnqg 7213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. ) -> ( f +Q g ) = ( g +Q f ) )
65	64	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) ) /\ p e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. ) ) -> ( f +Q g ) = ( g +Q f ) )
66		addassnqg 7214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( ( f +Q g ) +Q h ) = ( f +Q ( g +Q h ) ) )
67	66	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) ) /\ p e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) ) -> ( ( f +Q g ) +Q h ) = ( f +Q ( g +Q h ) ) )
68	49, 42, 48, 65, 67	caov12d 5960	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) ) /\ p e. Q. ) /\ q e. Q. ) -> ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) = ( p +Q ( ( F ` q ) +Q q ) ) )
69	63, 68	breq12d 3950	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) ) /\ p e. Q. ) /\ q e. Q. ) -> ( ( s +Q p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) <-> ( p +Q s ) <Q ( p +Q ( ( F ` q ) +Q q ) ) ) )
70	69	anbi1d 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) ) /\ p e. Q. ) /\ q e. Q. ) -> ( ( ( s +Q p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( ( F ` q ) +Q q ) <Q s ) <-> ( ( p +Q s ) <Q ( p +Q ( ( F ` q ) +Q q ) ) /\ ( ( F ` q ) +Q q ) <Q s ) ) )
71	61, 70	sylibd 148	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) ) /\ p e. Q. ) /\ q e. Q. ) -> ( ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( ( s +Q p ) <Q ( F ` p ) /\ ( ( F ` q ) +Q q ) <Q s ) ) -> ( ( p +Q s ) <Q ( p +Q ( ( F ` q ) +Q q ) ) /\ ( ( F ` q ) +Q q ) <Q s ) ) )
72		addclnq 7207	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` q ) e. Q. /\ q e. Q. ) -> ( ( F ` q ) +Q q ) e. Q. )
73	49, 48, 72	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) ) /\ p e. Q. ) /\ q e. Q. ) -> ( ( F ` q ) +Q q ) e. Q. )
74		ltanqg 7232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. Q. /\ ( ( F ` q ) +Q q ) e. Q. /\ p e. Q. ) -> ( s <Q ( ( F ` q ) +Q q ) <-> ( p +Q s ) <Q ( p +Q ( ( F ` q ) +Q q ) ) ) )
75	41, 73, 42, 74	syl3anc 1217	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) ) /\ p e. Q. ) /\ q e. Q. ) -> ( s <Q ( ( F ` q ) +Q q ) <-> ( p +Q s ) <Q ( p +Q ( ( F ` q ) +Q q ) ) ) )
76	75	anbi1d 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) ) /\ p e. Q. ) /\ q e. Q. ) -> ( ( s <Q ( ( F ` q ) +Q q ) /\ ( ( F ` q ) +Q q ) <Q s ) <-> ( ( p +Q s ) <Q ( p +Q ( ( F ` q ) +Q q ) ) /\ ( ( F ` q ) +Q q ) <Q s ) ) )
77	71, 76	sylibrd 168	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) ) /\ p e. Q. ) /\ q e. Q. ) -> ( ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( ( s +Q p ) <Q ( F ` p ) /\ ( ( F ` q ) +Q q ) <Q s ) ) -> ( s <Q ( ( F ` q ) +Q q ) /\ ( ( F ` q ) +Q q ) <Q s ) ) )
78		so2nr 4251	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <Q Or Q. /\ ( s e. Q. /\ ( ( F ` q ) +Q q ) e. Q. ) ) -> -. ( s <Q ( ( F ` q ) +Q q ) /\ ( ( F ` q ) +Q q ) <Q s ) )
79	54, 78	mpan 421	. . . . . . . . 9 |- ( ( s e. Q. /\ ( ( F ` q ) +Q q ) e. Q. ) -> -. ( s <Q ( ( F ` q ) +Q q ) /\ ( ( F ` q ) +Q q ) <Q s ) )
80	41, 73, 79	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) ) /\ p e. Q. ) /\ q e. Q. ) -> -. ( s <Q ( ( F ` q ) +Q q ) /\ ( ( F ` q ) +Q q ) <Q s ) )
81	80	pm2.21d 609	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) ) /\ p e. Q. ) /\ q e. Q. ) -> ( ( s <Q ( ( F ` q ) +Q q ) /\ ( ( F ` q ) +Q q ) <Q s ) -> F. ) )
82	77, 81	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) ) /\ p e. Q. ) /\ q e. Q. ) -> ( ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( ( s +Q p ) <Q ( F ` p ) /\ ( ( F ` q ) +Q q ) <Q s ) ) -> F. ) )
83	82	rexlimdva 2552	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) ) /\ p e. Q. ) -> ( E. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( ( s +Q p ) <Q ( F ` p ) /\ ( ( F ` q ) +Q q ) <Q s ) ) -> F. ) )
84	83	rexlimdva 2552	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) ) -> ( E. p e. Q. E. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( ( s +Q p ) <Q ( F ` p ) /\ ( ( F ` q ) +Q q ) <Q s ) ) -> F. ) )
85	35, 84	mpd 13	. . 3 |- ( ( ph /\ ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) ) -> F. )
86	85	inegd 1351	. 2 |- ( ph -> -. ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) )
87	86	ralrimivw 2509	1 |- ( ph -> A. s e. Q. -. ( s e. ( 1st ` L ) /\ s e. ( 2nd ` L ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1332   F. wfal 1337   e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   {crab 2421   <.cop 3535   class class class wbr 3937   Or wor 4225   -->wf 5127   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   1stc1st 6044   2ndc2nd 6045   Q.cnq 7112   +Q cplq 7114   <Q cltq 7117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-eprel 4219  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-oadd 6325  df-omul 6326  df-er 6437  df-ec 6439  df-qs 6443  df-ni 7136  df-pli 7137  df-mi 7138  df-lti 7139  df-plpq 7176  df-enq 7179  df-nqqs 7180  df-plqqs 7181  df-ltnqqs 7185

This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemcl  7485