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Theorem cauappcvgprlemdisj 7271
Description: Lemma for cauappcvgpr 7282. The putative limit is disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
cauappcvgpr.lim  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemdisj  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Q.  -.  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    L, p, q    ph, p, q    L, s    A, s, p    F, l, u, p, q, s    ph, s
Allowed substitution hints:    ph( u, l)    A( u, q, l)    L( u, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlemdisj
Dummy variables  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cauappcvgpr.app . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
2 simpl 108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) )  ->  ( F `  p )  <Q  ( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) ) )
32ralimi 2439 . . . . . . . 8  |-  ( A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) )  ->  A. q  e.  Q.  ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )
43ralimi 2439 . . . . . . 7  |-  ( A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  ( ( F `
 p )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) )  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e. 
Q.  ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )
51, 4syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  ( F `  p )  <Q  ( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) ) )
65adantr 271 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L
)  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e. 
Q.  ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )
7 oveq1 5673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  =  s  ->  (
l  +Q  q )  =  ( s  +Q  q ) )
87breq1d 3861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  s  ->  (
( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
98rexbidv 2382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  s  ->  ( E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
10 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . . . . . 13  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
1110fveq2i 5321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1st `  L )  =  ( 1st `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >. )
12 nqex 6983 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Q.  e.  _V
1312rabex 3989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) }  e.  _V
1412rabex 3989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u }  e.  _V
1513, 14op1st 5931 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1st `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u } >. )  =  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) }
1611, 15eqtri 2109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1st `  L )  =  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) }
179, 16elrab2 2775 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( 1st `  L
)  <->  ( s  e. 
Q.  /\  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
1817simprbi 270 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( 1st `  L
)  ->  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
)
19 oveq2 5674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  p  ->  (
s  +Q  q )  =  ( s  +Q  p ) )
20 fveq2 5318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  p  ->  ( F `  q )  =  ( F `  p ) )
2119, 20breq12d 3864 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  p  ->  (
( s  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  ( s  +Q  p )  <Q  ( F `  p )
) )
2221cbvrexv 2592 . . . . . . . . 9  |-  ( E. q  e.  Q.  (
s  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
)  <->  E. p  e.  Q.  ( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p ) )
2318, 22sylib 121 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( 1st `  L
)  ->  E. p  e.  Q.  ( s  +Q  p )  <Q  ( F `  p )
)
24 breq2 3855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  s  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u  <->  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )
2524rexbidv 2382 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  s  ->  ( E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u  <->  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
) )
2610fveq2i 5321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2nd `  L )  =  ( 2nd `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >. )
2713, 14op2nd 5932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2nd `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u } >. )  =  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u }
2826, 27eqtri 2109 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2nd `  L )  =  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u }
2925, 28elrab2 2775 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( 2nd `  L
)  <->  ( s  e. 
Q.  /\  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
) )
3029simprbi 270 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( 2nd `  L
)  ->  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
)
3123, 30anim12i 332 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L
) )  ->  ( E. p  e.  Q.  ( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p )  /\  E. q  e.  Q.  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )
32 reeanv 2537 . . . . . . 7  |-  ( E. p  e.  Q.  E. q  e.  Q.  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s )  <->  ( E. p  e.  Q.  (
s  +Q  p ) 
<Q  ( F `  p
)  /\  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
) )
3331, 32sylibr 133 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L
) )  ->  E. p  e.  Q.  E. q  e. 
Q.  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )
3433adantl 272 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L
)  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  ->  E. p  e.  Q.  E. q  e. 
Q.  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )
356, 34r19.29d2r 2513 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L
)  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  ->  E. p  e.  Q.  E. q  e. 
Q.  ( ( F `
 p )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p ) 
<Q  ( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) ) )
36 simprl 499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )  -> 
( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p ) )
37 simpl 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )  -> 
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) ) )
3836, 37jca 301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )  -> 
( ( s  +Q  p )  <Q  ( F `  p )  /\  ( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) ) ) )
3917simplbi 269 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  ( 1st `  L
)  ->  s  e.  Q. )
4039adantr 271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L
) )  ->  s  e.  Q. )
4140ad3antlr 478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  s  e.  Q. )
42 simplr 498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  p  e.  Q. )
43 addclnq 6995 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  e.  Q.  /\  p  e.  Q. )  ->  ( s  +Q  p
)  e.  Q. )
4441, 42, 43syl2anc 404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
s  +Q  p )  e.  Q. )
45 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
4645ad3antrrr 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  F : Q. --> Q. )
4746, 42ffvelrnd 5449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  ( F `  p )  e.  Q. )
48 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  q  e.  Q. )
4946, 48ffvelrnd 5449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  ( F `  q )  e.  Q. )
50 addclnq 6995 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e.  Q.  /\  q  e.  Q. )  ->  ( p  +Q  q
)  e.  Q. )
5142, 48, 50syl2anc 404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
p  +Q  q )  e.  Q. )
52 addclnq 6995 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  q
)  e.  Q.  /\  ( p  +Q  q
)  e.  Q. )  ->  ( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) )  e.  Q. )
5349, 51, 52syl2anc 404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  e.  Q. )
54 ltsonq 7018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <Q  Or  Q.
55 sotr 4154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
<Q  Or  Q.  /\  (
( s  +Q  p
)  e.  Q.  /\  ( F `  p )  e.  Q.  /\  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  e.  Q. ) )  ->  ( ( ( s  +Q  p ) 
<Q  ( F `  p
)  /\  ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )  ->  ( s  +Q  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) ) )
5654, 55mpan 416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( s  +Q  p
)  e.  Q.  /\  ( F `  p )  e.  Q.  /\  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  e.  Q. )  -> 
( ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )  ->  ( s  +Q  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) ) )
5744, 47, 53, 56syl3anc 1175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( s  +Q  p )  <Q  ( F `  p )  /\  ( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) ) )  -> 
( s  +Q  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) ) ) )
5838, 57syl5 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )  ->  (
s  +Q  p ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
59 simprr 500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )  -> 
( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  s )
6059a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )  ->  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )
6158, 60jcad 302 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )  ->  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) ) )
62 addcomnqg 7001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  Q.  /\  p  e.  Q. )  ->  ( s  +Q  p
)  =  ( p  +Q  s ) )
6341, 42, 62syl2anc 404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
s  +Q  p )  =  ( p  +Q  s ) )
64 addcomnqg 7001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )  ->  ( f  +Q  g
)  =  ( g  +Q  f ) )
6564adantl 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  (
f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )
)  ->  ( f  +Q  g )  =  ( g  +Q  f ) )
66 addassnqg 7002 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  (
( f  +Q  g
)  +Q  h )  =  ( f  +Q  ( g  +Q  h
) ) )
6766adantl 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  (
f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. ) )  -> 
( ( f  +Q  g )  +Q  h
)  =  ( f  +Q  ( g  +Q  h ) ) )
6849, 42, 48, 65, 67caov12d 5840 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  =  ( p  +Q  ( ( F `  q )  +Q  q
) ) )
6963, 68breq12d 3864 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  <->  ( p  +Q  s )  <Q  (
p  +Q  ( ( F `  q )  +Q  q ) ) ) )
7069anbi1d 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( s  +Q  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
)  <->  ( ( p  +Q  s )  <Q 
( p  +Q  (
( F `  q
)  +Q  q ) )  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q 
s ) ) )
7161, 70sylibd 148 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )  ->  (
( p  +Q  s
)  <Q  ( p  +Q  ( ( F `  q )  +Q  q
) )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) ) )
72 addclnq 6995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  q
)  e.  Q.  /\  q  e.  Q. )  ->  ( ( F `  q )  +Q  q
)  e.  Q. )
7349, 48, 72syl2anc 404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( F `  q
)  +Q  q )  e.  Q. )
74 ltanqg 7020 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  Q.  /\  ( ( F `  q )  +Q  q
)  e.  Q.  /\  p  e.  Q. )  ->  ( s  <Q  (
( F `  q
)  +Q  q )  <-> 
( p  +Q  s
)  <Q  ( p  +Q  ( ( F `  q )  +Q  q
) ) ) )
7541, 73, 42, 74syl3anc 1175 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
s  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <->  ( p  +Q  s )  <Q  (
p  +Q  ( ( F `  q )  +Q  q ) ) ) )
7675anbi1d 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( s  <Q  (
( F `  q
)  +Q  q )  /\  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
)  <->  ( ( p  +Q  s )  <Q 
( p  +Q  (
( F `  q
)  +Q  q ) )  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q 
s ) ) )
7771, 76sylibrd 168 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )  ->  (
s  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  q )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) ) )
78 so2nr 4157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
<Q  Or  Q.  /\  (
s  e.  Q.  /\  ( ( F `  q )  +Q  q
)  e.  Q. )
)  ->  -.  (
s  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  q )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )
7954, 78mpan 416 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  Q.  /\  ( ( F `  q )  +Q  q
)  e.  Q. )  ->  -.  ( s  <Q 
( ( F `  q )  +Q  q
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )
8041, 73, 79syl2anc 404 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  -.  ( s  <Q  (
( F `  q
)  +Q  q )  /\  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
) )
8180pm2.21d 585 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( s  <Q  (
( F `  q
)  +Q  q )  /\  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  s
)  -> F.  )
)
8277, 81syld 45 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  /\  p  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p )  <Q 
( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )  -> F.  ) )
8382rexlimdva 2490 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L
) ) )  /\  p  e.  Q. )  ->  ( E. q  e. 
Q.  ( ( F `
 p )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) )  /\  ( ( s  +Q  p ) 
<Q  ( F `  p
)  /\  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  s
) )  -> F.  ) )
8483rexlimdva 2490 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L
)  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  ->  ( E. p  e.  Q.  E. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  (
( s  +Q  p
)  <Q  ( F `  p )  /\  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  s ) )  -> F.  ) )
8535, 84mpd 13 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 1st `  L
)  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )  -> F.  )
8685inegd 1309 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( s  e.  ( 1st `  L
)  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )
8786ralrimivw 2448 1  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Q.  -.  ( s  e.  ( 1st `  L )  /\  s  e.  ( 2nd `  L ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 925    = wceq 1290   F. wfal 1295    e. wcel 1439   A.wral 2360   E.wrex 2361   {crab 2364   <.cop 3453   class class class wbr 3851    Or wor 4131   -->wf 5024   ` cfv 5028  (class class class)co 5666   1stc1st 5923   2ndc2nd 5924   Q.cnq 6900    +Q cplq 6902    <Q cltq 6905
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-eprel 4125  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-er 6306  df-ec 6308  df-qs 6312  df-ni 6924  df-pli 6925  df-mi 6926  df-lti 6927  df-plpq 6964  df-enq 6967  df-nqqs 6968  df-plqqs 6969  df-ltnqqs 6973
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemcl  7273
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