Theorem climlec2 11317

Description: Comparison of a constant to the limit of a sequence. (Contributed by NM, 28-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim2iser.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climlec2.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climlec2.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
climlec2.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐵)
climlec2.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
climlec2.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ≤ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climlec2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem climlec2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clim2iser.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climlec2.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climlec2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	recnd 7960	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5		0z 9237	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
6		uzssz 9520	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘0) ⊆ ℤ
7		zex 9235	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ V
8	6, 7	climconst2 11267	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (ℤ × {𝐴}) ⇝ 𝐴)
9	4, 5, 8	sylancl 413	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℤ × {𝐴}) ⇝ 𝐴)
10		climlec2.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐵)
11		eluzelz 9510	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
12	11, 1	eleq2s 2270	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
13		fvconst2g 5722	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((ℤ × {𝐴})‘𝑘) = 𝐴)
14	3, 12, 13	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((ℤ × {𝐴})‘𝑘) = 𝐴)
15	3	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
16	14, 15	eqeltrd 2252	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((ℤ × {𝐴})‘𝑘) ∈ ℝ)
17		climlec2.5	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
18		climlec2.6	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ≤ (𝐹‘𝑘))
19	14, 18	eqbrtrd 4020	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((ℤ × {𝐴})‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘))
20	1, 2, 9, 10, 16, 17, 19	climle 11310	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2146  {csn 3589   class class class wbr 3998   × cxp 4618  ‘cfv 5208  ℂcc 7784  ℝcr 7785  0cc0 7786   ≤ cle 7967  ℤcz 9226  ℤ_≥cuz 9501   ⇝ cli 11254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-rp 9625  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976  df-clim 11255

This theorem is referenced by:  climub  11320