ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climsubc2 GIF version

Theorem climsubc2 11230
Description: Limit of a constant 𝐶 minus each term of a sequence. (Contributed by NM, 24-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climadd.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climadd.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climadd.4 (𝜑𝐹𝐴)
climaddc1.5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
climaddc1.6 (𝜑𝐺𝑊)
climaddc1.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
climsubc2.h ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐶 − (𝐹𝑘)))
Assertion
Ref Expression
climsubc2 (𝜑𝐺 ⇝ (𝐶𝐴))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climsubc2
StepHypRef Expression
1 climadd.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climadd.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climaddc1.5 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 0z 9178 . . 3 0 ∈ ℤ
5 uzssz 9458 . . . 4 (ℤ‘0) ⊆ ℤ
6 zex 9176 . . . 4 ℤ ∈ V
75, 6climconst2 11188 . . 3 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (ℤ × {𝐶}) ⇝ 𝐶)
83, 4, 7sylancl 410 . 2 (𝜑 → (ℤ × {𝐶}) ⇝ 𝐶)
9 climaddc1.6 . 2 (𝜑𝐺𝑊)
10 climadd.4 . 2 (𝜑𝐹𝐴)
11 eluzelz 9448 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
1211, 1eleq2s 2252 . . . 4 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
13 fvconst2g 5681 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((ℤ × {𝐶})‘𝑘) = 𝐶)
143, 12, 13syl2an 287 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((ℤ × {𝐶})‘𝑘) = 𝐶)
153adantr 274 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐶 ∈ ℂ)
1614, 15eqeltrd 2234 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → ((ℤ × {𝐶})‘𝑘) ∈ ℂ)
17 climaddc1.7 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
18 climsubc2.h . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐶 − (𝐹𝑘)))
1914oveq1d 5839 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (((ℤ × {𝐶})‘𝑘) − (𝐹𝑘)) = (𝐶 − (𝐹𝑘)))
2018, 19eqtr4d 2193 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (((ℤ × {𝐶})‘𝑘) − (𝐹𝑘)))
211, 2, 8, 9, 10, 16, 17, 20climsub 11225 1 (𝜑𝐺 ⇝ (𝐶𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1335  wcel 2128  {csn 3560   class class class wbr 3965   × cxp 4584  cfv 5170  (class class class)co 5824  cc 7730  0cc0 7732  cmin 8046  cz 9167  cuz 9439  cli 11175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851  ax-caucvg 7852
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-frec 6338  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-rp 9561  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-cj 10742  df-re 10743  df-im 10744  df-rsqrt 10898  df-abs 10899  df-clim 11176
This theorem is referenced by:  trireciplem  11397  geolim  11408  geo2lim  11413
  Copyright terms: Public domain W3C validator