Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divalgmod Unicode version

Theorem divalgmod 11658
 Description: The result of the operator satisfies the requirements for the remainder in the division algorithm for a positive divisor (compare divalg2 11657 and divalgb 11656). This demonstration theorem justifies the use of to yield an explicit remainder from this point forward. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by AV, 21-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
divalgmod

Proof of Theorem divalgmod
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zq 9444 . . . . . . . 8
21adantr 274 . . . . . . 7
3 nnq 9451 . . . . . . . 8
43adantl 275 . . . . . . 7
5 simpr 109 . . . . . . . 8
65nngt0d 8787 . . . . . . 7
72, 4, 6modqcld 10131 . . . . . 6
8 snidg 3560 . . . . . 6
97, 8syl 14 . . . . 5
10 eleq1 2203 . . . . 5
119, 10syl5ibrcom 156 . . . 4
12 elsni 3549 . . . 4
1311, 12impbid1 141 . . 3
14 modqlt 10136 . . . . . . . . 9
152, 4, 6, 14syl3anc 1217 . . . . . . . 8
16 znq 9442 . . . . . . . . . 10
1716flqcld 10080 . . . . . . . . 9
18 nnz 9096 . . . . . . . . . 10
1918adantl 275 . . . . . . . . 9
20 zmodcl 10147 . . . . . . . . . . 11
2120nn0zd 9194 . . . . . . . . . 10
22 zsubcl 9118 . . . . . . . . . 10
2321, 22syldan 280 . . . . . . . . 9
24 nncn 8751 . . . . . . . . . . . 12
2524adantl 275 . . . . . . . . . . 11
2617zcnd 9197 . . . . . . . . . . 11
2725, 26mulcomd 7810 . . . . . . . . . 10
28 modqval 10127 . . . . . . . . . . . 12
292, 4, 6, 28syl3anc 1217 . . . . . . . . . . 11
3020nn0cnd 9055 . . . . . . . . . . . 12
31 zmulcl 9130 . . . . . . . . . . . . . 14
3218, 17, 31syl2an2 584 . . . . . . . . . . . . 13
3332zcnd 9197 . . . . . . . . . . . 12
34 zcn 9082 . . . . . . . . . . . . 13
3534adantr 274 . . . . . . . . . . . 12
3630, 33, 35subexsub 8157 . . . . . . . . . . 11
3729, 36mpbid 146 . . . . . . . . . 10
3827, 37eqtr3d 2175 . . . . . . . . 9
39 dvds0lem 11537 . . . . . . . . 9
4017, 19, 23, 38, 39syl31anc 1220 . . . . . . . 8
41 divalg2 11657 . . . . . . . . 9
42 breq1 3939 . . . . . . . . . . 11
43 oveq2 5789 . . . . . . . . . . . 12
4443breq2d 3948 . . . . . . . . . . 11
4542, 44anbi12d 465 . . . . . . . . . 10
4645riota2 5759 . . . . . . . . 9
4720, 41, 46syl2anc 409 . . . . . . . 8
4815, 40, 47mpbi2and 928 . . . . . . 7
4948eqcomd 2146 . . . . . 6
5049sneqd 3544 . . . . 5
51 snriota 5766 . . . . . 6
5241, 51syl 14 . . . . 5
5350, 52eqtr4d 2176 . . . 4
5453eleq2d 2210 . . 3
5513, 54bitrd 187 . 2
56 breq1 3939 . . . 4
57 oveq2 5789 . . . . 5
5857breq2d 3948 . . . 4
5956, 58anbi12d 465 . . 3
6059elrab 2843 . 2
6155, 60syl6bb 195 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1332   wcel 1481  wreu 2419  crab 2421  csn 3531   class class class wbr 3936  cfv 5130  crio 5736  (class class class)co 5781  cc 7641  cc0 7643   cmul 7648   clt 7823   cmin 7956   cdiv 8455  cn 8743  cn0 9000  cz 9077  cq 9437  cfl 10071   cmo 10125   cdvds 11527 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-q 9438  df-rp 9470  df-fl 10073  df-mod 10126  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-cj 10645  df-re 10646  df-im 10647  df-rsqrt 10801  df-abs 10802  df-dvds 11528 This theorem is referenced by:  divalgmodcl  11659
 Copyright terms: Public domain W3C validator