Theorem dvdsprm 12401

Description: An integer greater than or equal to 2 divides a prime number iff it is equal to it. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsprm	|- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. Prime ) -> ( N || P <-> N = P ) )

Proof of Theorem dvdsprm

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm4 12383	. . . . 5 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. ( ZZ>= ` 2 ) ( z || P -> z = P ) ) )
2	1	simprbi 275	. . . 4 |- ( P e. Prime -> A. z e. ( ZZ>= ` 2 ) ( z || P -> z = P ) )
3		breq1 4046	. . . . . 6 |- ( z = N -> ( z || P <-> N || P ) )
4		eqeq1 2211	. . . . . 6 |- ( z = N -> ( z = P <-> N = P ) )
5	3, 4	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( z = N -> ( ( z || P -> z = P ) <-> ( N || P -> N = P ) ) )
6	5	rspcv 2872	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A. z e. ( ZZ>= ` 2 ) ( z || P -> z = P ) -> ( N || P -> N = P ) ) )
7	2, 6	mpan9 281	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( N || P -> N = P ) )
8	7	ancoms 268	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. Prime ) -> ( N || P -> N = P ) )
9		eluzelz 9656	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. ZZ )
10		iddvds 12057	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N || N )
11		breq2 4047	. . . . 5 |- ( N = P -> ( N || N <-> N || P ) )
12	10, 11	syl5ibcom 155	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N = P -> N || P ) )
13	9, 12	syl 14	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N = P -> N || P ) )
14	13	adantr 276	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. Prime ) -> ( N = P -> N || P ) )
15	8, 14	impbid 129	1 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. Prime ) -> ( N || P <-> N = P ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1372   e. wcel 2175   A.wral 2483   class class class wbr 4043   ` cfv 5270   2c2 9086   ZZcz 9371   ZZ>=cuz 9647   || cdvds 12040   Primecprime 12371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043  ax-caucvg 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-frec 6476  df-1o 6501  df-2o 6502  df-er 6619  df-en 6827  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-rp 9775  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-cj 11095  df-re 11096  df-im 11097  df-rsqrt 11251  df-abs 11252  df-dvds 12041  df-prm 12372

This theorem is referenced by:  prmrp  12409  prmdvdsexpb  12413  oddprm  12524  4sqlem17  12672  lgsval2lem  15429  lgseisenlem4  15492  lgsquadlem1  15496  lgsquad2  15502  m1lgs  15504