Theorem isprm4 11836

Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 whose only divisor greater than or equal to 2 is itself. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
isprm4	|- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. ( ZZ>= ` 2 ) ( z || P -> z = P ) ) )

Distinct variable group:   z, P

Proof of Theorem isprm4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm2 11834	. 2 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
2		eluz2nn 9388	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> z e. NN )
3	2	pm4.71ri 390	. . . . . . 7 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( z e. NN /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
4	3	imbi1i 237	. . . . . 6 |- ( ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( z || P -> z = P ) ) <-> ( ( z e. NN /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( z || P -> z = P ) ) )
5		impexp 261	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. NN /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( z || P -> z = P ) ) <-> ( z e. NN -> ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( z || P -> z = P ) ) ) )
6	4, 5	bitri 183	. . . . 5 |- ( ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( z || P -> z = P ) ) <-> ( z e. NN -> ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( z || P -> z = P ) ) ) )
7		eluz2b3 9425	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( z e. NN /\ z =/= 1 ) )
8	7	imbi1i 237	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( z || P -> z = P ) ) <-> ( ( z e. NN /\ z =/= 1 ) -> ( z || P -> z = P ) ) )
9		impexp 261	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. NN /\ z =/= 1 ) -> ( z || P -> z = P ) ) <-> ( z e. NN -> ( z =/= 1 -> ( z || P -> z = P ) ) ) )
10		bi2.04 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z =/= 1 -> ( z || P -> z = P ) ) <-> ( z || P -> ( z =/= 1 -> z = P ) ) )
11		df-ne 2310	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z =/= 1 <-> -. z = 1 )
12	11	imbi1i 237	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z =/= 1 -> z = P ) <-> ( -. z = 1 -> z = P ) )
13		nnz 9097	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. NN -> z e. ZZ )
14		1zzd 9105	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. NN -> 1 e. ZZ )
15		zdceq 9150	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID z = 1 )
16	13, 14, 15	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. NN -> DECID z = 1 )
17		dfordc 878	. . . . . . . . . . . . 13 |- (DECID z = 1 -> ( ( z = 1 \/ z = P ) <-> ( -. z = 1 -> z = P ) ) )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. NN -> ( ( z = 1 \/ z = P ) <-> ( -. z = 1 -> z = P ) ) )
19	12, 18	bitr4id 198	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. NN -> ( ( z =/= 1 -> z = P ) <-> ( z = 1 \/ z = P ) ) )
20	19	imbi2d 229	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. NN -> ( ( z || P -> ( z =/= 1 -> z = P ) ) <-> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
21	10, 20	syl5bb 191	. . . . . . . . 9 |- ( z e. NN -> ( ( z =/= 1 -> ( z || P -> z = P ) ) <-> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
22	21	imbi2d 229	. . . . . . . 8 |- ( z e. NN -> ( ( z e. NN -> ( z =/= 1 -> ( z || P -> z = P ) ) ) <-> ( z e. NN -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) ) )
23	9, 22	syl5bb 191	. . . . . . 7 |- ( z e. NN -> ( ( ( z e. NN /\ z =/= 1 ) -> ( z || P -> z = P ) ) <-> ( z e. NN -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) ) )
24	8, 23	syl5bb 191	. . . . . 6 |- ( z e. NN -> ( ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( z || P -> z = P ) ) <-> ( z e. NN -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) ) )
25	24	pm5.74i 179	. . . . 5 |- ( ( z e. NN -> ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( z || P -> z = P ) ) ) <-> ( z e. NN -> ( z e. NN -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) ) )
26		pm5.4 248	. . . . 5 |- ( ( z e. NN -> ( z e. NN -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) ) <-> ( z e. NN -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
27	6, 25, 26	3bitri 205	. . . 4 |- ( ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( z || P -> z = P ) ) <-> ( z e. NN -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
28	27	ralbii2 2448	. . 3 |- ( A. z e. ( ZZ>= ` 2 ) ( z || P -> z = P ) <-> A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) )
29	28	anbi2i 453	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. ( ZZ>= ` 2 ) ( z || P -> z = P ) ) <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
30	1, 29	bitr4i 186	1 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. ( ZZ>= ` 2 ) ( z || P -> z = P ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1332   e. wcel 1481   =/= wne 2309   A.wral 2417   class class class wbr 3937   ` cfv 5131   1c1 7645   NNcn 8744   2c2 8795   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350   || cdvds 11529   Primecprime 11824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-1o 6321  df-2o 6322  df-er 6437  df-en 6643  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-dvds 11530  df-prm 11825

This theorem is referenced by:  nprm  11840  prmuz2  11847  dvdsprm  11853