Theorem dvdsrzring 15048

Description: Ring divisibility in the ring of integers corresponds to ordinary divisibility in ℤ. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsrzring	⊢ ∥ = (∥r‘ℤring)

Proof of Theorem dvdsrzring

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
2	1	anim1i 340	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦))
3		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ ℤ)
4		zmulcl 9710	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝑥) ∈ ℤ)
5	4	ancoms 268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝑥) ∈ ℤ)
6		eleq1 2301	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 · 𝑥) = 𝑦 → ((𝑧 · 𝑥) ∈ ℤ ↔ 𝑦 ∈ ℤ))
7	5, 6	syl5ibcom 155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 · 𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ℤ))
8	7	rexlimdva 2668	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ℤ))
9	8	imp 124	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℤ)
10		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)
11	3, 9, 10	jca31 309	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦))
12	2, 11	impbii 126	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦))
13	12	opabbii 4199	. 2 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}
14		df-dvds 12581	. 2 ⊢ ∥ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}
15		zringbas 15041	. . . . 5 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
16	15	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℤ = (Base‘ℤring))
17		eqidd 2239	. . . 4 ⊢ (⊤ → (∥r‘ℤring) = (∥r‘ℤring))
18		zringring 15038	. . . . 5 ⊢ ℤring ∈ Ring
19		ringsrg 14460	. . . . 5 ⊢ (ℤring ∈ Ring → ℤring ∈ SRing)
20	18, 19	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℤring ∈ SRing)
21		zringmulr 15044	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘ℤring)
22	21	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → · = (.r‘ℤring))
23	16, 17, 20, 22	dvdsrvald 14510	. . 3 ⊢ (⊤ → (∥r‘ℤring) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)})
24	23	mptru 1411	. 2 ⊢ (∥r‘ℤring) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}
25	13, 14, 24	3eqtr4i 2269	1 ⊢ ∥ = (∥r‘ℤring)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   = wceq 1402  ⊤wtru 1403   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  {copab 4192  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   · cmul 8191  ℤcz 9656   ∥ cdvds 12580  Basecbs 13411  ._rcmulr 13492  SRingcsrg 14375  Ringcrg 14408  ∥_rcdsr 14502  ℤ_ringczring 15035

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-addf 8308  ax-mulf 8309

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9657  df-dec 9790  df-uz 9939  df-rp 10073  df-fz 10430  df-cj 11630  df-abs 11788  df-dvds 12581  df-struct 13413  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-sets 13418  df-iress 13419  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-starv 13506  df-tset 13510  df-ple 13511  df-ds 13513  df-unif 13514  df-0g 13672  df-topgen 13674  df-mgm 13736  df-sgrp 13777  df-mnd 13790  df-grp 13868  df-minusg 13869  df-subg 14033  df-cmn 14180  df-abl 14181  df-mgp 14326  df-ur 14371  df-srg 14376  df-ring 14410  df-cring 14411  df-dvdsr 14505  df-subrg 14637  df-bl 14993  df-mopn 14994  df-fg 14996  df-metu 14997  df-cnfld 15004  df-zring 15036

This theorem is used by:  zndvds  15094