Theorem dvdsrzring 14940

Description: Ring divisibility in the ring of integers corresponds to ordinary divisibility in ℤ. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsrzring	⊢ ∥ = (∥r‘ℤring)

Proof of Theorem dvdsrzring

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
2	1	anim1i 340	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦))
3		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ ℤ)
4		zmulcl 9700	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝑥) ∈ ℤ)
5	4	ancoms 268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝑥) ∈ ℤ)
6		eleq1 2301	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 · 𝑥) = 𝑦 → ((𝑧 · 𝑥) ∈ ℤ ↔ 𝑦 ∈ ℤ))
7	5, 6	syl5ibcom 155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 · 𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ℤ))
8	7	rexlimdva 2668	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ℤ))
9	8	imp 124	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℤ)
10		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)
11	3, 9, 10	jca31 309	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦))
12	2, 11	impbii 126	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦))
13	12	opabbii 4198	. 2 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}
14		df-dvds 12557	. 2 ⊢ ∥ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}
15		zringbas 14933	. . . . 5 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
16	15	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℤ = (Base‘ℤring))
17		eqidd 2239	. . . 4 ⊢ (⊤ → (∥r‘ℤring) = (∥r‘ℤring))
18		zringring 14930	. . . . 5 ⊢ ℤring ∈ Ring
19		ringsrg 14354	. . . . 5 ⊢ (ℤring ∈ Ring → ℤring ∈ SRing)
20	18, 19	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℤring ∈ SRing)
21		zringmulr 14936	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘ℤring)
22	21	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → · = (.r‘ℤring))
23	16, 17, 20, 22	dvdsrvald 14402	. . 3 ⊢ (⊤ → (∥r‘ℤring) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)})
24	23	mptru 1411	. 2 ⊢ (∥r‘ℤring) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}
25	13, 14, 24	3eqtr4i 2269	1 ⊢ ∥ = (∥r‘ℤring)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   = wceq 1402  ⊤wtru 1403   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  {copab 4191  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085   · cmul 8184  ℤcz 9646   ∥ cdvds 12556  Basecbs 13354  ._rcmulr 13434  SRingcsrg 14269  Ringcrg 14302  ∥_rcdsr 14394  ℤ_ringczring 14927

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-addf 8301  ax-mulf 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-z 9647  df-dec 9780  df-uz 9924  df-rp 10057  df-fz 10414  df-cj 11609  df-abs 11767  df-dvds 12557  df-struct 13356  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-sets 13361  df-iress 13362  df-plusg 13446  df-mulr 13447  df-starv 13448  df-tset 13452  df-ple 13453  df-ds 13455  df-unif 13456  df-0g 13614  df-topgen 13616  df-mgm 13678  df-sgrp 13719  df-mnd 13732  df-grp 13810  df-minusg 13811  df-subg 13975  df-cmn 14091  df-abl 14092  df-mgp 14220  df-ur 14265  df-srg 14270  df-ring 14304  df-cring 14305  df-dvdsr 14397  df-subrg 14529  df-bl 14885  df-mopn 14886  df-fg 14888  df-metu 14889  df-cnfld 14896  df-zring 14928

This theorem is used by:  zndvds  14986