Theorem dvdsrzring 14588

Description: Ring divisibility in the ring of integers corresponds to ordinary divisibility in ℤ. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsrzring	⊢ ∥ = (∥r‘ℤring)

Proof of Theorem dvdsrzring

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
2	1	anim1i 340	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦))
3		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ ℤ)
4		zmulcl 9516	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝑥) ∈ ℤ)
5	4	ancoms 268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝑥) ∈ ℤ)
6		eleq1 2292	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 · 𝑥) = 𝑦 → ((𝑧 · 𝑥) ∈ ℤ ↔ 𝑦 ∈ ℤ))
7	5, 6	syl5ibcom 155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 · 𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ℤ))
8	7	rexlimdva 2648	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ℤ))
9	8	imp 124	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℤ)
10		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)
11	3, 9, 10	jca31 309	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦))
12	2, 11	impbii 126	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦))
13	12	opabbii 4151	. 2 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}
14		df-dvds 12320	. 2 ⊢ ∥ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}
15		zringbas 14581	. . . . 5 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
16	15	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℤ = (Base‘ℤring))
17		eqidd 2230	. . . 4 ⊢ (⊤ → (∥r‘ℤring) = (∥r‘ℤring))
18		zringring 14578	. . . . 5 ⊢ ℤring ∈ Ring
19		ringsrg 14031	. . . . 5 ⊢ (ℤring ∈ Ring → ℤring ∈ SRing)
20	18, 19	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℤring ∈ SRing)
21		zringmulr 14584	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘ℤring)
22	21	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → · = (.r‘ℤring))
23	16, 17, 20, 22	dvdsrvald 14078	. . 3 ⊢ (⊤ → (∥r‘ℤring) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)})
24	23	mptru 1404	. 2 ⊢ (∥r‘ℤring) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}
25	13, 14, 24	3eqtr4i 2260	1 ⊢ ∥ = (∥r‘ℤring)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1395  ⊤wtru 1396   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509  {copab 4144  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010   · cmul 8020  ℤcz 9462   ∥ cdvds 12319  Basecbs 13053  ._rcmulr 13132  SRingcsrg 13947  Ringcrg 13980  ∥_rcdsr 14070  ℤ_ringczring 14575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-addf 8137  ax-mulf 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-z 9463  df-dec 9595  df-uz 9739  df-rp 9867  df-fz 10222  df-cj 11374  df-abs 11531  df-dvds 12320  df-struct 13055  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-sets 13060  df-iress 13061  df-plusg 13144  df-mulr 13145  df-starv 13146  df-tset 13150  df-ple 13151  df-ds 13153  df-unif 13154  df-0g 13312  df-topgen 13314  df-mgm 13410  df-sgrp 13456  df-mnd 13471  df-grp 13557  df-minusg 13558  df-subg 13728  df-cmn 13844  df-abl 13845  df-mgp 13905  df-ur 13944  df-srg 13948  df-ring 13982  df-cring 13983  df-dvdsr 14073  df-subrg 14204  df-bl 14531  df-mopn 14532  df-fg 14534  df-metu 14535  df-cnfld 14542  df-zring 14576

This theorem is referenced by:  zndvds  14634