Theorem elreal 8189

Description: Membership in class of real numbers. (Contributed by NM, 31-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
elreal	⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elreal

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-r 8183	. . 3 ⊢ ℝ = (R × {0R})
2	1	eleq2i 2305	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ (R × {0R}))
3		elxp2 4790	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (R × {0R}) ↔ ∃𝑥 ∈ R ∃𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
4		0r 8111	. . . . . . 7 ⊢ 0R ∈ R
5	4	elexi 2834	. . . . . 6 ⊢ 0R ∈ V
6		opeq2 3903	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0R → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 0R⟩)
7	6	eqeq2d 2250	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0R → (𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝐴 = ⟨𝑥, 0R⟩))
8	5, 7	rexsn 3752	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝐴 = ⟨𝑥, 0R⟩)
9		eqcom 2240	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ⟨𝑥, 0R⟩ ↔ ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
10	8, 9	bitri 184	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
11	10	rexbii 2557	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ R ∃𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
12	3, 11	bitri 184	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (R × {0R}) ↔ ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
13	2, 12	bitri 184	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  {csn 3708  ⟨cop 3711   × cxp 4770  Rcnr 7658  0_Rc0r 7659  ℝcr 8172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-eprel 4432  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-1o 6681  df-oadd 6685  df-omul 6686  df-er 6801  df-ec 6803  df-qs 6807  df-ni 7665  df-pli 7666  df-mi 7667  df-lti 7668  df-plpq 7705  df-mpq 7706  df-enq 7708  df-nqqs 7709  df-plqqs 7710  df-mqqs 7711  df-1nqqs 7712  df-rq 7713  df-ltnqqs 7714  df-inp 7827  df-i1p 7828  df-enr 8087  df-nr 8088  df-0r 8092  df-r 8183

This theorem is referenced by:  elrealeu  8190  axaddrcl  8226  axmulrcl  8228  axprecex  8241  axpre-ltirr  8243  axpre-ltwlin  8244  axpre-lttrn  8245  axpre-apti  8246  axpre-ltadd  8247  axpre-mulgt0  8248  axpre-mulext  8249  axarch  8252  axcaucvglemres  8260