ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elreal GIF version

Theorem elreal 7427
Description: Membership in class of real numbers. (Contributed by NM, 31-Mar-1996.)
Assertion
Ref Expression
elreal (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elreal
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-r 7421 . . 3 ℝ = (R × {0R})
21eleq2i 2155 . 2 (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ (R × {0R}))
3 elxp2 4470 . . 3 (𝐴 ∈ (R × {0R}) ↔ ∃𝑥R𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
4 0r 7357 . . . . . . 7 0RR
54elexi 2632 . . . . . 6 0R ∈ V
6 opeq2 3629 . . . . . . 7 (𝑦 = 0R → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 0R⟩)
76eqeq2d 2100 . . . . . 6 (𝑦 = 0R → (𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝐴 = ⟨𝑥, 0R⟩))
85, 7rexsn 3491 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝐴 = ⟨𝑥, 0R⟩)
9 eqcom 2091 . . . . 5 (𝐴 = ⟨𝑥, 0R⟩ ↔ ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
108, 9bitri 183 . . . 4 (∃𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
1110rexbii 2386 . . 3 (∃𝑥R𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
123, 11bitri 183 . 2 (𝐴 ∈ (R × {0R}) ↔ ∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
132, 12bitri 183 1 (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 104   = wceq 1290  wcel 1439  wrex 2361  {csn 3450  cop 3453   × cxp 4450  Rcnr 6917  0Rc0r 6918  cr 7410
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-eprel 4125  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-1o 6195  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-er 6306  df-ec 6308  df-qs 6312  df-ni 6924  df-pli 6925  df-mi 6926  df-lti 6927  df-plpq 6964  df-mpq 6965  df-enq 6967  df-nqqs 6968  df-plqqs 6969  df-mqqs 6970  df-1nqqs 6971  df-rq 6972  df-ltnqqs 6973  df-inp 7086  df-i1p 7087  df-enr 7333  df-nr 7334  df-0r 7338  df-r 7421
This theorem is referenced by:  elrealeu  7428  axaddrcl  7463  axmulrcl  7465  axprecex  7476  axpre-ltirr  7478  axpre-ltwlin  7479  axpre-lttrn  7480  axpre-apti  7481  axpre-ltadd  7482  axpre-mulgt0  7483  axpre-mulext  7484  axarch  7487  axcaucvglemres  7495
  Copyright terms: Public domain W3C validator