ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elreal GIF version

Theorem elreal 7650
Description: Membership in class of real numbers. (Contributed by NM, 31-Mar-1996.)
Assertion
Ref Expression
elreal (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elreal
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-r 7644 . . 3 ℝ = (R × {0R})
21eleq2i 2206 . 2 (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ (R × {0R}))
3 elxp2 4557 . . 3 (𝐴 ∈ (R × {0R}) ↔ ∃𝑥R𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
4 0r 7572 . . . . . . 7 0RR
54elexi 2698 . . . . . 6 0R ∈ V
6 opeq2 3706 . . . . . . 7 (𝑦 = 0R → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 0R⟩)
76eqeq2d 2151 . . . . . 6 (𝑦 = 0R → (𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝐴 = ⟨𝑥, 0R⟩))
85, 7rexsn 3568 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝐴 = ⟨𝑥, 0R⟩)
9 eqcom 2141 . . . . 5 (𝐴 = ⟨𝑥, 0R⟩ ↔ ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
108, 9bitri 183 . . . 4 (∃𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
1110rexbii 2442 . . 3 (∃𝑥R𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
123, 11bitri 183 . 2 (𝐴 ∈ (R × {0R}) ↔ ∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
132, 12bitri 183 1 (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480  wrex 2417  {csn 3527  cop 3530   × cxp 4537  Rcnr 7119  0Rc0r 7120  cr 7633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7126  df-pli 7127  df-mi 7128  df-lti 7129  df-plpq 7166  df-mpq 7167  df-enq 7169  df-nqqs 7170  df-plqqs 7171  df-mqqs 7172  df-1nqqs 7173  df-rq 7174  df-ltnqqs 7175  df-inp 7288  df-i1p 7289  df-enr 7548  df-nr 7549  df-0r 7553  df-r 7644
This theorem is referenced by:  elrealeu  7651  axaddrcl  7687  axmulrcl  7689  axprecex  7702  axpre-ltirr  7704  axpre-ltwlin  7705  axpre-lttrn  7706  axpre-apti  7707  axpre-ltadd  7708  axpre-mulgt0  7709  axpre-mulext  7710  axarch  7713  axcaucvglemres  7721
  Copyright terms: Public domain W3C validator