ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elreal GIF version

Theorem elreal 7302
Description: Membership in class of real numbers. (Contributed by NM, 31-Mar-1996.)
Assertion
Ref Expression
elreal (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elreal
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-r 7296 . . 3 ℝ = (R × {0R})
21eleq2i 2151 . 2 (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ (R × {0R}))
3 elxp2 4427 . . 3 (𝐴 ∈ (R × {0R}) ↔ ∃𝑥R𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
4 0r 7232 . . . . . . 7 0RR
54elexi 2625 . . . . . 6 0R ∈ V
6 opeq2 3605 . . . . . . 7 (𝑦 = 0R → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 0R⟩)
76eqeq2d 2096 . . . . . 6 (𝑦 = 0R → (𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝐴 = ⟨𝑥, 0R⟩))
85, 7rexsn 3469 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝐴 = ⟨𝑥, 0R⟩)
9 eqcom 2087 . . . . 5 (𝐴 = ⟨𝑥, 0R⟩ ↔ ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
108, 9bitri 182 . . . 4 (∃𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
1110rexbii 2381 . . 3 (∃𝑥R𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
123, 11bitri 182 . 2 (𝐴 ∈ (R × {0R}) ↔ ∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
132, 12bitri 182 1 (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 103   = wceq 1287  wcel 1436  wrex 2356  {csn 3430  cop 3433   × cxp 4407  Rcnr 6792  0Rc0r 6793  cr 7285
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3927  ax-sep 3930  ax-nul 3938  ax-pow 3982  ax-pr 4008  ax-un 4232  ax-setind 4324  ax-iinf 4374
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3416  df-sn 3436  df-pr 3437  df-op 3439  df-uni 3636  df-int 3671  df-iun 3714  df-br 3820  df-opab 3874  df-mpt 3875  df-tr 3910  df-eprel 4088  df-id 4092  df-po 4095  df-iso 4096  df-iord 4165  df-on 4167  df-suc 4170  df-iom 4377  df-xp 4415  df-rel 4416  df-cnv 4417  df-co 4418  df-dm 4419  df-rn 4420  df-res 4421  df-ima 4422  df-iota 4942  df-fun 4979  df-fn 4980  df-f 4981  df-f1 4982  df-fo 4983  df-f1o 4984  df-fv 4985  df-ov 5609  df-oprab 5610  df-mpt2 5611  df-1st 5861  df-2nd 5862  df-recs 6017  df-irdg 6082  df-1o 6128  df-oadd 6132  df-omul 6133  df-er 6237  df-ec 6239  df-qs 6243  df-ni 6799  df-pli 6800  df-mi 6801  df-lti 6802  df-plpq 6839  df-mpq 6840  df-enq 6842  df-nqqs 6843  df-plqqs 6844  df-mqqs 6845  df-1nqqs 6846  df-rq 6847  df-ltnqqs 6848  df-inp 6961  df-i1p 6962  df-enr 7208  df-nr 7209  df-0r 7213  df-r 7296
This theorem is referenced by:  elrealeu  7303  axaddrcl  7338  axmulrcl  7340  axprecex  7351  axpre-ltirr  7353  axpre-ltwlin  7354  axpre-lttrn  7355  axpre-apti  7356  axpre-ltadd  7357  axpre-mulgt0  7358  axpre-mulext  7359  axarch  7362  axcaucvglemres  7370
  Copyright terms: Public domain W3C validator