Theorem prmdvdsfz 11855

Description: Each integer greater than 1 and less then or equal to a fixed number is divisible by a prime less then or equal to this fixed number. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsfz	|- ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) -> E. p e. Prime ( p <_ N /\ p || I ) )

Distinct variable groups:   I, p   N, p

Proof of Theorem prmdvdsfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 9833	. . . 4 |- ( I e. ( 2 ... N ) -> I e. ( ZZ>= ` 2 ) )
2	1	adantl 275	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) -> I e. ( ZZ>= ` 2 ) )
3		exprmfct 11854	. . 3 |- ( I e. ( ZZ>= ` 2 ) -> E. p e. Prime p || I )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) -> E. p e. Prime p || I )
5		prmz 11828	. . . . . 6 |- ( p e. Prime -> p e. ZZ )
6		eluz2nn 9388	. . . . . . . 8 |- ( I e. ( ZZ>= ` 2 ) -> I e. NN )
7	1, 6	syl 14	. . . . . . 7 |- ( I e. ( 2 ... N ) -> I e. NN )
8	7	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) -> I e. NN )
9		dvdsle 11578	. . . . . 6 |- ( ( p e. ZZ /\ I e. NN ) -> ( p || I -> p <_ I ) )
10	5, 8, 9	syl2anr 288	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( p || I -> p <_ I ) )
11		elfzle2 9839	. . . . . . 7 |- ( I e. ( 2 ... N ) -> I <_ N )
12	11	ad2antlr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) /\ p e. Prime ) -> I <_ N )
13	5	zred 9197	. . . . . . . 8 |- ( p e. Prime -> p e. RR )
14	13	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) /\ p e. Prime ) -> p e. RR )
15		elfzelz 9837	. . . . . . . . 9 |- ( I e. ( 2 ... N ) -> I e. ZZ )
16	15	zred 9197	. . . . . . . 8 |- ( I e. ( 2 ... N ) -> I e. RR )
17	16	ad2antlr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) /\ p e. Prime ) -> I e. RR )
18		nnre 8751	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. RR )
19	18	ad2antrr 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) /\ p e. Prime ) -> N e. RR )
20		letr 7871	. . . . . . 7 |- ( ( p e. RR /\ I e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( p <_ I /\ I <_ N ) -> p <_ N ) )
21	14, 17, 19, 20	syl3anc 1217	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p <_ I /\ I <_ N ) -> p <_ N ) )
22	12, 21	mpan2d 425	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( p <_ I -> p <_ N ) )
23	10, 22	syld 45	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( p || I -> p <_ N ) )
24	23	ancrd 324	. . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( p || I -> ( p <_ N /\ p || I ) ) )
25	24	reximdva 2537	. 2 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) -> ( E. p e. Prime p || I -> E. p e. Prime ( p <_ N /\ p || I ) ) )
26	4, 25	mpd 13	1 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) -> E. p e. Prime ( p <_ N /\ p || I ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1481   E.wrex 2418   class class class wbr 3937   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   RRcr 7643   <_ cle 7825   NNcn 8744   2c2 8795   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350   ...cfz 9821   || cdvds 11529   Primecprime 11824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-1o 6321  df-2o 6322  df-er 6437  df-en 6643  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-fl 10074  df-mod 10127  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-dvds 11530  df-prm 11825

This theorem is referenced by: (None)