Theorem prmdvdsfz 12142

Description: Each integer greater than 1 and less then or equal to a fixed number is divisible by a prime less then or equal to this fixed number. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsfz	|- ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) -> E. p e. Prime ( p <_ N /\ p || I ) )

Distinct variable groups:   I, p   N, p

Proof of Theorem prmdvdsfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10024	. . . 4 |- ( I e. ( 2 ... N ) -> I e. ( ZZ>= ` 2 ) )
2	1	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) -> I e. ( ZZ>= ` 2 ) )
3		exprmfct 12141	. . 3 |- ( I e. ( ZZ>= ` 2 ) -> E. p e. Prime p || I )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) -> E. p e. Prime p || I )
5		prmz 12114	. . . . . 6 |- ( p e. Prime -> p e. ZZ )
6		eluz2nn 9569	. . . . . . . 8 |- ( I e. ( ZZ>= ` 2 ) -> I e. NN )
7	1, 6	syl 14	. . . . . . 7 |- ( I e. ( 2 ... N ) -> I e. NN )
8	7	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) -> I e. NN )
9		dvdsle 11853	. . . . . 6 |- ( ( p e. ZZ /\ I e. NN ) -> ( p || I -> p <_ I ) )
10	5, 8, 9	syl2anr 290	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( p || I -> p <_ I ) )
11		elfzle2 10031	. . . . . . 7 |- ( I e. ( 2 ... N ) -> I <_ N )
12	11	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) /\ p e. Prime ) -> I <_ N )
13	5	zred 9378	. . . . . . . 8 |- ( p e. Prime -> p e. RR )
14	13	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) /\ p e. Prime ) -> p e. RR )
15		elfzelz 10028	. . . . . . . . 9 |- ( I e. ( 2 ... N ) -> I e. ZZ )
16	15	zred 9378	. . . . . . . 8 |- ( I e. ( 2 ... N ) -> I e. RR )
17	16	ad2antlr 489	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) /\ p e. Prime ) -> I e. RR )
18		nnre 8929	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. RR )
19	18	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) /\ p e. Prime ) -> N e. RR )
20		letr 8043	. . . . . . 7 |- ( ( p e. RR /\ I e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( p <_ I /\ I <_ N ) -> p <_ N ) )
21	14, 17, 19, 20	syl3anc 1238	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p <_ I /\ I <_ N ) -> p <_ N ) )
22	12, 21	mpan2d 428	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( p <_ I -> p <_ N ) )
23	10, 22	syld 45	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( p || I -> p <_ N ) )
24	23	ancrd 326	. . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) /\ p e. Prime ) -> ( p || I -> ( p <_ N /\ p || I ) ) )
25	24	reximdva 2579	. 2 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) -> ( E. p e. Prime p || I -> E. p e. Prime ( p <_ N /\ p || I ) ) )
26	4, 25	mpd 13	1 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 2 ... N ) ) -> E. p e. Prime ( p <_ N /\ p || I ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   E.wrex 2456   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5878   RRcr 7813   <_ cle 7996   NNcn 8922   2c2 8973   ZZcz 9256   ZZ>=cuz 9531   ...cfz 10011   || cdvds 11797   Primecprime 12110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-1o 6420  df-2o 6421  df-er 6538  df-en 6744  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-fl 10273  df-mod 10326  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-dvds 11798  df-prm 12111

This theorem is referenced by: (None)