Theorem ex-bc 16148

Description: Example for df-bc 10982. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-bc	|- ( 5 _C 3 ) = ; 1 0

Proof of Theorem ex-bc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9183	. . 3 |- 5 = ( 4 + 1 )
2	1	oveq1i 6017	. 2 |- ( 5 _C 3 ) = ( ( 4 + 1 ) _C 3 )
3		4bc3eq4 11007	. . . 4 |- ( 4 _C 3 ) = 4
4		3m1e2 9241	. . . . . 6 |- ( 3 - 1 ) = 2
5	4	oveq2i 6018	. . . . 5 |- ( 4 _C ( 3 - 1 ) ) = ( 4 _C 2 )
6		4bc2eq6 11008	. . . . 5 |- ( 4 _C 2 ) = 6
7	5, 6	eqtri 2250	. . . 4 |- ( 4 _C ( 3 - 1 ) ) = 6
8	3, 7	oveq12i 6019	. . 3 |- ( ( 4 _C 3 ) + ( 4 _C ( 3 - 1 ) ) ) = ( 4 + 6 )
9		4nn0 9399	. . . 4 |- 4 e. NN0
10		3z 9486	. . . 4 |- 3 e. ZZ
11		bcpasc 11000	. . . 4 |- ( ( 4 e. NN0 /\ 3 e. ZZ ) -> ( ( 4 _C 3 ) + ( 4 _C ( 3 - 1 ) ) ) = ( ( 4 + 1 ) _C 3 ) )
12	9, 10, 11	mp2an 426	. . 3 |- ( ( 4 _C 3 ) + ( 4 _C ( 3 - 1 ) ) ) = ( ( 4 + 1 ) _C 3 )
13		6cn 9203	. . . 4 |- 6 e. CC
14		4cn 9199	. . . 4 |- 4 e. CC
15		6p4e10 9660	. . . 4 |- ( 6 + 4 ) = ; 1 0
16	13, 14, 15	addcomli 8302	. . 3 |- ( 4 + 6 ) = ; 1 0
17	8, 12, 16	3eqtr3i 2258	. 2 |- ( ( 4 + 1 ) _C 3 ) = ; 1 0
18	2, 17	eqtri 2250	1 |- ( 5 _C 3 ) = ; 1 0

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6007   0cc0 8010   1c1 8011   + caddc 8013   - cmin 8328   2c2 9172   3c3 9173   4c4 9174   5c5 9175   6c6 9176   NN0cn0 9380   ZZcz 9457  ;cdc 9589   _C cbc 10981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-9 9187  df-n0 9381  df-z 9458  df-dec 9590  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-fz 10217  df-seqfrec 10682  df-fac 10960  df-bc 10982

This theorem is referenced by: (None)