Theorem ex-bc 13243

Description: Example for df-bc 10599. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-bc	|- ( 5 _C 3 ) = ; 1 0

Proof of Theorem ex-bc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 8874	. . 3 |- 5 = ( 4 + 1 )
2	1	oveq1i 5824	. 2 |- ( 5 _C 3 ) = ( ( 4 + 1 ) _C 3 )
3		4bc3eq4 10624	. . . 4 |- ( 4 _C 3 ) = 4
4		3m1e2 8932	. . . . . 6 |- ( 3 - 1 ) = 2
5	4	oveq2i 5825	. . . . 5 |- ( 4 _C ( 3 - 1 ) ) = ( 4 _C 2 )
6		4bc2eq6 10625	. . . . 5 |- ( 4 _C 2 ) = 6
7	5, 6	eqtri 2175	. . . 4 |- ( 4 _C ( 3 - 1 ) ) = 6
8	3, 7	oveq12i 5826	. . 3 |- ( ( 4 _C 3 ) + ( 4 _C ( 3 - 1 ) ) ) = ( 4 + 6 )
9		4nn0 9088	. . . 4 |- 4 e. NN0
10		3z 9175	. . . 4 |- 3 e. ZZ
11		bcpasc 10617	. . . 4 |- ( ( 4 e. NN0 /\ 3 e. ZZ ) -> ( ( 4 _C 3 ) + ( 4 _C ( 3 - 1 ) ) ) = ( ( 4 + 1 ) _C 3 ) )
12	9, 10, 11	mp2an 423	. . 3 |- ( ( 4 _C 3 ) + ( 4 _C ( 3 - 1 ) ) ) = ( ( 4 + 1 ) _C 3 )
13		6cn 8894	. . . 4 |- 6 e. CC
14		4cn 8890	. . . 4 |- 4 e. CC
15		6p4e10 9345	. . . 4 |- ( 6 + 4 ) = ; 1 0
16	13, 14, 15	addcomli 7999	. . 3 |- ( 4 + 6 ) = ; 1 0
17	8, 12, 16	3eqtr3i 2183	. 2 |- ( ( 4 + 1 ) _C 3 ) = ; 1 0
18	2, 17	eqtri 2175	1 |- ( 5 _C 3 ) = ; 1 0

Syntax hints:   = wceq 1332   e. wcel 2125  (class class class)co 5814   0cc0 7711   1c1 7712   + caddc 7714   - cmin 8025   2c2 8863   3c3 8864   4c4 8865   5c5 8866   6c6 8867   NN0cn0 9069   ZZcz 9146  ;cdc 9274   _C cbc 10598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-frec 6328  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-2 8871  df-3 8872  df-4 8873  df-5 8874  df-6 8875  df-7 8876  df-8 8877  df-9 8878  df-n0 9070  df-z 9147  df-dec 9275  df-uz 9419  df-q 9507  df-rp 9539  df-fz 9891  df-seqfrec 10323  df-fac 10577  df-bc 10599

This theorem is referenced by: (None)