ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ex-bc Unicode version

Theorem ex-bc 12743
Description: Example for df-bc 10434. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-bc  |-  ( 5  _C  3 )  = ; 1
0

Proof of Theorem ex-bc
StepHypRef Expression
1 df-5 8739 . . 3  |-  5  =  ( 4  +  1 )
21oveq1i 5750 . 2  |-  ( 5  _C  3 )  =  ( ( 4  +  1 )  _C  3
)
3 4bc3eq4 10459 . . . 4  |-  ( 4  _C  3 )  =  4
4 3m1e2 8797 . . . . . 6  |-  ( 3  -  1 )  =  2
54oveq2i 5751 . . . . 5  |-  ( 4  _C  ( 3  -  1 ) )  =  ( 4  _C  2
)
6 4bc2eq6 10460 . . . . 5  |-  ( 4  _C  2 )  =  6
75, 6eqtri 2136 . . . 4  |-  ( 4  _C  ( 3  -  1 ) )  =  6
83, 7oveq12i 5752 . . 3  |-  ( ( 4  _C  3 )  +  ( 4  _C  ( 3  -  1 ) ) )  =  ( 4  +  6 )
9 4nn0 8947 . . . 4  |-  4  e.  NN0
10 3z 9034 . . . 4  |-  3  e.  ZZ
11 bcpasc 10452 . . . 4  |-  ( ( 4  e.  NN0  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( ( 4  _C  3 )  +  ( 4  _C  ( 3  -  1 ) ) )  =  ( ( 4  +  1 )  _C  3 ) )
129, 10, 11mp2an 420 . . 3  |-  ( ( 4  _C  3 )  +  ( 4  _C  ( 3  -  1 ) ) )  =  ( ( 4  +  1 )  _C  3
)
13 6cn 8759 . . . 4  |-  6  e.  CC
14 4cn 8755 . . . 4  |-  4  e.  CC
15 6p4e10 9204 . . . 4  |-  ( 6  +  4 )  = ; 1
0
1613, 14, 15addcomli 7871 . . 3  |-  ( 4  +  6 )  = ; 1
0
178, 12, 163eqtr3i 2144 . 2  |-  ( ( 4  +  1 )  _C  3 )  = ; 1
0
182, 17eqtri 2136 1  |-  ( 5  _C  3 )  = ; 1
0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1314    e. wcel 1463  (class class class)co 5740   0cc0 7584   1c1 7585    + caddc 7587    - cmin 7897   2c2 8728   3c3 8729   4c4 8730   5c5 8731   6c6 8732   NN0cn0 8928   ZZcz 9005  ;cdc 9133    _C cbc 10433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-5 8739  df-6 8740  df-7 8741  df-8 8742  df-9 8743  df-n0 8929  df-z 9006  df-dec 9134  df-uz 9276  df-q 9361  df-rp 9391  df-fz 9731  df-seqfrec 10159  df-fac 10412  df-bc 10434
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator