Theorem ex-bc 13610

Description: Example for df-bc 10661. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-bc	|- ( 5 _C 3 ) = ; 1 0

Proof of Theorem ex-bc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 8919	. . 3 |- 5 = ( 4 + 1 )
2	1	oveq1i 5852	. 2 |- ( 5 _C 3 ) = ( ( 4 + 1 ) _C 3 )
3		4bc3eq4 10686	. . . 4 |- ( 4 _C 3 ) = 4
4		3m1e2 8977	. . . . . 6 |- ( 3 - 1 ) = 2
5	4	oveq2i 5853	. . . . 5 |- ( 4 _C ( 3 - 1 ) ) = ( 4 _C 2 )
6		4bc2eq6 10687	. . . . 5 |- ( 4 _C 2 ) = 6
7	5, 6	eqtri 2186	. . . 4 |- ( 4 _C ( 3 - 1 ) ) = 6
8	3, 7	oveq12i 5854	. . 3 |- ( ( 4 _C 3 ) + ( 4 _C ( 3 - 1 ) ) ) = ( 4 + 6 )
9		4nn0 9133	. . . 4 |- 4 e. NN0
10		3z 9220	. . . 4 |- 3 e. ZZ
11		bcpasc 10679	. . . 4 |- ( ( 4 e. NN0 /\ 3 e. ZZ ) -> ( ( 4 _C 3 ) + ( 4 _C ( 3 - 1 ) ) ) = ( ( 4 + 1 ) _C 3 ) )
12	9, 10, 11	mp2an 423	. . 3 |- ( ( 4 _C 3 ) + ( 4 _C ( 3 - 1 ) ) ) = ( ( 4 + 1 ) _C 3 )
13		6cn 8939	. . . 4 |- 6 e. CC
14		4cn 8935	. . . 4 |- 4 e. CC
15		6p4e10 9393	. . . 4 |- ( 6 + 4 ) = ; 1 0
16	13, 14, 15	addcomli 8043	. . 3 |- ( 4 + 6 ) = ; 1 0
17	8, 12, 16	3eqtr3i 2194	. 2 |- ( ( 4 + 1 ) _C 3 ) = ; 1 0
18	2, 17	eqtri 2186	1 |- ( 5 _C 3 ) = ; 1 0

Syntax hints:   = wceq 1343   e. wcel 2136  (class class class)co 5842   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   - cmin 8069   2c2 8908   3c3 8909   4c4 8910   5c5 8911   6c6 8912   NN0cn0 9114   ZZcz 9191  ;cdc 9322   _C cbc 10660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-5 8919  df-6 8920  df-7 8921  df-8 8922  df-9 8923  df-n0 9115  df-z 9192  df-dec 9323  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-seqfrec 10381  df-fac 10639  df-bc 10661

This theorem is referenced by: (None)