Theorem ex-bc 16342

Description: Example for df-bc 11011. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-bc	⊢ (5C3) = ;10

Proof of Theorem ex-bc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9205	. . 3 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 6028	. 2 ⊢ (5C3) = ((4 + 1)C3)
3		4bc3eq4 11036	. . . 4 ⊢ (4C3) = 4
4		3m1e2 9263	. . . . . 6 ⊢ (3 − 1) = 2
5	4	oveq2i 6029	. . . . 5 ⊢ (4C(3 − 1)) = (4C2)
6		4bc2eq6 11037	. . . . 5 ⊢ (4C2) = 6
7	5, 6	eqtri 2252	. . . 4 ⊢ (4C(3 − 1)) = 6
8	3, 7	oveq12i 6030	. . 3 ⊢ ((4C3) + (4C(3 − 1))) = (4 + 6)
9		4nn0 9421	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
10		3z 9508	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
11		bcpasc 11029	. . . 4 ⊢ ((4 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℤ) → ((4C3) + (4C(3 − 1))) = ((4 + 1)C3))
12	9, 10, 11	mp2an 426	. . 3 ⊢ ((4C3) + (4C(3 − 1))) = ((4 + 1)C3)
13		6cn 9225	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
14		4cn 9221	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
15		6p4e10 9682	. . . 4 ⊢ (6 + 4) = ;10
16	13, 14, 15	addcomli 8324	. . 3 ⊢ (4 + 6) = ;10
17	8, 12, 16	3eqtr3i 2260	. 2 ⊢ ((4 + 1)C3) = ;10
18	2, 17	eqtri 2252	1 ⊢ (5C3) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6018  0cc0 8032  1c1 8033   + caddc 8035   − cmin 8350  2c2 9194  3c3 9195  4c4 9196  5c5 9197  6c6 9198  ℕ₀cn0 9402  ℤcz 9479  ;cdc 9611  Ccbc 11010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-fz 10244  df-seqfrec 10711  df-fac 10989  df-bc 11011

This theorem is referenced by: (None)