ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ex-bc GIF version

Theorem ex-bc 14520
Description: Example for df-bc 10730. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-bc (5C3) = 10

Proof of Theorem ex-bc
StepHypRef Expression
1 df-5 8983 . . 3 5 = (4 + 1)
21oveq1i 5887 . 2 (5C3) = ((4 + 1)C3)
3 4bc3eq4 10755 . . . 4 (4C3) = 4
4 3m1e2 9041 . . . . . 6 (3 − 1) = 2
54oveq2i 5888 . . . . 5 (4C(3 − 1)) = (4C2)
6 4bc2eq6 10756 . . . . 5 (4C2) = 6
75, 6eqtri 2198 . . . 4 (4C(3 − 1)) = 6
83, 7oveq12i 5889 . . 3 ((4C3) + (4C(3 − 1))) = (4 + 6)
9 4nn0 9197 . . . 4 4 ∈ ℕ0
10 3z 9284 . . . 4 3 ∈ ℤ
11 bcpasc 10748 . . . 4 ((4 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℤ) → ((4C3) + (4C(3 − 1))) = ((4 + 1)C3))
129, 10, 11mp2an 426 . . 3 ((4C3) + (4C(3 − 1))) = ((4 + 1)C3)
13 6cn 9003 . . . 4 6 ∈ ℂ
14 4cn 8999 . . . 4 4 ∈ ℂ
15 6p4e10 9457 . . . 4 (6 + 4) = 10
1613, 14, 15addcomli 8104 . . 3 (4 + 6) = 10
178, 12, 163eqtr3i 2206 . 2 ((4 + 1)C3) = 10
182, 17eqtri 2198 1 (5C3) = 10
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1353  wcel 2148  (class class class)co 5877  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816  cmin 8130  2c2 8972  3c3 8973  4c4 8974  5c5 8975  6c6 8976  0cn0 9178  cz 9255  cdc 9386  Ccbc 10729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-7 8985  df-8 8986  df-9 8987  df-n0 9179  df-z 9256  df-dec 9387  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-seqfrec 10448  df-fac 10708  df-bc 10730
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator